考虑光压力和热载荷的太阳帆薄膜力学行为分析

陈金铎，史爱明，樊世超

（1.西北工业大学航空学院，西安 710072；2.北京卫星环境工程研究所，北京 100094）

0 引言

太阳帆利用帆面反射太阳光获取光压力，实现光压加速。为提高帆面光压-引力比，太阳帆薄膜厚度低至10 μm 量级，导致薄膜稳定性降低。Dowell 构建了太阳帆膜在光压力作用下的运动方程，通过类比壁板气动弹性控制方程，指出光压力诱导薄膜颤振［1］。

根据Dowell［1］与Macneal［2］推导，作用于薄膜的光压力分为切向光压力和法向光压力，前者与薄膜形变呈线性关系，后者独立于薄膜形变。Dowell 在其论文中指出，对于线性结构模型，法向光压力不影响薄膜颤振边界，但未考虑法向光压力对薄膜力学行为影响。Chen 等［3］沿用线性结构模型描述薄膜形变，通过光压力的电磁波模型，指出光压力与薄膜厚度耦合，因此薄膜的光压弹性问题与壁板气动弹性问题存在差异。相关太阳帆薄膜力学行为研究也通常基于线性结构模型描述薄膜形变［4-5］。在Chen 等［3］论文中指出，法向光压力导致薄膜形成大幅值静变形。线性结构模型不能考虑薄膜大变形导致的几何非线性。利用von Kármán 大变形理论描述壁板形变时，作用于壁板的静压差显著增大壁板颤振的临界动压［3，6-7］。类比气动弹性壁板非线性动力学方程，作用于薄膜的法向光压力在数学形式上等价于施加在壁板的静压差。因此，使用von Kármán大变形理论描述薄膜形变时，法向光压力是影响薄膜力学行为的关键物理量。

光辐射热是航天器普遍面临的问题。受日蚀影响，近地轨道航天器所受太阳辐射呈现周期性变化［8-13］，航天器由阴影区进入光照区时，作用于航天器的光辐射热载荷会激发太阳翼［12］、太阳帆支杆［10］等结构动力学响应。此外，深空探测太阳帆需接近太阳获取更大光压力［14］，在此过程中，太阳帆所受太阳辐射逐渐增大形成光辐射热载荷，导致薄膜稳定性降低［15-18］，并影响薄膜非线性振动特性。

本文基于von Kármán 大变形理论描述薄膜结构，耦合光压力与热载荷，考察太阳帆薄膜的力学行为特性。

1 模型构建

1.1 光压模型

考虑图1 所示薄膜模型，x，z分别表示沿薄膜长度方向和厚度方向的坐标，薄膜长为a，厚度为h。薄膜两端夹紧于两侧支杆［3，4，19］。薄膜横向位移记为w，作用于薄膜的光压力包含与薄膜形变相关的切向光压力

图1 薄膜光压载荷和热载荷模型Fig.1 Solar pressure load and thermal load model applied on membrane

以及与薄膜形变无关的法向光压力

式中：S0表示入射太阳辐射通量；R表示薄膜反射率；γ表示太阳辐射入射角；c表示光速。作用于薄膜总光压力为切向光压力与法向光压力的矢量和，其中太阳帆依靠法向光压力实现光压推进。

1.2 光热模型

除反射太阳辐射外，太阳帆薄膜会吸收部分太阳辐射，进而加热薄膜形成热载荷。薄膜在吸收太阳辐射同时向外进行热辐射，如图1（b）所示。薄膜温度可基于热量平衡条件导出。薄膜对太阳辐射吸收率记为A，可得薄膜吸收辐射通量为qin=S0Acosγ。薄膜向外热辐射满足Stefan-Boltzmann 定律q=ϵσT4，其中ϵ为热辐射系数，σ和T分别为Stefan-Boltzmann 常数和薄膜温度，且有σ=5.67×10-8W·m-2·K-4。太阳帆薄膜通常在薄膜基底上增加金属镀层以增大薄膜反射率［20］，如图1（b）所示，因此设薄膜镀层与基底具有不同的热辐射系数，计算中取ϵc=0.81，ϵs=0.86，下标c 和s 分别表示薄膜镀层和基底。

设薄膜温度沿薄膜表面均匀分布。由于太阳帆薄膜很小的薄膜厚度（10 μm 量级［1，3-4］），因此设薄膜温度沿薄膜厚度同样均匀分布。根据热量平衡条件，吸收的太阳辐射通量等于薄膜向外辐射通量［21］，即

由式（3）可得在热量平衡条件下，薄膜温度为

由上式可知，太阳辐射通量变化导致薄膜温度改变。记薄膜温度增量为ΔT，则由温度变化引起的面内热应力为

式中：E为薄膜弹性模量；α为薄膜热膨胀系数；ν为泊松比。

1.3 运动方程

基于von Kármán壁板理论构建薄膜运动方程

将式（1），（2），（5），（7）代入式（6），并无量纲化可得

为满足两端固支边界条件，设薄膜无量纲横向位移

式中：m为模态数；Γ为模态振幅。

将式（10）代入式（8），利用Galerkin法可得

利用龙格-库塔时间推进算法求解上式。

2 模态收敛性分析

薄膜运动方程式（8）与气动弹性问题中壁板运动方程满足相似数学形式，对常见气动弹性问题，6阶近似Galerkin 方法能够得到较高精度结果［6］。针对本文太阳帆薄膜光压弹性问题，根据式（9）中无量纲热应力NˉxT和无量纲法向光压力Pˉn可知，很小的薄膜厚度导致作用于薄膜的无量纲载荷量级很大，为分辨薄膜力学行为特性，需考察Galerkin 方法模态数对薄膜力学行为的影响。

在本文计算中，取E=9.67×109N/m2，α=5×10-6K-1，ν=0.33，cˉd=0.1，R=0.9，A=0.1，h=25 μm，a=10 m，S0=1 360 W/m2。图2（a）给出薄膜静变形幅值随模态数变化关系。当模态数N=2 时，薄膜在相同条件下进行动力学振动而非静变形，因此图中最低模态为4 阶。由图2（a）可知，在分析薄膜静变形时，4阶模态计算结果即可分辨薄膜静变形特征。

图2 模态数对薄膜力学行为的影响Fig.2 Modal numbers effects on the membrane behaviors

为考察模态数对薄膜振动特性影响，图2（b）给出当光辐射通量差ΔS=7.5 W/m2时，薄膜在无量纲时间［99.99，100］区间内振幅均值随模态数的变化规律。如下文所述，法向光压力抑制薄膜振动，因此计算图2（b）中薄膜振动特性时，略去法向光压力。在本文分析范围内，当模态数由14阶增大至16阶后，薄膜振幅均值出现陡降，并随模态数进一步增大保持稳定。因此本文分析薄膜动力学响应时，至少需要取16阶模态才能分辨出动力学响应特征。综合静力学变形与动力学响应研究需要，以下算例均采用16阶模态进行计算。

3 光压作用下薄膜力学行为

3.1 切向光压作用下薄膜行为特性

本节仅考察切向光压力作用下薄膜力学行为特性，忽略式（8）中法向光压力与热应力。由于薄膜运动方程式（8）与气动力作用下壁板运动方程具有相似数学形式，因此本文算例中太阳帆薄膜与壁板具有相似的稳定性边界特征。当作用于壁板的气动力大于临界动压时，壁板进入动力学颤振。类似地，当作用于薄膜的法向光压力大于临界值时，薄膜呈现动力学颤振现象。图3 给出太阳辐射入射角γ=60°，支杆张力为0 时薄膜振幅的时间响应，此时薄膜在切向光压力作用下发生颤振。

图3 切向光压力作用下薄膜动力学颤振Fig.3 Membrane flutter under the tangent solar pressure

3.2 考虑法向光压的薄膜行为特性

法向光压在数学形式上等价于气动弹性问题中壁板所受静压差。根据气动弹性理论，在von Kármán 大变形结构模型中，静压差会抑制壁板颤振［6-7］。本节考察法向光压力对薄膜行为特性影响。

对比无量纲法向光压力与无量纲切向光压力

法向光压与切向光压比值与薄膜长厚比为同一量级，太阳帆薄膜厚度仅为10 μm 量级，长度为10 m 量级，由式（12）可知，法向光压约为切向光压107倍。图4 给出在相同支杆张力以及太阳辐射入射角条件下，考虑法向光压作用后薄膜振幅的时间响应。对比图3 所示算例，薄膜在法向光压力作用下形成较大幅值静变形，进而增大薄膜面内力，抑制薄膜颤振。

图4 法向光压作用下薄膜静变形Fig.4 Membrane static deformation caused by normal solar pressure

根据式（2）可知，随着入射角增大，法向光压力降低，薄膜静变形幅值减小。对一特殊情况：当入射角达到90°时，法向光压力为0，薄膜从静变形转变为动力学颤振如图5 所示，此时切向光压力达到最大，薄膜振幅也相应增大。

图5 γ=90°极限条件下太阳帆颤振Fig.5 Membrane flutter under the limit condition γ=90°

由于太阳帆需接受太阳辐射产生有效的光压推进，一般情况下不会出现入射角等于90°的情况（此时太阳光与薄膜平衡态表面平行），因此在正常运行期间，可认为太阳帆在光压作用下不发生颤振。

4 热载荷耦合光压薄膜行为特性

4.1 切向光压作用下薄膜行为特性

图6 给出仅考虑式（8）中切向光压力与热应力作用时，薄膜随太阳辐射通量差ΔS变化分岔特性。如图所示，随着辐射通量差逐渐增大，薄膜首先在支杆张力作用下保持稳定，当辐射通量差突破临界值ΔS=7.5 W/m2后，薄膜在热载荷诱导下直接形成混沌运动，将该ΔS定义为进入混沌的临界通量差。图7 给出此时薄膜混沌运动庞加莱截面图、最大Lyapunov 指数（LLE）［16］。庞加莱截面图基于薄膜特定运动状态取得，此处选取的运动状态：辨识点（ξ=0.75）由负达到0 时，记录参考点（ξ=0.5）处的运动状态。当庞加莱截面图中一团散点呈特定形态分布时，薄膜进行混沌运动。此外，当LLE 大于零时，表征动力学系统进入混沌运动。如图7 所示，庞加莱截面图散点呈“花生米”状分布；LLE收敛于正数。结合上述特征表明薄膜进入混沌运动。

图6 切向光压作用下薄膜随光辐射通量差增大的分岔特性Fig.6 Membrane bifurcation diagram versus increasing thermal load considering tangent solar pressure

受薄膜小厚度影响，薄膜所受热应力对太阳辐射通量差敏感，当ΔS约为1 W/m2时，作用于薄膜的无量纲热应力达到106数量级。对比壁板气动弹性问题，壁板由极限环运动进入混沌运动过程中-变化区间仅为102数量级，远小于作用于薄膜的无量纲热应力数量级。因此，图6 中薄膜倍周期运动，准周期运动等运动区间被压缩，难以观测。当ΔS超过进入混沌的临界通量差后，薄膜直接由静稳定转变为混沌运动。

4.2 考虑法向光压的薄膜行为特性

同时考虑式（8）中切向光压力、法向光压力和面内热应力。如上所述，在法向光压力作用下，薄膜呈现静变形。图8进一步对比有、无热载荷条件下，薄膜静变形幅值，其中太阳辐射通量差ΔS=0 W/m2时，对应热载荷为0。由图8 可知，随着热载荷增大，薄膜刚度减弱［22-23］，静变形程度增大。

与切向光压作用下薄膜行为特性类似，随着热载荷逐渐增大并超过进入混沌的临界通量差，薄膜在热载荷诱导下由静变形转变为混沌运动。图9给出当ΔS进一步增大至27.5 W/m2时，薄膜混沌运动庞加莱截面图和LLE 收敛曲线。图中庞加莱截面图一团散点呈椭圆状分布，LLE 收敛于正数。结合上述特征表明薄膜进入混沌运动。综上所述，即使存在法向光压力抑制薄膜振动，当ΔS超过进入混沌的临界通量差后，薄膜转变为混沌运动。与仅考虑切向光压作用相比，计及法向光压作用后，薄膜进入混沌的临界通量差有明显增大。

图9 考虑法向光压作用下薄膜混沌运动（ΔS=27.5 W/m2，γ=60°）Fig.9 Membrane chaotic motion considering normal solar pressure（ΔS=27.5 W/m2，γ=60°）

5 结论

基于von Kármán 大挠度理论计及太阳帆薄膜形变的几何非线性，考察薄膜在切向光压力、法向光压力以及考虑热载荷后薄膜的力学行为特性。主要结论如下：

1）仅考虑切向光压力时，薄膜在切向光压力作用下颤振。当计及法向光压力作用后，薄膜呈现静变形；仅当太阳辐射入射角达到90°极限条件时，法向光压力为0，此时薄膜呈现动力学颤振。

2）存在临界光辐射通量差，当热载荷大于临界辐射通量差后，激发薄膜混沌运动。法向光压力能够增大进入混沌的临界通量差。

3）模态收敛数与薄膜行为特性相关。当薄膜呈现静变形时，4 阶模态计算结果收敛；当薄膜进入动力学混沌运动时，至少取16阶模态才可分辨薄膜动力学特性。

作用于太阳帆薄膜的法向光压力远大于切向光压力，考虑法向光压力抑制作用后，太阳帆薄膜不会颤振。光辐射热载荷激发薄膜混沌运动。文中光辐射热载荷未与薄膜形变耦合，热载荷耦合薄膜形变后的薄膜响应需进一步研究。