海洋湍流下双拉盖尔-高斯涡旋光束的闪烁指数与误码率研究

刁鲁欣，王明军，2，，黄朝军，吴小虎，汪伟

（1 西安理工大学 自动化与信息工程学院，西安 710048）（2 西安市无线光通信和网络研究重点实验室，西安 710048）（3 陕西理工大学 物理与电信工程学院，汉中 723001）（4 山东高等技术研究院，济南 250100）（5 中国科学院西安光学精密机械研究所，西安 710119）

0 引言

涡旋光束是一类具有螺旋相位波前的光束，携带轨道角动量（Orbital Angular Momentum， OAM），由于其特定的螺旋相位结构和暗中空环光强分布，已广泛应用于光通信、遥感和超分辨率成像等领域［1-3］。涡旋光束在海水环境中传输时会受到海洋湍流的干扰，从而产生光强闪烁、相位起伏与光斑漂移等现象，降低通信质量［4］。伴随着人类活动从自由空间不断向海洋环境中延伸，对水下光通信系统通信容量的需求也在不断增加，因此亟需对涡旋光束在海洋湍流中的传输通信特性进行研究，进一步探索抑制海洋湍流对光束传输影响的方法，提高水下光通信系统容量。

1992 年，ALLEN L 等［5］研究发现拉盖尔-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束携带轨道角动量。1980 年，WIENER T 等［6］基于蓝绿波段激光开展了海水环境下的无线光通信实验，实验最大传输距离为300 m，通信速率达100 Mbit/s。2000 年，NIKISHOV V V［7］提出了各向同性海水介质的海洋湍流功率谱，为此后针对海洋湍流的研究奠定了坚实的基础。GÖKÇE M C 等［8］对在弱海洋湍流中沿着水平方向传播的高斯光的功率波动、闪烁指数及光通信系统的平均误码率等进行了研究。2016 年，BAGHDADY J 等［9］利用两路OAM 复用，实现了传输速率为3 Gbit/s，传输距离为2.96 m 的水下OAM 光通信。2017 年，REN Yongxiong 等［10］将OAM 复用与QAM-OFDM 技术相结合，搭建了水下光通信实验。2018 年，WILLNER A 等［11］对采取空分复用方式的基于OAM 的水下光通信系统的通信性能及容量进行了研究。2016 年，WANG Wenbin 等［12］研究了高斯光束与拓扑电荷数分别为4 和8 的LG 光束在不同介质中的传输特性，结果表明LG 光束具有更好的传输特性。涡旋光束及其叠加态在水下进行传输通信能够为实现超宽带、高速率的水下无线光传输通信提供一种新的途径。在涡旋光束及其叠加态的研究中，2013 年，HE Chunmeng 等［13］对径向指数为0 且具有不同拓扑电荷值的LG 光束叠加形成的复合涡旋光束进行研究，对其光强分布和透射特性进行了分析。KE Xizheng 等［14］对有相同的高阶径向指数和负OAM 态的LG 光束叠加形成的复合涡旋光束进行研究，并分析了光束参数和传输距离对复合涡旋光束的影响；同年，LU Tengfei 等［15］利用循环泵对水槽内湍流的强弱进行控制，研究了拓扑电荷数为2、4 和6 的LG 涡旋光束在传输距离为5.4 m 和12.6 m 下的闪烁指数变化。2019 年，ZHANG Wenhao 等［16］实验证明了分数阶LG 涡旋光束在水下环境中的传播特性，并对不同拓扑电荷下LGFOAM 通信系统的信道容量进行了分析；同年，SUN Yanling 等［17］搭建了湍流环境下涡旋光与高斯光束的干涉实验，研究其干涉条纹的偏移特性。近年来，对涡旋光束复用与海洋湍流之间的相互作用机制的研究，为解决海水通道中的激光通信这一难题提供了参考。2021 年，WILLNER A 等［18］提出了使用多路复用和多个OAM 波束的同时传输来增强通信系统的容量。2022 年，DENG Qingqing 等［19］通过随机相位屏对大气湍流进行模拟，分析了涡旋光束在湍流中传输时的光强、相位分布及闪烁指数；同年，WANG Mingjun 等［20］搭建了水下涡旋光传输实验装置，对不同温度差与盐度差下LG 涡旋光束及其叠加态的传输特性进行了研究。

综上所述，涡旋光束及其叠加态在源场中可以携带更多的角动量模式［21］，目前人们关注的重点逐渐向多束涡旋光产生的涡旋光叠加态的传输与通信方面转移，但对于涡旋光束及其叠加态在海洋湍流中的传输与通信特性的研究还比较少。本文将带有不同拓扑电荷值的两个拉盖尔-高斯涡旋光束进行同轴叠加，产生双拉盖尔-高斯涡旋光束（Double Laguerre-Gaussian Vortex Beam，DLGVB），基于功率谱反演法搭建了DLGVB 光束在海洋湍流中传输的物理模型，并对不同的海洋湍流参数以及拓扑电荷差值下的DLGVB 光束传输时的闪烁指数及通信时的误码率进行了仿真研究。

1 DLGVB 在海洋湍流中的传播理论

拉盖尔高斯涡旋光束携带轨道角动量，当沿z方向传输时，由拉盖尔多项式和高斯分布函数的组合描述为［5］

式中，A为常数，ω0为光束的束腰半径，φ为柱坐标系下的方位角，m为拓扑电荷数，n为径向模数。ω(z)是光束在z处的半径，表示为是共焦参数，即瑞利半径，Φ=(n+2m+1)arctan(z/zR)-k(z+r2/R)。

对于径向模数n=0，两个具有不同拓扑电荷m的拉盖尔-高斯涡旋光束的同轴叠加生成双拉盖尔-高斯涡旋光束（Double Laguerre-Gaussian Vortex Beams， DLGVB），表示为［19］

式中，δ为其中一个涡旋光束的相位差，k为任意整数。m1和m2为两个叠加的涡旋光束的拓扑电荷，v=|m1-m2|为两束的拓扑电荷差作为DLGVB 的模式。当v的值为0时，DLGVB 退化为拉盖尔-高斯涡旋光束。

采用功率谱反演法产生随机相位屏的方式，对复杂海洋湍流环境进行模拟。相位功率谱Φϕ(κx，κy)与海洋湍流折射率功率谱Φn(κ)之间的关系为［22］

式中，Δz为相邻相位屏之间的间距。海洋湍流折射率功率谱函数Φn(κ)可表示为［7］

式中，κ=，κ为湍流波动的空间频率，ε为湍流动能耗散率，χT为海洋湍流的温度方差耗散率，ω为海洋湍流盐度温度波动平衡参数，η为Kolmogorov 微尺度，σ=8.284×(κη)4/3+12.978×(κη)2，AT=1.863×10-2，AS=1.9×10-4，ATS=9.41×10-3。

在进行数值仿真时，一般采用离散矩阵的形式，对随机相位屏进行表示。初始设置湍流相位屏的尺寸为Lx=Nx×Δx，Ly=Ny×Δy，其中Nx和Ny表示在x和y方向上相位屏离散点的数量。相位屏上，点(m，n)处的相位ϕ(mΔx，nΔy)可以表示为［22］

式中，Δx和Δy为空间上的采样间隔，p(j，s)和q(j，s)是均值为0、方差为1 的高斯且不相关的随机矩阵，表示为

式中，Δkx和Δky为频谱采样间隔，Δkx=2π/Lx，Δky=2π/Ly。海洋湍流相位屏的二维、三维图如图1。图1中设置的模拟海洋湍流参数为ε=10-2m2s-1，χT=10-8K2s-1，ω=-2，η=0.005。

图1 海洋湍流相位屏Fig.1 Ocean turbulence phase screen

对式（5）进行多次运算会产生多层湍流相位屏，从而模拟复杂海洋湍流环境，因此可以通过计算DLGVB 光束通过多层海洋湍流相位屏的方式，对DLGVB 光束通过复杂海洋湍流环境进行模拟。可得DLGVB 光束通过每一层相位屏的表达式为

式中，U0为DLGVB 光束的初始光场，U1为光束经过一层相位屏传输后的光场，ϕ1(x，y)表示第一个海洋湍流随机相位屏，IFFT 和FFT 分别为傅里叶逆变换和傅里叶变换，k2r为空间波数，满足

DLGVB 光束通过第二个海洋湍流相位屏后的光场表达式为

式中，U2为光束经过一层相位屏传输后的光场，ϕ2(x，y)表示第二个海洋湍流随机相位屏。类似地，可以将DLGVB 光束通过第n个海洋湍流相位屏后的光场表达式写为［23］

式中，Un-1为光束经过第n-1 层相位屏传输后的场强，ϕn(x，y)为第n个随机相位屏。当DLGVB 在海洋环境传输时，考虑到海水对光束有散射和吸收，式（9）仍需要进行改进，纯海水的消光系数和光束波长有关，具体关系可表示为

式中，Aw(λ)为海水分子吸收系数，Bw(λ)为海水水分子的散射系数。Bw(λ)可由瑞利散射计算，约为1.9×10-3，当光束波长在蓝绿波段时Aw(λ)相对其他波段而言最小。

DLGVB 光束在海水中传输时，光束的衰减是呈指数下降的，因此DLGVB 光束在海水中的光场表达式可写为

式中，Un为DLGVB 光束通过海洋湍流后的光场，τ(λ)为海水的消光系数，z为DLGVB 光束在海水中的传输距离。DLGVB 光束通过海洋湍流相位屏的传输模拟图如图2。

图2 DLGVB 光束通过海洋湍流相位屏的传输模拟图Fig.2 Simulation of DLGVB beam transmission through an ocean turbulent phase screen

在激光传输过程中，光强的分布由于海洋湍流的影响而发生变化。为了定量地描述波动程度，尽可能消除相位屏产生的随机性，可以取多次模拟的平均值计算光强的闪烁指数［24］。

在水下光通信系统中，误码率是对通信质量进行衡量的一个重要指标。采用开关键控OOK(On-Off Keying)调制方式对海洋湍流中的DLGVB 光束的通信进行调制。在海洋湍流环境下，光强的概率密度函数可表示为

接收端的平均误码率为［25］

式中，SNR0为归一化平均信噪比，xi为Hermite 多项式Hn(x)的根，Q(x)为高斯Q函数，表示为［25］

2 数值模拟

2.1 DLGVB 光束光强相位模拟

对DLGVB 光束的光强相位分布进行仿真，设置初始参数波长λ=532 nm，温度盐度波动平衡参数ω=-2， Kolmogorov 微尺度η=0.005，束腰半径ω0=0.003 m，传输距离L=100 m，相位屏模型参数设置网格数Nx=200，Ny=200，海洋湍流相位屏间距Δz=5 m。图3 展示了在无海洋湍流，海洋湍流强度ε=10-2m2s-1，χT=10-10K2s-1，海洋湍流强度ε=10-5m2s-1，χT=10-8K2s-1三种环境下，四种不同拓扑电荷差值v=0（m1=1，m2=1），v=2（m1=1，m2=3），v=4（m1=1，m2=5），v=6（m1=1，m2=7）的DLGVB 光束的相位、光强二维及三维分布图。由图3 可知，DLGVB 光束产生光斑分裂，分裂的光斑数量与拓扑电荷值的差值相同，且相位反映了叠加的两束光束的螺旋相位信息，互不干扰。当在海洋湍流中传输之后，光束的强度分布与相位分布模糊，伴随着湍流强度的增加，模糊程度增强，这是由于湍流强度反映了折射率的分布，波动越大表明光束的折射与能量衰减越强烈。

图3 海洋湍流下DLGVB 光束传输的光强、相位与光强三维图Fig.3 Three-dimensional diagram of light intensity， phase and intensity transmitted by DLGVB beam under ocean turbulence

2.2 DLGVB 在海洋湍流中传输时的光强闪烁

根据湍流效应及多层相位屏理论，数值分析不同海洋湍流参数对DLGVB 光束在海洋湍流湍流中传输影响，对每组叠加产生的DLGVB 光束进行400 次传输模拟，通过平均计算其光强闪烁系数，以减少相位屏产生的随机性。光束参数设置初始波长λ=532 nm，束腰半径ω0=0.003 m，海洋湍流参数设置初始温度盐度波动平衡参数ω=-3，温度方差耗散率χT=10-6K2s-1，湍流动能耗散率ε=10-5m2s-3，Kolmogorov 微尺度η=0.005，传输距离L=100 m。

图4 反映了DLGVB 光束在不同海洋湍流参数下的闪烁指数随着拓扑电荷差的变化。图4（a）反映了DLGVB 光束在不同湍流动能耗散率下的闪烁指数随着拓扑电荷差的变化，可以看出，随着海洋湍流参数湍流动能耗散率的减小，闪烁指数增加；图4（b）反映了DLGVB 光束在不同温度方差耗散率下的闪烁指数随着拓扑电荷差的变化，可以看出，随着海洋湍流参数温度方差耗散率的增加，闪烁指数增加；图4（c）反映了DLGVB光束在不同盐度温度波动平衡参数下的闪烁指数随着拓扑电荷差的变化，可以看出，随着海洋湍流参数盐度温度波动平衡参数的增加，闪烁指数增加。其原因在于随着湍流动能耗散率的减小，温度方差耗散率与盐度温度波动平衡参数的增加，海洋湍流强度增大，因此DLGVB光束在海洋湍流中传输时光强更加闪烁。

图4 DLGVB 光束在不同海洋湍流参数下的闪烁指数随拓扑电荷差的变化Fig.4 Scintillation index of DLGVB beam with topological charge difference under different ocean turbulence parameters

当DLGVB 光束的拓扑电荷差v＜10 时，DLGVB 光束通过海洋湍流后的闪烁指数低于的传统LGB(v=0)的闪烁指数，闪烁指数随着拓扑电荷差的增加而降低，其原因是当拓扑电荷差较小时，点分裂的次数也较小，单位点聚焦的能量密度较大，湍流的穿透性能较好，闪烁指数较低。当拓扑电荷差v＞10 时，闪烁指数随着拓扑电荷差的增加而增加，点分裂的数量增加时，束能量分散，当湍流强度较强时，拓扑电荷差较小的涡旋光束具有更明显的能量聚焦特性。当拓扑电荷差v＞20 时，闪烁指数随着拓扑电荷差的增加而降低，其原因是由于点分裂次数过多，单位点聚焦的能量密度减小，束能量太过于分散，因此DLGVB 光束在海洋湍流中进行传输时，闪烁指数逐渐降低。

图5 反映了拓扑电荷差值v=2 的DLGVB 光束在不同海洋湍流参数下的闪烁指数随传输距离的变化。图5（a）反映了DLGVB 光束在不同湍流动能耗散率下的闪烁指数随着传输距离的变化；图5（b）反映了DLGVB 光束在不同温度方差耗散率下的闪烁指数随着传输距离的变化；图5（c）反映了DLGVB 光束在不同盐度温度波动平衡参数下的闪烁指数随着传输距离的变化。可以看出，随着海洋湍流参数湍流动能耗散率的减小，温度方差耗散率与盐度温度波动平衡参数的增加，闪烁指数增加；随着传输距离的增加，闪烁指数逐渐增大。产生这种现象的原因在于随着湍流动能耗散率的减小，温度方差耗散率与盐度温度波动平衡参数的增加，海洋湍流强度增大，且随着传输距离的增加，从发射端到接收端光经过相位屏的次数增多，湍流影响增强，因此DLGVB 光束在海洋湍流中传输时光强更加闪烁。

图5 DLGVB 光束在不同海洋湍流参数下的闪烁指数随传输距离的变化Fig.5 Scintillation index of DLGVB beam varies with the transmission distance under different ocean turbulence parameters

2.3 DLGVB 在海洋湍流中传输时误码率变化

由2.2 节可知，当拓扑电荷差值v＜10 时，DLGVB 光束具有较好的湍流穿透特性，闪烁指数较小，因此进行误码率研究时，选取拓扑电荷差值为v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束。光束参数设置λ=532 nm，ω0=0.003 m，海洋湍流参数设置Kolmogorov 微尺度η=0.005，传输距离L=100 m。

图6 反映了在不同湍流动能耗散率下，拓扑电荷差值v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束的误码率随信噪比之间的变化关系。可以看出，在信噪比较小时，通信误码率受到湍流动能耗散率的影响并不明显，较大信噪比情况下，误码率受到湍流动能耗散率的影响明显；随着海洋湍流参数湍流动能耗散率的增加，通信误码率逐渐减小，通信性能变好，产生这种现象的主要原因是随着湍流动能耗散率的减小，海洋湍流强度会逐渐增加。

图6 DLGVB 光束在不同湍流动能耗散率下的误码率随信噪比的变化Fig.6 Change of bit error rate of DLGVB beam with SNR under different turbulent kinetic energy dissipation rates

图7 反映了不同拓扑电荷差值v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束在不同温度方差耗散率下的误码率随信噪比的变化。可以看出，在信噪比较小时，通信误码率受到温度方差耗散率的影响并不明显，较大信噪比情况下，误码率受到温度方差耗散率的影响明显；随着海洋湍流参数温度方差耗散率的减小，误码率逐渐减小，通信性能变好。产生这种现象的主要原因是随着温度方差耗散率的增加，海洋湍流强度会逐渐增加。

图7 DLGVB 光束在不同温度方差耗散率下的误码率Fig.7 Bit error rate of DLGVB beam at different temperature variance dissipation rates

图8 反映了不同拓扑电荷差值v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束在不同盐度温度波动平衡参数下的误码率随信噪比的变化。可以看出，在信噪比较小时，通信误码率受到盐度温度波动平衡参数ω的影响并不明显，随着信噪比的增加，误码率受到盐度温度波动平衡参数ω的影响逐渐明显，且随着盐度温度波动平衡参数的增加，通信误码率逐渐增大。由于ω代表的是湍流中温度和盐度所占比例，当ω=-5 时误码率较低，即当温度占主导时误码率较低，而当盐度占主导时误码率较高，因此海洋湍流中当温度占主导时，通信性能更好。

图8 DLGVB 光束在不同盐度温度贡献比下的误码率Fig.8 Bit error rate of DLGVB beam under different salinity temperature contribution ratio

为研究水下光通信系统中不同拓扑荷值差对通信误码率的影响，对不同拓扑电荷差值v＜10 的DLGVB 光束在海洋湍流环境中传输通信时的误码率进行对比分析，设置初始波长λ=532 nm，ω0=0.003 m，ε=10-2m2s-1，χT=10-10K2s-1，ω=-2，η=0.005，L=100 m。图9 反映了不同拓扑电荷差值v（v＜10）下的DLGVB 光束通信误码率随信噪比的变化。可以看出DLGVB 光束的通信误码率随信噪比的增加而减小，在拓扑电荷差值v＜10 的情况下，拓扑电荷差大的DLGVB 光束的误码率小于拓扑电荷差小的DLGVB 涡旋光束的误码率，因此选取拓扑电荷差值较大的DLGVB 光束具有更好的通信质量。

图9 不同拓扑电荷差值v（v＜10）下的DLGVB 光束通信误码率随信噪比的变化Fig.9 Change of bit error rate of DLGVB beam communication with SNR under different topological charge difference v （v＜10）

3 结论

本文根据同轴叠加产生的DLGVB 的光强特性和相位特性，采用功率谱反演法模拟了DLGVB 光束的在海洋湍流中传输时的光强和相位分布，并仿真分析了DLGVB 光束在不同海洋湍流参数下的闪烁指数，根据闪烁指数计算了水下光通信系统在OOK 调制方式下的通信误码率。结果表明，随着湍流动能耗散率的减小，盐度温度波动平衡参数、温度方差耗散率及传输距离的增加，闪烁指数逐渐增加；与传统的LGB 相比，在随海洋湍流增加的环境中，具有较低拓扑电荷差(v＜10)的DLGVB 可以保持相对稳定和较低的闪烁指数，且闪烁指数随着DLGVB 光束的拓扑电荷差呈现先减小后增大最终减小的趋势，该现象与光束分裂点的数量及能量分散有关。随着湍流动能耗散率的增加，温度方差耗散率与盐度温度波动平衡参数的减小，误码率逐渐减小；当温度占主导时误码率较低，而当盐度占主导时误码率则较高，因此海洋湍流中温度占主导时，通信性能更好。当低v值(v＜10)时，不同拓扑电荷差值v下的DLGVB 光束的通信误码率随信噪比的增加而减小，拓扑电荷差大的DLGVB 光束的误码率小于拓扑电荷差小的DLGVB 光束的误码率，因此低v值(v＜10)时，选取拓扑电荷差值较大的DLGVB 光束具有更好的通信质量。研究结果表明，在海洋湍流中，使用DLGVB 光束进行传输可以有效抑制海洋湍流带来的干扰，在海洋湍流环境下对光通信系统进行分析设计时，将涡旋光束及其叠加态与基于OOK 调制的水下光通信相结合，选择最佳的拓扑电荷差值，可以有效提高传输通信质量及通信系统容量。本文研究对涡旋光束及其叠加态在海洋湍流下传输特性研究及基于OAM 的水下光通信系统持续扩容的发展需求方面具有重要的参考价值。