离轴抛物面超精密加工轨迹时间序列控制方法

蔡杨

（浙江永成机械有限公司，浙江 诸暨 311835）

0 引言

在光学加工中，无旋转对称轴的光学自由表面是一个复杂的、不对称转动的光学平面，该平面主要包括离轴面、环形面、光学曲面等，这些光学曲面的加工对光学机械的加工精度有很大的影响。近几年，由于GPS、手机等设备的广泛应用，使得轨迹数据的采集更加方便。该轨迹数据能记录下切削过程，并能反映出切削过程的规则。然而，轨迹数据非常复杂，采用单一的准则只能探测到一些轨迹，很难得到大量的轨迹信息，对海量的原始轨迹进行数据挖掘，其效果不佳。在后续研究过程中，文献[1]提出了基于DBSCAN的检测控制方法，这种算法可以在不需要人工设置的情况下，对相邻的时间和空间上的相邻轨迹点进行自动鉴别。扩展了DBSCAN的方法，在后加工过程中考虑轨迹的时域特性。这种方法以DBSCAN为基础，对噪声有很强的鲁棒性，适合于实际的跟踪数据处理。其缺点是传统DBSCAN算法必须通过计算各数据到跟踪点的距离来选取核心点，而当数据量很大时，会占用大量的运算时间；文献[2]提出了基于时间序列的聚类方法，将满足连续时间条件的聚类次序作为聚类顺序，将其与可到达的核心顺序进行融合，从而找到轨迹点。该方法使用了一种基于时间顺序的分簇技术，具有很高的时效性，但由于其对参数的敏感性，往往要通过穷举法来精确地进行参数的修正，耗时很久，有时还会出现无法确定的问题。针对现有方法的不足，提出了离轴抛物面超精密加工轨迹时间序列控制方法。首先采用时间序列聚类方法检测加工轨迹，然后采用PMAC的时基控制方式，实现加工轨迹时间序列控制。

1 基于时间序列聚类的加工控制轨迹检测

由于传统的密度聚类法无法精准识别随机抽样轨迹的轨迹点数，并且不能很好地分辨出运动点与其它运动点。因此，通过时间序列聚类检测轨迹点。设置相应的过程中的时间加权，检测基于轨迹点分布聚簇性的加工轨迹，分析加工轨迹聚集特性。

1.1 离轴抛物面超精密加工控制过程分析

在离轴抛物面超精密加工过程，对于加工工艺的离轴抛物面方程可表示为

式中，r为焦距。

加工范围为在x∈（950，990），y∈（1800，1900），离轴抛物面的加工抛物面大小为1500 mm×1000 mm，处理后的抛物面示意图如图1所示。

图1 加工抛物面位置示意图

在超精密加工过程中，需要将零件的重心移至坐标原点。在轴坐标系统内，工件的任意变换均可视为笛卡尔坐标系统中的X轴、Y轴、Z轴上的一种零件，且在这三轴的移动和围绕三轴的转动而形成的[3-4]。设离轴抛物面底端存在两个点，分别是X1（z1，y1）和X2（z2，y2），计算这两个点的绕X轴旋转角度，公式为

按照公式（2）的计算原理，替换抛物面上其余角点坐标，由此能够得到其余点与点之间的旋转角度[5]。

1.2 时间序列聚类权值确定

在机床上，不仅要建立工件的坐标系，还要使机床坐标系与工件坐标系之间相互转化。以机床零点为基准，通常采用柱坐标系[6]。而工件坐标系指的是笛卡尔坐标系，因此在进行加工之前，必须将笛卡尔坐标系中的零件外形表达式转化到柱坐标系中，如式（3）所示：

在不同时间序列下，为了获取新的加工方程，将原方程绕X、Y坐标轴旋转，可得到：

将方程的X、Y和Z轴坐标值各取一轴进行平移转换，可将工件方程式移到原坐标处，使工件方程能移动至坐标原点，由此实现了对零件的坐标系统的转化[7-9]。按照式（4），可以把它转化为柱坐标系下的曲面方程式，并依据加工点的坐标，代入方程求出该面的坐标Zi。在机床上，轴驱动零件转动，使X轴均匀地送料，直线马达驱动刀片Z轴进行高精密的来回移动，实现不均匀表面的切削[10-11]。在实际应用中，由于非对称曲面的不均匀性和取样时间的不确定性，必须将加工轨迹点时间间隔映射成0～1的数值，这就等于在各个处理时间内设定了时间权重，使得各个加工时间点间交互作用，从而实现了轨迹点的控制[12]。

1.3 基于轨迹点分布聚簇性的加工控制轨迹检测

采用中间时段和标准时段之比，以消除各种轨迹之间的时间间距对轨迹的作用。标准时段是指位置装置的正常记录时段，也就是发生频率最高的时段。具体计算如式（5）所示：

式中：x为加工轨迹中心点，i为按时序排列的点，ti为排序加工轨迹时间，tre为标准工艺记录时段[13]。

由于在超精密加工轨迹点检测中，轨迹点的位置分布是聚集的，因此利用近场法可以更好地反映出这些特征[14]。此外，导入对象和场点的指标偏移可以更好地反映出加工轨迹的聚集特性。密度的计算公式为

式中：ai、aj分别为i、j时间顺序位置的轨迹点；δ为距离标准差；e为用于控制加工对象间的相互作用因子；u、l分别为检索窗口上界限和下界限。

通过轨迹点的密度求出各轨迹点为待控制轨迹点的概率，然而，在轨迹点密集程度上，采用单个门限难以对其进行精确识别。提出了一种利用时间-空间顺序进行聚类的算法来解决单个轨迹的追踪问题。在此基础上，根据每个轨迹点的密度来求出最小密度阈值，并将符合轨迹点纳入候选轨迹点集合之中。如果不符合，那么需要判断目前簇内最大密度max_threshold尺寸，如果超过max_ threshold，那么就将目前簇作为真实跟踪轨迹点。

2 基于PMAC的加工轨迹时间序列控制策略

时基控制是利用外界输入的信号频率来实现对加工过程和编程速度进行的一种控制方法。利用PMAC实现了对非可控轴的控制，以运动点更新率为主要参数，实时输入频率为时基控制的输入频率，无控制轴为输出频率，从而实现了对加工轨道的时基控制。

2.1 基于PMAC的不可控轴与可控轴位置势函数控制

采用Nanosys-1000型光学加工机床进行了加工确认过程试验，该机床的主轴没有不可控C轴的位置调节，要完成不旋转的对称表面，必须进行Z、X和不可控C轴的协同调节[15]。时基的控制原理如图2所示，以不可控C轴为输出信号频率来限制加工动作速度控制。

图2 时基控制原理图

采用这种控制方式，既能保证Z轴的转速与输出的频率的比例，又能保证非可控轴与受控轴线之间的全部位置的同步。基于场论的物理概念，将粒子之间的相互作用和场的表征引入到一个抽象的数域中，将粒子看成是一个有特定质量的颗粒，围绕着一个球形对称性虚拟场。与物理场的矢量强度和标量位势函数相似，其势函数定义为

式中：|d-di|为加工工具到场点距离，n为加工次数。

在轨迹上，离轴抛物面超精密加工的轨迹点在时空上都具有高度集中的特点，不同轨迹点之间的相互影响比较明显，从而使势函数的位形变得更大。针对该情况，通过数据场计算密度，并将轨迹点当作具有一定质量的粒子，在其周围有一个虚拟作用场，通过势函数曲线来测定轨迹点的密度。随着势的增大，轨迹点位的密度也会随之增大，为离轴抛物面超精密加工的轨迹点的可能性越高。

2.2 时基控制策略

时基控制以移动点更新速率为主要计算参量，进给速率的超调量为

式中：TB为时基因子，g为实时输入频率。

时基因子为一整数值，须确定此值准确地完成时间基数的配置。将实时输入频率作为时基控制的输入频率，以非控制轴为输出频率，使程序与动作在不能控制的轴线上运行。时基控制在前一次的伺服循环中，对每一次的伺服循环进行更新。伺服环的动态性能不发生变化，只是命令的执行速率随着外界输入的信号速率的不同而发生了改变。同时，由于在整个坐标系内，各运动轨迹都会随着外界信号速率发生变化，因此，刀具最后的空间路径不会发生变化。采用时基多轴同步方式，利用编码机的硬件捕获能力，将时间基础的零点信息存储到一个暂存器中，并将该位置用作时间基础的移动零点。利用时间基准控制函数，可以准确地完成通道间的同步运动。

3 实验

建立了一个实验平台，利用Dobot机械手对三维混合物料的抓取力进行了实验，以验证离轴抛物面超精密加工轨迹时间序列控制方法研究的合理性。

3.1 离轴抛物面超精密加工过程

通过物料三维形貌测量实现机器人按照抓取次序控制夹具定位，经过离轴抛物面超精密加工轨迹的3D特征点，精确获取机器人工作路径的3D空间信息。机器人抓取示意图如图3所示。

通过对加工路线的拟合，可以将机械臂的坐标转换为机械臂的坐标系统，从而达到了离轴抛物面的超精加工与机械手的坐标系统的一体化。

3.2 实验数据分析

在全工序中，Z轴随着主轴的角度改变而逐步改变，而在工件的转动中，夹紧轨道为螺旋式，如图4所示。

图4 加工轨迹曲线

由图4可知，为了方便实验研究，将加工半径设置为140 mm，抓取速度为1 mm/min，需要抓取1500次才能完成整个工件加工。在由多条轨迹组成的轨迹曲线中，加工轨迹中心为（-150,300,0），其中最大加工轨迹中心坐标为（-150,300,65）。

利用双眼3D激光扫瞄技术，可以准确地测量被测工件的表面形态，并将结果传递给机器人控制器进行姿态校正。正常加工的投影情况如图5所示。

图5 正常加工投影情况

由图5可知，正常加工投影在三维坐标系内是一个离轴抛物面体，平滑且完整。

3.3 实验结果与分析

当抓取次序出现偏差时，离轴抛物面超精密加工图像将发生投影畸变，这就说明机器人抓取并没有按照预先设定的次序进行抓取，导致加工轨迹时间序列控制效果不佳。为了验证所研究的基于PMAC的加工轨迹时间序列控制策略能够达到理想控制效果，将其与基于DBSCAN的检测控制方法、面向序列的聚类方法进行对比分析，对比结果如图6所示。

图6 不同方法加工投影效果对比分析

由图6可知，使用基于DBSCAN的检测控制方法丢失了后半部分加工轨迹，导致离轴抛物面超精密加工图像发生投影畸变，说明无法有效控制加工轨迹时间序列；使用面向序列的聚类方法丢失了前半部分加工轨迹，出现了加工图像投影畸变现象，说明无法有效控制加工轨迹时间序列；使用基于PMAC的控制策略，具有完整超精密加工轨迹，不会出现投影畸变现象，说明该方法能够有效控制加工轨迹时间序列。

4 结语

针对传统控制方法控制效果不理想的问题，提出了离轴抛物面超精密加工轨迹时间序列控制方法，并得出如下结论：1）利用笛卡尔坐标系，将零件的轮廓表示形式转换为柱面坐标系，实现了工件的坐标系统的转换；2）根据轨迹点分布的聚簇特征，对加工路径的聚集特征进行了分析，并排除了不同路径间的间隔对加工轨迹的影响；3）利用PMAC实现了对不可控轴与可控轴位置势函数的控制，完成了加工轨迹时间序列的时基控制；4）经过机器人抓取次序控制实验，证实所研究方法能够获取以（-150,300,0）为加工轨迹中心的完整加工轨迹，有效控制加工轨迹时间序列。