基于共同稀疏贝叶斯学习的多频等效源近场声全息方法

张凤敏,张小正,周 蓉,张永斌,毕传兴

(合肥工业大学 噪声振动研究所,合肥 230009)

近场声全息技术是一种广泛应用于设备噪声源测试与分析的工具,它通过测量声源近场范围内的声学量,并经过投影变换算法来重建声场,进而实现噪声源的识别与定位以及声场可视化[1-2]。Willimas等首先提出基于傅里叶变换的近场声全息方法,该方法原理简单、效率较高,因此得到广泛的研究和应用。但受截断效应以及声源形状所限,该方法在工程应用时受到一定限制。为了克服基于傅里叶变换的近场声全息方法的不足,国内外学者相继发展了统计最优近场声全息[3]、基于Helmholtz最小二乘法的近场声全息[4]、基于边界元法的近场声全息[5]和基于等效源法的近场声全息[6-8]等。

传统的近场声全息技术为了提高空间分辨率需要减小测量间隔,测量间隔的减小意味着测量成本的增加,因此传统的近场声全息技术存在空间分辨率与测量成本之间的矛盾。为缓解该矛盾,压缩感知技术[9-10]被引入到近场声全息方法中,它利用待求信号的稀疏特性,可以在远低于奈奎斯特采样率要求下准确重建信号[11-12]。Chardon等[13]首次将压缩感知引入到基于傅里叶变换的近场声全息方法中,用少量测点精确重建了激励板的辐射声场,该方法相比传统基于傅里叶变换的近场声全息方法展现出巨大优势。考虑到等效源近场声全息法计算简单且能适用于任意形状声源的声场重建,众多学者开展了基于压缩感知的等效源近场声全息方法研究[14-17]。Fernandez-Grande等[18]首先将压缩感知应用于等效源近场声全息方法中,并提出压缩等效源近场声全息方法,该方法采用较少的声压数据精确重建了点源源强。为提高压缩等效源近场声全息方法的计算效率,Hald[19]基于梯度下降算法提出了快速宽频全息方法,该方法可在较宽的频带范围内实现声场的快速重建。此后,Ping等[20]提出了一种改进的宽频全息方法,通过对低于所设定阈值的等效源源强进行加权处理,有效改善了宽频全息方法的低频重建性能。Shi等[21]提出一种基于混合压缩感知的等效源近场声全息方法,用于改善宽频全息方法的低频定位性能,并用于远场的声辐射预测[22]。为了实现空间延展型声源的稀疏重建,Bi等[23]利用声辐射模态分解的正交基作为稀疏基,提出了一种压缩模态等效源近场声全息方法;Hu等[24]则利用传递函数正交模态基作稀疏基,提出一种基于稀疏采样的等效源近场声全息方法;Zhang等[25]将等效源源强在傅里叶级数下展开,提出基于快速傅里叶波叠加谱法的等效源近场声全息方法;这三种方法均成功重建了激励板的辐射声场。此后,为实现不同类型声源同时存在时的声场重建,Bi等[26]将声辐射模态基函数和点源的基函数组合成冗余字典,分离出干扰噪声,成功实现了空间稀疏型声源和空间延展型声源同时存在时的声场重建;He等[27]和Hald[28]也分别利用传递函数模态基函数与单位矩阵组成冗余字典,实现了不同类型声源的声场重建。为避免上述研究在通过数值方法构造稀疏基时可能导致的不准确问题,Fernandez-Grande等[29]利用等效源源强向量自身的稀疏性及其空间二阶导数的稀疏性作为先验信息,提出基于融合总变分的等效源近场声全息方法;Bai等[30]基于截断阈值提出基于压缩牛顿法的等效源近场声全息方法,这两种方法均不需构建稀疏基,可以实现空间稀疏型声源与空间延展型声源的精确重建。在上述基于压缩感知的声场重建方法中,正则化参数等调优参数的准确选择是实现声场精确重建的重要保障,由于上述方法大都基于L曲线、广义交叉验证或通过经验公式等方法进行调优参数的设置,往往不能获得最优解。为解决该问题,Bi等[31]利用声场的结构特性,提出了一种基于块稀疏贝叶斯学习的等效源近场声全息方法,并使用块稀疏贝叶斯学习求解分块的等效源源强向量,实现了在不构建稀疏基情况下重建不同类型声源的辐射声场。

尽管上述基于压缩感知的等效源近场声全息方法相比传统等效源近场声全息方法在声场重建精度方面有所提高,但这些方法都是基于单频处理的单测量向量模型进行声场重建。有研究表明[32-33],基于单测量向量模型的信号重构方法对噪声鲁棒性较差,并且存在精度不足问题。为了解决上述问题,基于多测量向量[34-35]的信号重构方法被提出用以增强噪声鲁棒性并提高重构精度,后被引入到波束形成方法中用于提高声源定位精度和噪声鲁棒性[36-37]。本文拟将多测量向量方法引入等效源近场声全息方法中,提出一种基于共同稀疏贝叶斯学习的多频等效源近场声全息方法实现多频声场同时重建。该方法针对声源位置不随频率而变化的稳态宽频声源,首先利用多频协同处理技术,构建多频等效源近场声全息模型;然后,通过为每个频率的等效源源强指定同分布高斯先验从而获得共同稀疏约束;最后,通过最大后验估计求解具有共同稀疏约束的等效源源强的后验分布并使用期望最大算法更新超参数。该方法利用待求等效源源强向量中不同频率的源强会聚集在一起形成的共同稀疏特性,从而可以获得更准确的源强解,实现声场的精确重建并提高对噪声的鲁棒性。

1 多频等效源近场声全息模型建立

真实声源辐射的声场可以通过求解等效源积分方程获得,即

(1)

式中:pr(r)为场点r处的声压;G(r,rE)为场点r与等效源点rE之间的格林函数;ω为角频率;ρ为流体介质的密度;Ω(rE)为连续等效源区域。

为实现数值计算,将空间中等效源面进行离散化,并在离散点布置若干等效源,此时空间位置的声压可由若干等效源的辐射声压叠加获得,即

(2)

(3)

(4)

式中,λ为正则化参数,用于控制模型的误差项与惩罚项。

为实现多频测量下的同时重建,将多测量向量引入到模型(3)中实现等效源源强的求解,但在式(3)的模型中,传递函数随频率变化,无法将每个频率的重建模型简单叠加,因此首先对模型进行变换。

根据式(3)可知,宽频噪声源的M个测量值可以表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

图1 单频等效源近场声全息模型与多频等效源近场声全息模型结构图

2 共同稀疏贝叶斯学习方法

由于基于贝叶斯推断的方法常基于实数运算,为计算式(9)中的复值等效源源强,首先将式(9)中复值模型转化为实值模型,得到

(10)

其中

(11a)

(11b)

(11c)

假设噪声和每个频率下的等效源源强均为高斯分布,根据高斯分布得到声压的似然函数为

(12)

式中:λ为噪声的方差;“p(·)”为概率操作符。假设先验满足如下高斯分布

(13)

其中,Σ0的形式为

(14)

(15)

其均值和方差可通过解析方法得到

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

首先估计超参数γ=[γ1,γ2,…,γ2N]。式(20)中第一项与超参数γ无关,因此,关于超参数γ的代价函数可化简为

(21)

(22)

(23)

将式(22)整理,可以获得γ的更新公式为

(24)

同理,式(20)中第二项与λ无关。因此,关于λ的代价函数简化为

(25)

对式(25)求关于λ的一阶偏导并令偏导数等于零,可以得到λ的更新公式为

(26)

联合式(10)与式(16)、(17)以及式(24)、(26)构成的整个过程描述了基于共同稀疏贝叶斯学习的等效源近场声全息方法的原理。在这个过程中,为同一空间位置处所有频率的等效源源强指定同分布高斯先验,可以充分利用等效源源强向量中的共同稀疏结构,促进更准确的解。首先给定超参数初始值,计算等效源源强的均值和方差,并更新超参数,然后计算代价函数值并判断收敛条件,若不收敛,使用更新后的超参数再次计算等效源源强的均值和方差并继续更新超参数,若收敛,则输出等效源源强的均值。

3 方法验证

3.1 单极子声源的仿真验证

下面首先采用两个单极子声源作为研究对象来验证所提方法的可行性。两个单极子源分别位于(-0.05,0,0) m和(0.1,0,0) m处(图2中的实心圆点)。为了更好地满足稀疏性假设,将等效源面与源面重合。全息面和重建面为分别位于z=0.15 m和z=0.10 m的平面,且全息面和重建面在x和y方向的尺寸均为0.5 m,范围从-0.25～0.25 m,测点间隔为 0.05 m,仿真模型如图2所示。为模拟真实的环境噪声,为测量声压添加信噪比为10 dB 的高斯白噪声。从全息面网格点位置处随机选取64个测点组成测量阵列。所提算法重复运行10次,并在误差图中给出不同运行结果误差的标准差,称为“误差棒”,用以说明随机测量阵列对重建算法的鲁棒性影响。为了客观地评估重建方法的重建性能,采用相对均方根误差作为衡量指标,定义为

(27)

图2 仿真配置示意图

式中,pcal和pth分别为重建面上的重建声压和理论声压。为评估所提算法的优越性,给出无共同稀疏约束的单频等效源近场声全息方法的重建结果,此时解向量中没有共同稀疏特性。为简洁起见,下文将无共同稀疏特性的单频等效源近场声全息方法简称为单频方法,将基于共同稀疏贝叶斯学习的多频等效源近场声全息方法简称为多频方法。

首先,评估所提多频方法求得的等效源源强的准确性,并与单频方法进行对比,重建结果如图3所示。可以看出,单频方法在很多频率处会产生伪源,并且由于两个单极子声源距离较近,在很多频率处无法识别两个单极子声源;而在多频等效源近场声全息模型中,所提多频方法整个频率测试范围内都不存在伪源。这是因为在所提方法中,空间同一位置处不同频率的等效源源强聚集,形成共同稀疏结构,为等效源源强添加共同稀疏约束,可以更好地过滤掉由于噪声引起的伪影,从而产生更准确的解。

(a) 单频方法

随后分析多频方法重建声压的性能表现,绘制了500 Hz和1 500 Hz时重建面上的声压,并与单频方法重建的声压进行对比,结果如图4所示。可以看出,在500 Hz处,利用共同稀疏约束时重建的声压比单频方法重建的声压更准确,在1 500 Hz处,两种方法重建的声压与理论值都非常接近。此时,在500 Hz处,所提多频方法和单频方法的重建误差分别为4.39%和12.34%;在1 500 Hz处,两种方法的重建误差分别为2.88%和2.94%。

(a) 500 Hz

进一步分析多频方法和单频方法的重建误差随频率的变化关系,误差曲线如图5所示。从图5可以看出,在100～2 000 Hz范围内,所提多频方法可以获得更低的重建误差,并且在整体范围内,所提多频方法重建误差都低于5%。单频方法的重建误差较大,主要原因是不利用共同稀疏约束时,无法获得最稀疏的解。此外,利用共同稀疏约束时获得的“误差棒”比不利用共同稀疏约束时更小,说明为同一位置所有频率的等效源源强添加共同稀疏约束,还可以有效地降低随机测量阵列对重建误差的影响。

图5 单频方法和多频方法的重建误差

解向量中等效源源强呈现共同稀疏特性,为等效源源强添加共同稀疏约束,可以在更大程度上避免噪声对重建结果的影响。因此下面分析不同信噪比下,所提多频方法重建声压的性能,除要分析的信噪比外,其他参数不变。图6绘制了所提多频方法与单频方法重建误差随频率和信噪比变化的对比图。总体上,利用共同稀疏约束时,所提多频方法的重建误差比单频方法更低,且单频方法的重建误差随信噪比变化更加明显。当信噪比为5 dB时,整个频率范围内,所提多频方法的重建误差都低于8%,而单频方法的重建误差基本在15%以上。当信噪比高于5 dB时,所提多频方法的重建误差基本在5%以下,这说明为等效源源强施加共同稀疏约束对噪声具有更好的鲁棒性。

(a) 单频方法

3.2 试验验证

为进一步验证方法性能,下面采用两个小音箱作为目标声源,在半消声室中进行试验,试验装置如图7所示。在空间建立笛卡尔坐标系,以两小音箱中心连线的中点为坐标原点,两个音箱的纸盆中心分别位于(-0.05,0,0) m和(0.1,0,0) m。通过电脑产生的信号驱动音箱,驱动信号为间隔100 Hz正弦合成信号,频率范围从500～2 000 Hz。采用一个线性阵列,通过扫描法来获取测量面的声压数据。线性阵列的传声器数量为11,y方向上的跨度为-0.25～0.25 m,测量间隔0.05 m。全息面距离音箱表面 0.15 m,x方向上的范围从-0.25～0.25 m,测量间隔为0.05 m。重建面距离音箱表面0.1 m。等效源面与小音箱前表面重合,且等效源布置与全息面测量点网格相同。

图7 音箱试验装置示意图

首先考察重建方法重建小音箱等效源源强的性能。图8为重建的小音箱等效源源强图。图8(a)为单频方法重建的等效源源强图,图8(b)为多频方法重建的等效源源强图。可以看出,使用单频方法进行单频重建时,在很多频率处都出现了杂乱、小峰值的伪源;而利用共同稀疏约束时,所提多频方法可以较好地过滤掉较小幅值的伪源,从而获得符合小音箱声源的等效源源强系数。

(a) 单频方法

图9为500 Hz和1 500 Hz时测量声压与多频方法和单频方法重建的声压对比。在这两个频率处,相比不利用共同稀疏约束时单频方法重建的声压,所提多频方法重建的声压与重建面上的测量声压更接近,说明所提多频方法可以更好地重建小音箱辐射的声场。此时,在500 Hz处,所提多频方法和单频方法的重建误差分别为12.11%和14.23%;在1 500 Hz处,两种方法的重建误差分别为18.59%和24.92%。

(a) 500 Hz

图10给出了500～2 000 Hz范围内重建结果的相对均方根误差曲线。可以看出,在总体上,所提多频方法的重建误差比单频方法获得的误差更低,说明利用共同稀疏约束时,所提多频方法可以更好地重建小音箱辐射的声场。并且可以看到,利用共同稀疏约束时,所提多频方法的“误差棒”相比不利用共同稀疏约束时更小,也就是说当利用共同稀疏约束时,所提多频方法对随机采样阵列的鲁棒性更强。此时,在实际应用时,所提多频方法对随机测量阵列位置点的选择要求更低。从图10中可以发现,随着频率增加,误差随之增高,主要原因是小音箱具有一定体积,当前等效源配置下不能获得小音箱的最优表征,并且由于高频声波波长较短,等效源配置和声源体积对较高的频率影响更大从而导致高频时重建误差更高。此外,小音箱内部的空腔共振带动小音箱体表面振动产生的噪声,也可能导致在高频时重建误差更高。

图10 小音箱试验中单频方法和多频方法的重建误差

4 结 论

基于压缩感知的等效源近场声全息方法通常采用基于单频处理的单测量向量模型进行重建,虽然可以较好地实现声场重建,但仍存在重建精度不足以及对噪声鲁棒性较差的问题。为解决这些问题,本文提出了一种基于共同稀疏贝叶斯学习的多频等效源近场声全息方法。在该方法中,假设噪声源具有宽频特性,采用多频协同处理,构建多频等效源近场声全息模型,此时解向量中同一空间位置处的元素聚集形成共同稀疏特性,通过为等效源源强指定共同高斯先验的形式施加共同稀疏约束,然后使用共同稀疏贝叶斯学习方法估计等效源源强。论文首先通过单极子声源的仿真验证了所提方法的有效性,并通过与基于无共同稀疏约束稀疏贝叶斯学习的单频等效源近场声全息方法对比,说明所提方法在重建精度方面有明显优势;同时还分析了所提方法在不同信噪比下的重建性能,并发现在信噪比为5 dB时所提方法仍具有不超过7%的重建误差,说明所提方法具有较好的噪声鲁棒性,在低信噪比环境具有更明显优势。随后,论文在半消声室中进行了两个小音箱的试验,发现所提方法很好地消除了伪影,可以更准确地识别小音箱的位置和重建小音箱的声场,进一步验证了所提方法的优越性。论文所提方法对实际中宽频噪声源识别具有较大的优势,但同时需要说明的是,该方法在等效源源强的后验估计过程中,协方差矩阵需要迭代求逆,当分析频率数量较多时计算效率较低,因此后续将继续研究快速计算方法进一步提高其计算效率。