永磁同步电机位置-速度一体化有限时间控制

阳锦刚,丁永辉,牛德军,吴 春

(1.杭州桢正玮顿运动控制技术有限公司,杭州 311100; 2.浙江工业大学 信息工程学院,杭州 310023;3.浙江中锂电科技有限公司,湖州 313300)

0 引 言

在机器人、精密机床等伺服控制应用场合,永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)因具有高性能、高精度而逐渐成为主流选择。随着工业制造水平的提高,对伺服系统的快速精确位置跟踪控制、抗扰动能力等方面提出了更高的要求。传统的位置伺服系统多采用三环比例积分控制器(proportion integration,PI),但是会带来快速性与超调之间的矛盾,无法满足高精度、低超调、抗扰动能力强的控制要求。

近年来,多种智能先进控制方法如自适应控制、滑模控制、自抗扰控制(active disturbance rejection controller,ADRC)等被应用于永磁同步电机伺服系统中。滑模控制在系统存在参数摄动、负载变化以及其他外部干扰时能表现出强鲁棒性能[1],但是高增益符号函数的使用带来了抖振问题。文献[2]将状态变量与符号函数结合,随着状态变量的收敛,符号函数带来的抖振问题逐渐减小。文献[3]利用终端滑模有限时间收敛的特性,设计一种终端滑模控制器来提高系统的收敛性能与抗扰动性能。有限时间控制在平衡点处拥有更好的收敛性能及抗负载性能[4-5]。近些年来,有限时间控制越来越多地应用于伺服电机控制中。文献[6]提出利用齐次系统设计有限时间观测器,并给出了理论证明。文献[7]利用齐次系统理论设计了一种有限时间电机调速控制方法和有限时间扰动观测器,进一步提高了系统受扰时的跟踪精度。文献[8]设计了有限时间电流环和速度环串级控制器,相比电流环PI控制器,提高了控制器带宽以及动态性能。文献[9]针对多智能体系统,首次提出了一种有限区间吸引子(finite duration attractor,FDA)概念,是有限时间控制的一种形式。该方法设计一种两相幂次吸引律,将跟踪误差的收敛过程分为两个阶段,即以误差“1”为界,通过设计不同的幂次项并切换,实现跟踪误差能够在有限时间内收敛至原点。该有限时间的长短取决于系统初始状态和设计的幂次项,但理论上无论初始状态多大,在有无穷大输入情况下,可以保证系统在有限时间内将误差收敛到零点。因此,将有限时间控制应用到位置跟踪控制,可以提高系统动态响应能力。

ADRC将系统的集总扰动看作干扰,利用扩张状态观测器对扰动进行观测并补偿,具有良好的动、静态性能,在电机控制领域已得到广泛研究[10-11]。针对ADRC中非线性反馈控制律参数较多、参数整定较困难的问题,文献[12]研究了参数对控制器性能的影响,总结得到参数整定规律。文献[13]设计了一种位置-速度复合自抗扰控制器,优化了系统结构,提高了系统的抗负载扰动能力,但是转速响应性能得不到保证。对于文献[13]中转速不可控问题,文献[14]对速度反馈做了限幅处理,借鉴滑模控制思想根据速度反馈来切换控制律,实现了转速可控的目标。扩张状态观测器(extended state observer,ESO)作为ADRC的核心,其设计过程依赖于系统状态,因此系统状态量的准确获取有助于提高ESO的观测精度。电机转速的获取需要经过滤波器滤波,因此会产生相位滞后现象,观测器性能降低,文献[15]提出一种积分滤波器,将位置信号作为输入,避免了速度计算。文献[16]从频域的角度分析了线性扩张状态观测器存在的相位滞后问题,该问题是观测器本身结构导致,提高带宽虽然可以改善相位滞后,但是也会带来噪声,故设计一种相位超前补偿的扩张状态观测器,在没有增加非线性项的同时,提高了观测器的跟踪精度。同时,观测器还可以与其他形式的补偿器结合[17-18],提高控制系统的鲁棒性能。因此,观测器性能的好坏将直接影响系统的响应性能,研究和改进观测器有助于提高系统的抗扰动能力。

基于上述分析,本文提出一种有限时间跟踪及观测的永磁同步电机位置-速度一体化控制方法。首先,将位置误差标幺化,设计一种标幺化两相幂次吸引律,在此基础上设计位置-速度一体化控制器,实现位置快速、无超调跟踪;然后,针对系统中存在的内、外扰动问题,设计一种有限时间扩张状态观测器,对系统的集总扰动进行观测并补偿,提高了系统抗扰动能力;最后,进行了实验验证。

1 永磁同步电机数学模型

本文以表贴式永磁同步电机为研究对象,基于转子磁场定向控制,忽略电磁损耗,永磁同步电机的电磁转矩方程:

Te=1.5piq[id(Ld-Lq)+ψf]

(1)

运动学方程可以表示:

(2)

式中:id,iq分别为电机定子电流d,q轴分量;Lq,Ld为交、直轴电感;ψf为永磁体磁链;TL表示负载转矩;ωe表示电角速度;J为转动惯量;B为粘滞摩擦系数;p为极对数。

在表贴式永磁同步电机中,Ld=Lq,结合式 (1)与式 (2),可以建立永磁同步电机电角度θe与q轴电流的二阶系统:

(3)

式中:b1=3pψf/(2J)为一个常数;p为极对数;集总扰动项f(t)=b1(iq-iqRef)-(Bωe+pTL)/J包括q轴电流环的控制误差、负载转矩以及摩擦力等,iqRef为给定q轴电流参考值。

2 位置-速度一体化有限时间控制

2.1 标幺化两相幂次吸引律设计

按照吸引律的方法来设计控制器,首先需要指定吸引律的具体形式[19],本文设计一种标幺化两相幂次吸引律:

(4)

式中:ρ>0,k0>0,epu=e/eb;e表示系统跟踪误差;eb表示系统跟踪误差基准值,且eb>0。幂次项α的表达式如下:

(5)

式中:p1,q1,p2,q2均为正奇数,且满足0

如图 1所示,设置初始误差为2π rad,误差基准值分别为0.5π rad,π rad,1.5π rad。仿真结果表明,在相同条件下,系统收敛时间随着eb的增大而减小。

图1 误差基准值eb不同时的误差收敛曲线

当误差初值e(0)>eb时,α(epu)=p1/q1,式 (4)可以改写:

(6)

设误差初值e(0)经过时间t1收敛至e=eb,通过求解式 (6),可以得到:

(7)

当误差e=eb收敛至e=0时,α(epu)=q2/p2,所需时间由式 (8)可得为t2:

(8)

即:

(9)

因此,当误差初值e(0)>eb时,式 (7)和式 (9)相加可以得到总收敛时间t:

(10)

当误差初值e(0)

(11)

由式 (10)和式 (11)可知,误差收敛时间的上界仅与吸引律的参数相关,并且系统在有限时间内达到稳定,收敛时间上界满足:

(12)

由式 (12)可知,跟踪误差e可以实现有限时间收敛,并且收敛时间与ρ,k0,p1/q1,q2/p2,eb以及初始误差e(0)有关,可以通过增大ρ,k0,p1/q1和减小q2/p2来缩短收敛时间。由式 (10)和式 (11)可知,误差初值相同时,eb越大,系统的收敛时间越短,并且收敛时间减小至一定程度后,继续增加误差基准值,收敛时间不会继续减小,仿真结果图 1与分析结果一致。

2.2 位置-速度一体化两相吸引控制器设计

由于式 (3)所表示的永磁同步电机位置伺服系统为一个二阶系统,而吸引律式(4)为一阶系统,因此需要对位置伺服系统做离散化处理。利用一个环路实现位置和速度的一体化控制,减少速度控制环节,避免速度环带宽对位置控制的限制。首先欧拉前向差分离散化式 (3)后得:

(13)

即:

(14)

同理,离散化吸引律式(4)得:

(15)

定义位置参考指令θeRef,位置跟踪误差epu=(θeRef-θe)/eb,将式 (15)代入式(14)中,得到永磁同步电机的位置-速度一体化控制器:

(16)

2.3 有限时间扩张状态观测器设计

由于式 (16)中含有一个扰动项f,在实际系统中无法直接使用。本文通过设计有限时间扩张状态观测器(finite time ESO,FTESO)对其进行估计并前馈补偿至控制器中,FTESO如下[20]:

(17)

式中:幂次项分别为α2=2α1-1,α3=3α1-2,0.5<α1<1。

令z3(k)=f(k),可以得到经FTESO补偿后的控制器(FDA-FTESO)表达式,结构框图如图 2所示。

图2 FDA-FTESO控制律结构框图

3 实验验证

为验证本文所提控制方法的有效性,在永磁同步电机对拖平台上进行实验验证,如图3所示。测试电机和负载电机均为同一款永磁同步电机,电机参数如表1所示。逆变器开关频率为20 kHz。电流环采用PI控制器,带宽设定为500 Hz,控制器参数见表2。

表1 永磁同步电机系统参数

表2 实验控制器参数

图3 PMSM驱动平台

图4为FDA-FTESO、FDA-LESO以及常规PI控制方法实验对比结果。实验中,在初始时刻给定目标角度0.5 rad,在某一时刻目标角度阶跃至0.7 rad,500 ms后目标角度降至0.3 rad,电机空载运行,从上至下依次为q轴电流、位置给定信号与反馈信号以及位置跟踪误差。图4中,FDA-FTESO与PI控制的上升时间均为40 ms,而PI控制在80 ms处达到稳定,中间出现了明显的震荡现象,FDA-FTESO控制在40 ms处便达到了稳态,FDA-LESO控制在60 ms处达到目标值,二者均没有出现超调现象。

图4 阶跃信号下三种控制方法的实验结果

为进一步验证所提控制方法的抗扰动能力,分别给定静态参考信号与动态参考信号,同时施加相同的负载力矩,与常规PI控制、FDA-LESO方法进行实验对比。

给定电机位置目标角度为0.5 rad,突加突减大小为30%的额定负载(约为0.38 N·m),1 s后突减负载,三种控制方法下的实验结果如图5所示。突加负载时,PI控制、FDA-LESO与FDA-FTESO方法下的电角度最大跌落分别为0.30 rad、0.20 rad与0.15 rad。突减负载时,三种控制方法下的最大角度跌落依次为0.45 rad、0.20 rad及0.20 rad,同时三种方法中FDA-FTESO方法在突加突减负载后的恢复时间最短。

图5 稳态时突加突减负载实验结果

给定参考信号均为相同正弦信号,频率为2 Hz,幅值为1 rad,即位置指令为θmref=cos(4πt) rad,三种控制方法的实验结果如图6所示,从上至下分别为q轴电流、位置给定与反馈信号以及位置误差。初始时刻PI控制下位置反馈存在一定的滞后现象,其它两种控制方法因为有观测器的补偿,无滞后现象。在某一时刻施加30%的额定负载(约为0.38 N·m),三种控制方法下位置跟踪误差分别为0.28 rad、0.24 rad以及0.20 rad。

图6 正弦信号下的实验结果

实验结果表明,当目标信号为静态信号时,观测器可以对误差值进行补偿,且FTESO的补偿速度快于LESO。当位置目标为动态信号时,FDA-FTESO与FDA-LESO均能够减小滞后问题,且前者相比常规PI控制、FDA-LESO具有更好的扰动抑制能力。

4 结 语

针对永磁同步电机位置控制采用常规PID控制时收敛速度与超调量之间的矛盾问题,提出一种基于标幺化两相幂次吸引律的位置-速度一体化有限时间控制方法。利用两相幂次吸引律有限时间跟踪特性和有限时间扩张状态观测器的快速观测补偿特点,实现了位置控制的快速、高精度跟踪。同时减少了控制器参数以及避免了速度环带宽对位置控制的限制。对于负载转矩、参数摄动等干扰问题,设计有限时间扩张状态观测器,提高了永磁同步电机的抗干扰能力。最后通过实验验证了所提控制方法的有效性。