基于模糊熵和离散Fréchet距离的小电流接地系统故障选线方法

肖宇

(河南理工大学 电气工程与自动化学院,河南 焦作 454000)

0 引 言

对于中性点经消弧线圈接地系统,发生单相接地后,由于消弧线圈的补偿作用,使得单相接地故障电流较小,不利于故障选线,若没有及时排除故障,会导致故障进一步扩大,威胁电网的安全运行。因此,及时准确的排除故障线路对电力系统安全运行至关重要。

近些年来提出的故障选线方法主要可以分为主动式选线方法和被动式选线方法。主动式选线方法主要为注入信号法[1-2],向系统注入电流或特定的信号,通过检测该信号实现选线,但此类方法成本高,而且可能对系统带来不确定的安全隐患。被动式选线方法可大致分为稳态信号选线[3-5]和暂态信号选线,对于谐振接地系统,由于消弧线圈的补偿作用,导致稳态故障电流的相位和极性发生改变,基于稳态信号的选线方法受到限制,不适用于谐振接地系统,而暂态信号具有丰富的信息量,且不受其他因素影响。目前主要利用的原理有暂态零序电流极性法[6-8]、母线零序电压与高频零序电流关系法[9]、提取衰减直流分量法[10-11]、相角信息和幅值信息法[12-13]。文献[9]利用母线电压导数与各线路零序电流的线性度关系,通过对采样序列进行拟合,利用各线路的拟合参数实现选线。文献[10]利用变分模态分解,提取零序电流的衰减直流分量,通过模态能量和一阶差分进行选线。文献[12]利用S变换提取综合相角参数和暂态能量参数,并利用欧式特征距离实现故障选线。另外,一些不断改进的信号处理算法备受学者关注。为了解决EMD[14]的模态混叠问题,EEMD[15]、CEEMD[16]等改进算法被提出,通过加入不同类型的噪声来提升EMD算法的性能,但仍存在每次IMF分解个数不同和分解后信息不直观等问题。2011年提出的完全集合经验模态分解CEEMDAN[17-18],在2014年被改进,有效解决了模态混叠和每次IMF分解个数不同的问题。

模糊熵[19]和样本熵、近似熵类似,都能够衡量时间序列的复杂性。与样本熵[20]、近似熵不同的是,模糊熵借用模糊函数的概念对两个向量的相似性进行表述,其已被成功应用于故障诊断领域[21],并取得了良好的效果。

文中针对暂态零序电流极性法在小故障角和高阻接地时选线结果准确率不高,适用性较差等问题,提出一种基于模糊熵和离散Fréchet距离的小电流接地系统故障选线方法,利用CEEMDAN对暂态零序电流进行分解,并利用连续均方误差和峰度选取特征分量,通过模糊信息粒化,以及引入复杂影响因子,求取综合模糊熵来判断故障线路,最终构造双重判据矩阵实现故障选线。

1 故障零序电流的极性分析

中性点经消弧线圈接地系统中,发生单相接地故障时的电流分布如图1所示。其中IL表示流过消弧线圈的感性电流。

图1 零序电流分布示意图

通过图1不难看出,当系统发生单相接地故障时,故障线路中的电容电流大约为非故障线路中的电容电流总和,且故障线路中的电容电流与非故障线路中的电容电流极性相反。图2为系统发生单相接地故障时,故障线路与非故障线路的零序电流波形图,从图2可以看出,故障线路零序电流与非故障线路零序电流极性相反。

图2 线路零序电流

2 模糊熵(FE)

首先介绍指数函数的特性,其特性具体如下:

1)连续性保证其函数值不会发生突变;

2)函数的凸性质保证了向量本身的自相似性值最大。

模糊熵的定义借用了模糊函数的概念,根据指数函数的特性,选择指数函数e-(d/r)n作为模糊函数来测度两个向量的相似性。

对于长度为N的时间序列x(i),其模糊熵的定义如下:

1)按顺序构造m维向量。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中n,r分别表示边界梯度和宽度。

4)定义函数:

(5)

5)对维数进行m+1次处理,重复步骤1)～步骤4),可得:

(6)

当N为有限长度时,最终定义模糊熵为:

FE(m,n,r,N)=lnφm(n,r)-lnφm+1(n,r)

(7)

通过模糊熵的定义可以看出,模糊熵确定的是时间序列在单一尺度上的无规则程度,熵值越小,序列的自相似性就越高,熵值越大,序列越复杂。

3 离散 Fréchet 距离

Fréchet距离由M. Fréchet于1906年提出,其与明考夫斯基距离、瓶颈距离及旋转功能距离的差异在于,Fréchet距离[22]考虑了曲线整体的走势,是一种判别曲线间相似程度的距离测度。

Fréchet空间是指距离完备的赋准范空间,即设二元组(R2,d),其中d是R2上的度量函数,在无需指明度量函数的情况下,把度量空间简称为R2。A,B:[0,1]→R2是Fréchet空间上的两条连续曲线;又设α,β:[0,1]→[0,1]是单位区间的两个重参数化函数,则曲线A和B的Fréchet距离∂dF(A,B)定义为:

(8)

式中‖·‖P为欧几里德范数;inf为集合的下确界。α、β为重新参数化后建立的关于参数t的连续非减函数,并且α(0)=β(0)=0,α(1)=β(1)=1。

为了更好处理实际问题,将R2空间离散化处理,曲线A和曲线B的采样点序列为A′(tk)和B′(tk),那么序列A′和序列B′间的离散距离为:

(9)

离散Fréchet距离充分考虑了曲线的形状以及曲线上各点的时序,其结果能够体现曲线间变化趋势的相似情况,因此其与模糊熵能够相互配合反映曲线的复杂程度。

4 模态分量理论分析

4.1 CEEMDAN原理

(10)

(11)

由式(8)、式(9)可得第一阶残差r1(t):

(12)

(13)

3)重复以上步骤,直到剩余分量rk(t)的极值点个数小于2,最后得到k个IMF分量和剩余分量R(t),最终原始信号s(t)可以表示为:

(14)

4.2 IMF分量极性和复杂性分析

为了分析各线路对应IMF分量的极性关系,利用MATLAB建立如图3的小电流接地系统[23],三相电压源为220 kV;变压器变比为220/35,连接方式为Δ/Y;架空线路正序参数为:R1=0.170 Ω/km,L1=1.20 mH/km,C1=9.697 nF/km;零序参数为:R0=0.230 Ω/km,L0=5.480 mH/km,C0=6 nF/km;消弧线圈设置为过补偿8%, 消弧线圈电阻约为感抗的10%,四条线路所带负载分别为2 MV·A、1.8 MV·A、1.5 MV·A、1.2 MV·A,系统采样频率为1 MHz。

图3 小电流接地系统仿真模型

若线路1在距离母线10 km处发生单相接地故障,过渡电阻为100Ω,故障合闸角为90°。经大量仿真实验,取故障后T/4周期的零序电流效果最佳。对其进行CEEMDAN分解,CEEMDAN算法所加白噪声的幅值比值系数为0.2,循环次数为25,得到的故障线路与非故障线路IMF分量波形如图4、图5所示。

对故障线路IMF分量和非故障线路IMF分量分别对应求取相关系数,由于故障线路IMF分量的分解数目与非故障线路不同,舍弃多余的IMF分量,可获得对应IMF1分量到IMF9分量的9组相关系数值,如表1所示。

从表1不难看出,在短时窗数据下,故障线路IMF分量与非故障线路IMF分量呈负相关,非故障线路IMF分量之间呈正相关。通过上述零序电流极性的分析可知,故障线路零序电流与非故障线路极性相反,经CEEMDAN分解后,对应IMF分量同样呈现此规律。

将故障线路IMF分量与非故障线路对应IMF分量混合叠加,并对混合分量求取模糊熵,其中边界梯度n=2,嵌入维数m=2,相似容限r=0.15SD(SD为原始数据的标准差),得到9组模糊熵值如表2所示。

从表2不难看出,将故障线路L1的IMF分量模糊熵与非故障线路L2进行比较,其模糊熵值不一定比非故障线路的大。若将故障线路L1的IMF分量与非故障线路L2、L3、L4对应的IMF分量混合叠加,对于高频混合IMF分量,求得的模糊熵值都比非故障线路之间混合得到的模糊熵值大,只有频率非常低、振动次数非常少的IMF分量才不呈现此规律。根据上述模糊熵理论分析可得,故障线路高频IMF分量与对应非故障线路高频IMF分量叠加,增强了混合分量的复杂性,使得模糊熵值变大,利用此判据可以实现故障选线,且由于只有高频IMF分量混合叠加才能确保增加复杂性,所以由于CEEMDAN分解个数不同而舍弃的低频IMF分量不影响分析结果以及选线准确性。

4.3 IMF分量提取方法

通过上述分析可知在没有噪声情况下,故障线路IMF分量与非故障线路IMF分量极性相反,为了确保故障选线的准确性,需要挑选出故障特征最明显的IMF分量,具体挑选方法如下:

1)利用连续均方误差准则确定高频IMF分量和低频IMF分量的分界点,连续均方误差定义如下:

(15)

式中N为信号长度;xk为前k各IMF分量求和。则高频分量与低频分量的分界点d为:

d=arg1≤k≤n-1min[σCMSE(xk,xk+1)]

(16)

2)对前d个IMF分量求取峰度γk。

(17)

式中μ为IMF分量的均值;σ为IMF分量的标准差。IMF分量的峰度越大,其包含的故障信息也就越多,所以文中对各线路对应高频IMF分量的峰度分别进行求和,选取平均峰度值最大的IMF分量为特征IMF分量。

线路1与线路2的峰度和连续均方误差如表3所示。从表3可以看出,IMF2处所求的连续均方误差最小,则选定IMF2为高频分量和低频分量的分界点,且IMF1所求峰度最大,即选定IMF1为特征IMF分量。从线路1与线路2叠加所求的模糊熵可以看出,在高频分量中,峰度最大的IMF分量对应的模糊熵最大,可见利用峰度和连续均方误差能够选出效果最佳的IMF分量。另外,各线路高频IMF分量与低频IMF分量的分界点可能不同,由于利用峰度能够有效避开噪声,且能够选取故障信息最多的IMF分量,而且根据上述分析可知,只有频率非常低的IMF分量才不呈现复杂性规律,所以分界点对于某个单条线路存在误差并不影响IMF分量的选取,文中选取各线路求得最大的分界点d作为整体分界点。

表3 线路1与线路2的峰度和连续均方误差

5 选线判据

5.1 相似特征矩阵

通过上述IMF分量极性的分析,求取各线路特征IMF分量之间的相关系数,构造相似特征矩阵,具体相似特征矩阵C如下:

(18)

式中m为线路条数;C1m表示线路1特征IMF分量与线路m特征分量的相关系数。利用式(18)计算,可得到综合相似特征矩阵Corr,其表达式如下:

(19)

式中i,j=1,2,…,m。利用符号函数对式(19)进行处理,可得到各线路的极性,若各线路的极性相同则判断为母线故障,若各线路的极性仅有唯一不同,则判断为线路故障,且该线路初步判定为故障线路。

5.2 复杂特征矩阵

5.2.1 复杂影响因子

通过上述IMF分量复杂性分析可知,极性相反的高频曲线叠加会增加曲线的复杂性,文中为了体现所叠加的曲线对另一条曲线的复杂影响,引入复杂影响因子。根据离散Fréchet距离的理论分析可知,离散Fréchet距离考虑了曲线的形状,能够体现曲线间变化趋势的相似情况,所以文中利用离散Fréchet距离求取复杂影响因子,具体定义如下所述。

f(u)为模糊集f的隶属函数,表示曲线Bn对曲线An的复杂影响程度,曲线Bn与曲线An的离散Fréchet距离越大,其复杂影响程度也就越大,根据这一特性,选取S型隶属函数:

(20)

式中参数a、c影响S型函数的形状,a决定函数的斜率,c决定S型隶属函数在坐标系中的位置。文中选取a=25,c设定方法如下:

(21)

w=ef(u,a,c)

(22)

5.2.2 模糊信息粒化

为了克服模糊熵单一尺度的局限性,文中引用文献[21]所述的利用三角型模糊粒子对信号进行模糊信息粒化。三角型模糊粒子的隶属函数为:

(23)

式中l、z、r分别为模糊粒子的3个参数,l表示窗口最小值,z表示窗口大体平均水平,r表示窗口最大值。最终可得到三组模糊信息粒,记为Low,R,Up。

对各线路特征IMF分量进行模糊粒化后,将各线路模糊信息粒分别对应混合叠加求取模糊熵,并求取离散Fréchet距离,计算对应的复杂影响因子,最终可得到三组复杂特征矩阵,记为FLow,FR,FUp。其中一组复杂特征矩阵FLow形式如下:

(24)

式中m为线路条数;FL1m表示线路1的Low信息粒与线路m的Low信息粒混合叠加得到的模糊熵;wL1m表示线路m的Low信息粒对线路1的Low信息粒的复杂影响程度。利用式(24)计算,可得到各线路的综合复杂特征矩阵HFE,其表达式如下:

(25)

式中i,j=1,2,…,m。最终得到的模糊熵最大的线路判定为待定故障线路,若综合相似矩阵判断的线路与该线路相同,则最终确定该线路为故障线路。

上述两种故障判别矩阵,避免了单一故障选线的弊端,能够在强噪声的情况的下,准确的判断出线路故障和母线故障,且不受过渡电阻和故障合闸角的影响。

5.3 选线步骤

1)当母线零序电压U0大于0.15倍母线额定电压Um时,启动选线装置,同时记录各线路故障后T/4周期的零序电流;

2)利用CEEMDAN对各线路暂态零序电流进行分解,并利用峰度和连续均方误差准则挑选特征IMF分量;

3)对各线路对应特征IMF分量求取相关系数,并构造得到综合相似特征矩阵Corr,若矩阵Corr中对应各线路的极性相同,则判断为母线故障,若各线路的极性仅有唯一不同,则唯一不同的线路为待定故障线路;

4)若为线路故障,则对各线路进行模糊信息粒化,并求取离散Fréchet距离,计算复杂影响因子,构造综合复杂特征矩阵HFE,最后所求模糊熵最大的线路为待定故障线路,若该线路与上述利用相关系数判断的待定故障线路相同,则最终判定该线路为故障线路。

5.4 选线流程图

故障选线流程如图6所示。

图6 故障选线流程

6 仿真分析

6.1 无噪声线路故障分析

根据图3的小电流接地仿真模型,线路1在距离母线10 km处发生单相接地故障,过渡电阻为100Ω,故障合闸角为90°。对T/4周期的零序电流进行CEEMDAN分解,并利用连续均方误差原则和峰度挑选IMF分量,线路1与线路2的IMF分量峰度和连续均方误差如表3所示,通过上文分析,挑选各线路的IMF1分量作为特征IMF分量。求取各线路特征IMF分量之间的相关系数,构造得到相似特征矩阵C如下:

利用式(19)可得综合相似系数Corri如表4所示。从表4可以看出,线路1的极性唯一不同,故可判断为线路故障,且线路1为待定故障线路。

表4 各线路综合模糊熵和综合相关系数

对各线路特征分量IMF1进行模糊信息粒化,粒化窗口大小为3,并求取离散Fréchet距离,S型隶属函数中a取25,c按照式(21)计算取为1.150 0;计算复杂影响因子w,并将各线路的模糊信息粒分别混合叠加求取模糊熵,最后构造的三组复杂特征矩阵如下:

故障线路1与非故障线路2叠加的混合向量和非故障线路之间叠加的混合向量如图7所示,由图7可以看出,线路1与线路2叠加的混合向量后半段振荡次数更多,相比而言其更为复杂。利用式(25)计算得到各线路综合模糊熵HFE如表4所示,不难看出线路1的综合模糊熵最大,且与待定故障线路相同,根据选线判据,可判断线路1为故障线路。

图7 无噪声情况下混合叠加向量

6.2 强噪声线路故障分析

为了验证混合模糊熵有一定的抗噪能力,线路1同样在距离母线10 km处发生单相接地故障,过渡电阻为100Ω,故障合闸角为90°,发生故障后对各线路零序电流加入信噪比为20 dB的噪声信号,线路1加入噪声后的零序电流如图8所示。

图8 加入噪声后线路1零序电流

对各线路T/4周期的零序电流进行CEEMDAN分解,线路1零序电流分解后的各IMF分量如图9所示。

图9 线路1IMF分量

由图9可以看出,高频分量含有噪声,其会影响IMF分量的复杂性和各线路IMF分量之间的相似性。各线路的连续均方误差如表5所示,从表5可以看出,线路1与线路3的连续均方误差最小值在IMF5,而线路2与线路4的最小值的在IMF9,根据选取原则,将IMF9为高频分量和低频分量的分界点,各线路高频分量的峰度值如表6所示。由表6可以看出,IMF7的峰度均值最大,即选取IMF7作为特征IMF分量。从最后选线结果也能够看出特征IMF分量选取方法的准确性。

表5 各线路连续均方误差

表6 各线路IMF分量峰度值

求取各线路IMF7之间的相关系数,构造相似矩阵为:

利用式(19)计算可得综合相似系数Corri如表7所示。从表7不难看出,线路1的极性唯一不同,故可判断为线路故障,且线路1为待定故障线路,与无噪声情况下判断结果相同。

表7 各线路综合模糊熵和综合相关系数

按照选线流程,对各线路特征IMF分量进行模糊信息粒化,线路1特征IMF分量粒化后得到的三组Low、R、Up如图10所示,可以看出故障特征基本相同,然后求取对应曲线的离散Fréchet距离。S型隶属函数中a取25,c按照式(21)计算取为7.855 2,根据式(22)计算复杂影响因子w,最后构造的三组复杂特征矩阵如下:

图10 线路1模糊信息粒

故障线路1与非故障线路2叠加的混合向量和非故障线路之间叠加的混合向量如图11所示,从图11可以看出,与故障线路1叠加得到的混合向量增大了原有线路2特征IMF分量的复杂性,而将线路2与非故障线路3叠加,其复杂性几乎没有改变。计算得到各线路综合模糊熵HFE如表7所示,不难看出线路1的综合模糊熵最大,且与待定故障线路相同,根据选线判据,可判断线路1为故障线路,与无噪声情况下的选线结果相同。

图11 噪声情况下混合叠加向量

对比加入噪声和无噪声两种情况,可以看出,加入噪声后,各线路特征IMF分量之间的相关系数值降低,但是最后所求的综合模糊熵并没有降低,能够准确选线,文中提出的选线方法有很强的抗噪能力。若直接将各线路特征IMF分量混合叠加求取模糊熵FEi,各线路数据如表7所示,对比两组数据可以看出故障线路与非故障线路的HFEi都比FEi要大得多,可见文中引入的复杂影响因子增大了故障特征,使得选线更加准确。

6.3 母线故障分析

若单相故障发生在母线处,故障合闸角为0°,过渡电阻为500 Ω。对各线路T/4周期的零序电流进行CEEMDAN分解。对于各线路的IMF分量,连续均方误差准则判断的分界点可能不同,文中选取各线路最大的分界点作为整体分界点,计算各线路高频分量IMF的峰度,最终选取IMF1为特征IMF分量,求取各线路IMF1分量之间的相关系数,构造相似矩阵如下:

利用式(19)计算可得综合相似特征矩阵Corr:

可以看出,各线路极性相同,故可判断为母线故障。改变故障合闸角和过渡电阻,根据选线流程,得到每种情况下的综合相似系数如表8所示,可以看出,母线故障的判断不受故障合闸角和过渡电阻的影响。

表8 不同情况下综合相关系数

6.4 适用性分析

为了进一步验证综合模糊熵的适用性,分别改变故障距离、过渡电阻和故障合闸角,在不同故障条件下,求取综合模糊熵,按照选线判据,得到选线结果。

6.4.1 改变故障距离

当线路1发生单相接地故障,故障合闸角为0°,过渡电阻为200 Ω,并加入信噪比为20 dB的噪声信号。改变故障距离,分别为3 km、11 km和18 km,所得选线结果如表9所示。从表9可以看出,文中提出的选线方法不受故障距离大小的影响,选线结果准确可靠。

表9 改变故障距离选线结果

6.4.2 改变过渡电阻

当线路3发生单相接地故障,故障合闸角为90°,故障距离为5 km,并加入信噪比为20 dB的噪声信号。改变过渡电阻,根据选线流程,得到选线结果如表10所示。由表10可以看出,无论是低阻接地还是高阻接地,都能够正确选线,所提选线方法不受过渡电阻的影响。

表10 改变过渡电阻选线结果

6.4.3 改变故障合闸角

当线路4发生单相接地故障,过渡电阻为100 Ω,故障距离为2.5 km,并加入信噪比为20 dB的噪声信号。改变故障合闸角,按照选线流程,得到选线结果如表11所示,从表11可以看出文中所提的选线方法不受故障合闸角的影响,且在小角度故障时,故障特征更明显。

表11 不同故障合闸角下的综合模糊熵

6.5 优越性分析

零序电流高频分量在小故障合闸角或大过渡电阻的情况下,幅值和极性易受噪声等其他因素干扰,影响选线的可靠性。现有大多选线方法在理想情况下,选线准确率高,但是在小故障合闸角的情况下,受到噪声的干扰,可能会出现误判。为了验证文中所提方法在这方面的优越性,将文中选线方法与文献[20]进行对比。若线路2发生单相接地接地故障,故障距离为10 km,故障合闸角为30°,过渡电阻为5 000 Ω,并加入信噪比为20 dB的噪声信号,根据文中选线流程,构造双重矩阵,得到各线路综合相关系数和综合模糊熵,如表12所示。根据文献[20]的选线流程,对各线路故障相电流进行EMD分解,利用样本熵,求得各线路每组本征模态熵如表13所示。

表12 各线路综合相关系数和综合模糊熵

表13 各线路本征模态熵与可靠性指标

从表12可以看出,文中所提方法在小故障合闸角和高阻接地的情况下,仍然能够正确选线。但从表13可以看出,并不是所有情况下故障线路2的本征模态熵最小,若不考虑文献[20]所设的可靠性指标,按照文献[20]所述方法,最终得到的预判据为[0,0.182,0,0.818],选线结果为线路4,选线结果错误。可见在有噪声的情况下,其改变了IMF分量的复杂性和极性,导致文献[20]的选线方法失效。而文中提出的综合模糊熵,引入了复杂影响因子,并进行模糊信息粒化,从多尺度进行求解,克服了噪声对IMF分量的影响,能够正确选线,相比而言,文中提出的选线方法有一定的优越性。

7 结束语

提出了一种基于模糊熵和离散Fréchet距离的小电流接地故障选线方法,文中利用相关系数和引入复杂影响因子的模糊熵,构造双重判定矩阵,能够准确可靠的实现选线,大量的实验仿真结果表明:

1)利用CEEMDAN分解得到的各线路对应IMF分量,在短时窗数据下,有着的一定的极性关系,故障线路IMF分量与对应非故障线路IMF分量的极性相反,而非故障线路对应IMF分量之间的极性相同。

2)若将极性相反的高频IMF分量混合叠加,则会导致混合向量的复杂性增加,文中利用这一特性提出新的判据,并且对数据进行了模糊信息粒化,避免了单一尺度的弊端。

3)文中提出的引入复杂影响因子的模糊熵放大了故障特征,具有一定的抗噪能力,且不受故障合闸角和过度电阻的影响。另外,在小故障合闸角和高阻接地的故障情况下,受噪声干扰,仍然能够正确选线,相比而言有一定的优越性。