基于改进自适应协同控制方法的电力系统混沌控制

方 洁 张少辉 江 泳

(郑州轻工业大学电气信息工程学院 郑州 450002)

1 引言

电力系统是一个高维、强耦合的非线性系统，往往表现出复杂的非线性动力学行为。随着近些年来国内外学者对电力系统稳定性的深入研究，发现电力系统中会出现复杂的混沌现象[1-5]。混沌现象会给电力系统带来很多危害，严重的可能引起电压崩溃和安全事故[6-9]。因此，如何抑制电力系统中的混沌现象具有重要的理论意义和实践应用价值。Kopell等人[10]在1982年观测到三机系统中的混沌和分岔现象，为电力系统混沌特性研究奠定了基础。目前主要研究的电力系统模型是简单双机互联的2阶电力系统模型。文献[11]将滑模控制与固定时间控制相结合，实现了2阶电力系统的混沌控制。文献[12]基于混沌鲸鱼优化算法为2阶电力系统设计了一种滑模控制器，消除了电力系统中的混沌振荡，并提升了控制过程中的鲁棒性。文献[13]提出了一种模糊滑模控制方案，有效抑制了2阶电力系统的混沌振荡，并减少了控制过程中的收敛时间和抖振。文献[14]将全局滑模控制与自适应控制相结合，设计了自适应全局滑模控制器来抑制2阶电力系统的混沌振荡。然而，2阶电力系统考虑变量较少，远不能反映实际电力系统的基本运行特性，因此有必要在此基础上研究更为复杂的电力系统模型的混沌特性，并对其进行控制。4阶电力系统是典型的3母线电力系统模型，该模型更接近实际电力系统，研究该模型更具有实际价值，在已有的研究中基于该模型提出的控制方案有：文献[15]基于固定时间理论设计了一种固定时间滑模控制器，实现了4阶电力系统固定时间稳定性控制。文献[16]建立了双参数4阶电力系统动力学模型并为其设计了一种具有指数趋近律的滑模控制器，有效抑制了该电力系统中的混沌振荡。文献[17]基于有限时间稳定定理，设计了一种反馈控制器，实现了4阶电力系统的混沌控制。

滑模控制因其具有简单、可靠、响应迅速以及鲁棒性强的优点，被广泛应用于非线性系统控制中[18-20]。但是，在系统的实际运行过程中，滑模控制会导致系统发生高频抖振现象，抖振现象的出现会导致控制效果变差[21]。协同控制有着与滑模控制相似的性质且可以提供连续的控制律，因此不存在滑模控制中常见的抖振问题[22,23]。除此之外，协同控制仅需要较低的控制信号带宽，因此该控制方式能够复现出较宽范围的输入信号，从而使系统拥有更快的响应速度且更适用于数字控制实现[24]。文献[25]将传统的协同控制方法应用到4阶电力系统的混沌控制中，但其宏变量到达不变流形的速度较慢，从而导致受控系统状态变量的收敛时间较长。在实际电力系统中，较长的控制时间会引起系统控制性能下降，为解决这一问题，文献[26]将固定时间理论与协同控制相结合，有效抑制了电力系统的混沌振荡，并取得了良好的控制效果。

基于以上讨论，本文将快速收敛理论与协同控制相结合，设计一种快速收敛的自适应协同控制方案，实现了一类通用的高阶非线性系统模型的稳定控制。本控制方案与广泛使用的滑模控制方案相比，由于其能为被控系统提供连续的控制律，因此能有效避免滑模控制中常见的抖振问题。与传统的协同控制方案相比，本协同控制方案能使宏变量以更快的速度到达不变流形，从而减少被控系统收敛到原点的时间。将本协同控制方案应用在4阶电力系统的混沌控制中，仅通过控制储能装置便可抑制整个电力系统中的混沌振荡，减少了所需控制器的数量，简化了控制过程。此外，在控制器设计过程中引入了自适应律以消除控制器中的复杂项，增强了控制器的实用性。最后通过理论分析和数值仿真证明了所设计控制器的可行性和优越性。

2 协同控制

2.1 理论基础

引理1 考虑非线性微分方程系统[27]

其中，α1>0,β1>0，m, n均为正的奇数且满足m/n>1，ε为远小于1的正实数。系统式(1)中的状态变量x具有全局快速收敛特性，当其远离平衡点(即 |x|≥1 )时，系统式(1)在α1xmn项的作用下，使状态变量快速收敛至平衡点；当其接近平衡点(即|x|<1) 时，由系统式(1)在β1tanh(x/ε)项的作用下，使状态变量快速收敛至平衡点，从而使系统式(1)中的状态变量具有全局快速收敛特性。

为利用式(1)设计协同控制器，考虑一类高阶非线性系统

其中，x=(x1,x2,...,xn)T∈Rn为系统的状态变量，fn(x)表示系统的非线性部分，gn(x)表示控制增益函数，且gn(x)̸=0，u表示待设计的控制输入。

对于式(2)，可利用协同控制理论设计控制输入u，使系统状态从任意初始状态下到达不变流形ψ=0 ，其中ψ为待定义的宏变量。可根据系统的控制目标来设计宏变量，并确保其按照规定轨迹到达不变流形，以满足式(3)的约束条件

其中，T为正的设计参数，决定了宏变量ψ到达不变流形的收敛速度，ϕ(ψ) 是宏变量ψ的可微函数，该函数的选取需要满足3个条件：(1)函数是可逆可微的；(2)ψ(0)=0 ；(3)φ(ψ)·ψ>0。

引理2 如果可微函数ϕ(ψ)被定义为式(4)的形式，则ϕ(ψ)满足上述的3个条件

其中，m,n均为正的奇数，m/n>1；ε为远小于1的正实数。

证明 (1)由式(4)可知ϕ(ψ)的导数为

根据引理1，式(7)的宏变量ψ将快速到达不变流形，参数T,m,n,ε共同决定宏变量到达不变流形的时间，可通过选择合适的参数使宏变量尽快到达不变流形。

注1在传统的协同控制器的控制作用下，当系统初始值远离平衡点时，宏变量ψ到达不变流形的速度较慢，但在具有非线性函数约束式(7)的协同控制中，通过适当设置指数项参数，可以在保留协同控制方法优点的同时，克服其收敛速度慢的问题，将宏变量ψ从初始状态快速驱动到不变流形，并将其保持在该状态。

2.2 协同控制器设计

为设计控制器使受控系统式(2)稳定到原点，应定义宏变量的具体形式，其定义原则为：当系统到达不变流形后，系统状态能够沿着该不变流形收敛至控制目标。最简单的宏变量定义方法为系统式(2)中状态变量的线性组合，如式(8)所示

当式(9)中参数k1, k2, ···, kn满足Hurwitz稳定性条件时，其状态变量将渐进收敛到原点。式(9)的特征方程可表示为：rn-1+kn-1rn-2+...+k2r+k1=0，其中参数k1, k2, ···, kn-1是决定控制性能的重要参数，通过设置该参数值以保证式(9)中特征方程的根尽可能远离复平面的虚轴，相对应系统状态变量的收敛速度也会越快。

将式(8)代入式(7)并结合系统式(2)可得

根据式(13)可知，由于V˙≤0 ， 所以宏变量ψ满足可达性条件，因此在控制器式(11)的控制作用下宏变量ψ将快速到达不变流形ψ=0，定理证毕。

3 电力系统混沌控制

3.1 电力系统模型与动力学分析

本文采用的电力系统模型是典型的3母线电力系统，系统的动力学方程由4个微分方程组成[17]

其中，δm表示发电机功角；ω表示发电机的频率偏差；δL表示负载母线电压的相角；VL表示负载母线电压的幅值；Q1为感应电动机负荷的无功功率，系统式(14)中除了状态变量δm,δL以弧度(rad)为单位外，其余变量都取标幺值。

选取系统式(14)中负荷的无功功率Q1作为分岔参数，系统初始值为[δm,ω,δL,VL]=[0.32,0.1,0.17,0.96]，绘制出系统状态变量δm随参数Q1变化时的分岔图及相应的Lyapunov指数谱，如图1、图2所示。从图1、图2可看出当Q1∈[11.0,11.4]时，系统表现出混沌行为。

图1 δm 随Q1变化时的分岔图(Q1 ∈[11.0,11.4])

图2 参数Q1 ∈[11.0,11.4]时系统的Lyapunov指数谱

为进一步说明系统中的混沌行为，在明显发生混沌现象的区间内取值Q1=11.379，分别绘制出此时系统式(14)的空间相图，如图3所示。从中可以看出系统各状态变量在相图中表现为混沌吸引子。计算可得该参数条件下电力系统式(14)的4个Lyapunov指数分别为：L1=0.252 974, L2=0.000 311,L3=–3.566 052, L4=–14.313 467。此时系统存在正的Lyapunov指数值，因此处于混沌状态。

图3 系统式(14)空间相图

3.2 自适应协同控制器设计

为了抑制4阶电力系统式(14)中的混沌振荡，使整个电力系统恢复到稳定运行，需使整个系统恢复到同步运行状态。为此，将电力系统式(14)中的状态变量δm, ω的控制目标δmd, ωd设为：δmd=0,ωd=0。在发电机母线侧引入储能装置，通过该装置吸收电力系统中多余的有功功率来抑制其混沌振荡，储能装置的动力学模型可表示为[28,29]

其中，Pes表示发电机母线侧接入的储能装置，用来吸收电力系统中的有功功率，Tes为储能装置的时间常数，Kpes为控制输入的增益常数，ues为储能装置的控制输入。

加入储能装置后的受控电力系统如图4所示，其数学模型可表示为

图4 加入储能装置后的4阶电力系统原理图

如果能将系统式(19)控制到原点，那么系统式(16)中的状态变量δm, ω将收敛到0，从而使受控电力系统式(16)恢复到同步运行状态，根据协同控制方法，可根据式(8)设置宏变量为

根据引理1可设计控制输入ues为

所设计的控制器式(21)中含有复杂项fes，该复杂项是由电力系统中的系统函数组成的，为了使设计的控制输入能更好地应用于实际工程中，基于等价原理设计自适应律来消除控制输入式(21)中出现复杂项fes[26]。将式(21)的控制输入ues作为参考控制输入，设置实际控制输入ues(real)为

结合式(21)、式(22)与式(23)、式(25)，系统式(19)可表示为

定义Lyapunov函数为

对其求导可得

由于式(29)中m,n为奇数，因此m+n为偶数，又因ψ1tanh(ψ1/ε)≥0，T为正的设计参数，可得V˙1≤0，在控制输入式(22)的控制作用下，宏变量ψ1将到达不变流形ψ1=0 ，自适应参数kˆ1,kˆ2将收敛到恒定值kˆ1∗,kˆ2∗，系统式(26)将被控制到原点，受控电力系统式(16)中状态变量δm, ω将被控制到目标值，受控电力系统式(16)由混沌态恢复至平衡态。定理证毕。

注2 在控制器式(22)的控制作用下，通过合理设置控制器中的参数T,m,n,ε, k1,k2，宏变量ψ1具有全局快速收敛特性，ψ1将快速到达不变流形ψ1=0，最终使受控电力系统式(16)由混沌态快速到达稳定态。

注3 通过控制储能装置式(15)吸收电力系统中多余的有功功率，可将电力系统式(16)中的发电机功角δm以及发电机频率偏差ω控制到0。即将电力系统恢复到同步运行状态，进而抑制整个电力系统中的混沌振荡。由于该控制方式仅需控制系统式(16)中的储能装置，所以减少了所需控制器的数量，简化了控制过程。

根据以上描述的控制器设计流程，可以得到如图5所示的控制框图。

图5 自适应协同控制的设计框图

4 控制效果数值仿真

利用Matlab软件验证本文提出的控制方法的有效性。在数值仿真中，控制参数选取为：Tes=1,Kpes=1, m=7, n=5,ɛ=0.1, T=0.2。当宏变量ψ1到达不变流形ψ1=0， 式(20)满足σ3+k2σ2+k1σ1=0，其特征方程为r2+k2r1+k1=0，应选取合适的参数值k1, k2使辅助变量σ1,σ2,σ3收敛到0，设置参数值k1,k2的值k1=16, k2=8。自适应参数的初始值设置为kˆ1(0)=1 ,kˆ2(0)=2。控制器作用后，宏变量ψ1的时序波形图如图6所示，显示加入控制器后宏变量迅速收敛到0，即到达并维持在不变流形状态。3个辅助变量σ1,σ2,σ3的时间响应如图7所示，表明辅助变量快速收敛到原点。这意味着系统的状态变量δm与ω快速收敛到0，从而使整个电力系统式(16)恢复到同步运行状态。图8为加入控制器后系统各状态变量的时域响应波形图，从图8中可得加入控制器后受控电力系统式(16)中的每个状态变量都能迅速到达平衡态。储能装置从电力系统吸收的有功功率如图9所示，由图9可得功率的稳态值为正，表明储能装置从电力系统中吸收了一部分功率，从而抑制了其混沌振荡。图10为状态变量在相空间的演化图，显示加入控制器后，系统状态由混沌吸引子运行到不动点。图11为控制输入时域波形图，显示控制器输入波形平滑无抖振。自适应参数曲线如图12所示，显示自适应参数最终会收敛并稳定到恒定值。综上，本文设计的控制器可使电力系统由混沌态恢复到平衡态，从而验证了控制方法的有效性。

图6 加入控制器后宏变量 ψ1的时间响应图

图7 受控辅助变量的时序波形图

图8 施加控制后系统各变量的时域波形

图9 储能装置吸收的有功功率

图10 施加控制后系统相图

图11 控制输入波形图

图12 控制器中自适应参数的时域波形

为验证本文提出的控制方法的优越性，将本文中的控制方案作为对照组，设置了两组仿真实验与本文的控制方案进行对比，即将本文提出的控制方案与传统的协同控制方案以及固定时间协同控制方案与进行了比较。

实验1 文献[25]提出的传统协同控制方案将式(7)中的约束条件定义为

实验2 文献[26]提出的固定时间协同控制方案将式(7)中的约束条件定义为

其中，m1, n1为正的奇数且满足n1/m1<1。

为使仿真对比实验有效，尝试设置一致的参数条件，将式(30)、式(31)中的设计参数T同样设置为T=0.2，同时令参数m=m1=7, n=n1=5。仿真实验结果如图13所示，显示了在3种不同控制方案的控制作用下，宏变量ψ1的控制效果图。

图13 宏变量 ψ1在不同控制方法下的控制效果对比

从图13和表1可以看出，在本文提出的控制方法的控制作用下，宏变量ψ1在0.41 s时到达控制目标。在固定时间协同控制方案的控制作用下，宏变量ψ1在0.62 s时到达控制目标，在传统协同控制方案的控制作用下，宏变量ψ1在1.25 s时到达控制目标。对比可知本文提出的控制方法相较于已有的控制方案收敛速度有显著提升。

表1 宏变量 ψ1在3种控制方法下的收敛时间对比(s)

5 结束语

本文研究了4阶电力系统的混沌控制问题。首先，将全局快速收敛理论与协同控制方法相结合，设计了一种新的快速收敛的自适应协同控制方案，该控制方案能使宏变量快速收敛到不变流形，从而使被控系统的状态变量快速到达原点。由于所设计的控制律是连续的，因此可以避免抖振现象。然后将该控制方案应用于4阶电力系统的混沌控制中，通过引入储能装置吸收电力系统中的有功功率，从而抑制其混沌振荡。由于控制过程中仅通过控制储能装置便可抑制电力系统中的混沌振荡，使电力系统恢复到同步运行状态，因此减少了所需控制器的数量。控制器中的复杂项通过设计自适应算法进行消除，提高了控制器的实用性。最后通过与已有的协同控制方案仿真实验对比，证实了该控制方法的有效性和优越性。本文提出的控制方案为如何抑制高阶电力系统中的混沌现象提供了新思路和新方法，后续研究工作将进一步探讨分数阶电力系统的混沌控制问题。