基于粒子群与遗传算法的消色差超透镜自动设计

李昭慧,吕怡豪

(西安科技大学 通信工程学院,陕西 西安 710600)

1 引 言

近年来,微纳光子学蓬勃兴起,并随着精密加工技术的发展,人们利用纳米结构材料实现对亚波长光场调控的能力取得长足的进步。2011年,哈佛大学的Capasso教授研究组即提出了超表面(Metasurface)的设计思想——通过由亚波长结构单元组成的薄层局域地控制空间光场的相位、偏振、振幅等物理量。超表面器件可以有效地调控光特性从而实现特定应用[1-3],同时避免了光在体块材料内部传输造成巨大损耗,具有轻量化、易集成的优点,因而具有重要的应用前景。

超表面用作聚焦透镜即为超透镜,它可以产生双曲相位面,从而获得较大衍射效率的聚焦光束[4-7]。然而,超透镜作为一种衍射型器件,受限于亚波长结构单元的波长敏感性,往往存在较强的色散,严重影响其在全色光学应用中的性能。

为解决超透镜的色散问题,国内外的研究者提出了多种方法。2015 年,Capasso 等人实现了采用色散相位补偿的多波长消色差超表面[8],使得各个波长在焦距为7.5 mm处聚焦良好。2019年,Hu 等人使用了一种圆柱形单元结构实现了工作在234～274 nm的消色差超透镜。使得在宽带范围内焦距为4.75 μm几乎保持不变,并且测得的爱里斑的最大半峰宽度(FWHM)值接近衍射极限尺寸[9]。2022年,Chen等人采用了硅纳米柱和相板组成的集成单元结构实现了波长在1100～1500 nm范围内焦距在32μm处保持基本不变的消色差超透镜[10]。以上工作是由科学家根据计算和经验,挑选出光学响应接近于设计目标的单元结构,进行组合构成超透镜初始结构,然后再仿真分析其性能,并对结构进行优化微调,如此反复迭代,直到超透镜光学响应能够满足设计要求。人工挑选单元结构可能存在偏差,多次仿真与参数优化耗费大量时间[11]。

为实现自动设计与优化,Capasso团队在聚焦公式中引入一个仅与波长相关的优化因子,采用粒子群优化算法来确定每个波长的优化因子,实现了反射式消色差超透镜[12]。另外,国内学者申益佳同样利用粒子群优化算法设计了一种相位调控型透射式超透镜,实现了400～650 nm波段的宽带消色差聚焦功能,并且仿真出的半峰宽度与计算的理论衍射极限相比具有较高的一致性[13]。粒子群优化算法虽然实现方式简单,全局搜索能力强,但缺乏速度的动态调节,容易陷入局部最优,导致收敛慢且精度低[14-16]。

而智能优化算法中另一种算法是遗传算法,遗传算法是借鉴自然界生物的进化方式,将生物进化的过程算法化,并在计算机上进行模拟实现,从而用来解决实际领域中的优化问题,是一种可以避免限于局部最值的全局搜索算法[17-18]。

因此,为实现宽带超透镜的自动设计,本文首先在高透过率SiO2基底以及高折射率Si纳米柱所组成的微纳结构基础上,研究固定高度下,不同直径纳米柱在宽波长范围的调制特性。之后,通过改进粒子群优化算法并引入遗传算法组成混合算法,搜索超透镜中每个位置的最佳单元结构,实现了宽带的消色差超透镜的设计,达到了在正入射的条件下,将1000～1250 nm红外波段的平面波汇聚到轴上同一焦点。

2 宽带消色差超透镜设计原理

为实现波长为λ的平面波在正入射条件下透过焦距为f的超透镜聚焦,要求超透镜上距透镜中心为R的任一点,对中心提供的相对相位偏移φ(R)为[19]:

(1)

当入射波长带宽为(λmin,λmax)时,由于不同波长的光在介质中的传播速度不同,并不能对不同波长入射光产生同样的相位延迟,即不能透过超透镜聚焦于同一个位置,从而产生色差效应。在固定焦距f下,R点的相位分布同波长的函数关系表示下为式:

φlens(R,λ)=φ(R,λmax)+Δφ(R,λ)

(2)

其中:

式(2)表明:偏移相位可以被分为两部分,其中φ(R,λmax)为参考相位,仅仅与λmax相关而独立于工作波长λ,利用式(1)就可以获得;Δφ(R,λ)是一个与工作波长相关的函数,与1/λ成线性关系,可被看作在波长λ相对波长λmax在R点产生的相位差。

消色差超透镜设计的目的即寻找最佳结构参数,使其在宽波段约束下,能够提供最接近φ(R)的调制特性。因此,相位分布φlens(R,λ)需要根据波长修正,使Δφ(R,λ)在各波长下都为0或常数,进而使其焦点位置调整。

恒定相位差Δφ(R,λ)可以通过设计每个单元结构的传输响应来实现。由于微纳结构对波长的敏感性,因此引入一个额外的优化因子C(λ),通过对特定波长的相位补偿,实现Δφ(R,λ)定值化。消色差超透镜的相位分布改写为下式:

φlens(R,λ)=φ(R,λmax)+Δφ(R,λ)+C(λ)

(3)

由于构建超透镜所需要的理想相位φ(R)是根据目标超透镜的参数直接计算出来的,而实际相位由微纳单元结构对光波的调制所提供。因此,需研究单元结构的调制特性,构建调制特性数据集,从中筛选符合调制要求的单元结构。

3 微单元结构响应特性数据库构建

由于柱形结构具有结构简单、光学性能优异(可以实现超广角、低畸变、高分辨率的光学成像)、体积小巧、易于模块化等优点,因此本文选取的纳米结构的形状为柱形结构。首先,选择如图1所示的微结构作为消色差超透镜的基本单元,该结构由二氧化硅基底和硅纳米柱两部分构成。超透镜的局部相位调控功能由微单元的材料及结构参数决定。在材料选定的情况下,调整硅纳米柱形状,考察其调制特性。

图1 消色差超透镜的单元结构

用于聚焦成像的超透镜单元应当满足0～2 π的相位调制深度覆盖,需要对单元结构的初始参数进行相应的设置。已有研究表明,固定硅纳米柱直径情况下,相位调制深度随单元柱高度的增高而变大[2]。因此,本文采用固定单元结构高度,改变单元结构直径的方式来实现相位调制。在数值仿真软件FDTD中搭建如图1所示的单元结构,并设置仿真区域及虚拟监视器。受制造工艺限制,设置单元结构高度为0.6 μm定值。由于目前超透镜制造的最小可实现宽度限制为0.08 μm,同时为保障聚焦效率,最大实现宽度一般设置为相邻单元中心至中心的距离,故纳米柱半径r的设置范围为(0.04 μm,0.2 μm)。

之后,调整硅纳米柱形状,考察其在不同波长下的调制特性。以硅纳米柱最小半径rmin=0.04 μm起始,逐步增大,增大步长Δr=0.0008 μm,直至最大半径rmax=0.2 μm为止。选择工作波段(λmin,λmax)=(1000 nm,1250 nm)上的6个特征波长(λ0=1000 nm,λ1=1050 nm,λ2=1100 nm,λ3=1150 nm,λ4=1200 nm,λ5=1250 nm),考察不同半径微纳结构对每个特征波长的调制特性,记录FDTD计算所得此半径单元结构对此波长入射光产生的相位延迟。最后将所得到的6个波长的半径与相位一一对应构建实际离散相位数据集合φ[r,λ],其中r为微纳单元结构半径,λ为特征波长。

相位延迟数据集φ[r,λ]如图2所示,可以看出6个波长的相位覆盖都在[0,2π]之间。

图2 各波长下微纳结构调制特性曲线图

4 PSO_GA算法寻找最优解

超透镜设计的目的是使单元结构对每个波长所给出的实际相位波面与理想相位分布之间的差异最小,如式(4),即使各位置R上的相位误差函数ε最小:

(4)

超透镜设计转化为求解C(λ)使上式取得极小值的数学问题。本文利用粒子群优化算法加上遗传算法(PSO_GA)搜索最优C(λ)。PSO_GA是以粒子群优化算法作为基本框架,在其中加入了遗传算法的交叉、变异操作,用于对种群进行更新。该算法是通过对主循环不断的迭代得到适应度最小所对应的最佳种群。其中交叉算子的引入可以提升算法的全局搜索性能,有效避免单一粒子群算法搜索陷入局部最优值的缺陷。因此组合后的 PSO-GA 混行算法的优化性能可以得到很大的提升[20]。本文设计的是数值孔径为NA=0.5、焦距f=20 μm 的宽带消色差超透镜。利用PSO_GA算法得到最优C(λ)具体流程如下:

(5)

Step3:对更新后的种群C′进行交叉、变异操作,具体过程为:

(6)

(7)

其中,下标p表示随机挑选某一行向量。

利用PSO_GA算法得到最佳的6个C(λ)列于表1。

表1 各个波长对应的最优的优化因子C(λ)

同时,考察本文提出的PSO_GA算法和传统PSO算法的性能,结果如图3所示。

图3 PSO以及PSO_GA寻找最优C(λ)的性能对比图

其中,图3(a)绘制了两种算法优化下,适应度值的下降曲线。可以看出:要使适应度趋于稳定,PSO_GA算法所需的迭代次数要小于PSO算法,这表明PSO_GA算法的收敛性更好。图3(b)则是10次蒙特-卡罗实验结果,两种算法分别运行得到最优解,计算第1次的最优解与之后每次的最优解的相关度,并画出折线图。通过比较可以看出:PSO_GA算法每次运行结果的相关度起伏较小(实线型),而PSO算法每次运行结果的相关度起伏剧烈(虚线型),这表明PSO_GA算法的稳定性更好。

5 实验验证

5.1 根据得到的最佳C(λ)利用FDTD构建超透镜

首先将得到的各个波长最优C(λ)带入式(3)得到超透镜中每个位置对应的最佳相位φlens(R,λ)。

其次,让超透镜每个位置的最佳相位φlens(R,λ)分别与相位数据库φ[r,λ]中的值做差,从相位数据库φ[r,λ]中找到与各个位置最佳相位φlens(R,λ)最接近的那个相位值,其中二者之间的最大误差为构建相位数据库时单元结构纳米柱半径增大步长的一半,即Δr/2=0.0004 μm。根据φ[r,λ]中相位与单元结构半径的对应关系,找到每个位置最优的单元结构。

最后根据选择好的单元结构使用数值仿真软件FDTD构建超透镜,本文构建的是直径为23.3 μm的圆形超透镜,其中超透镜的每条直径上分布着40个微单元结构,构建结果如图4所示。

图4 微单元阵列构建的超透镜

5.2 验证超透镜是否满足消色差需求

超透镜构建完成之后,在数值仿真软件FDTD中分别使用波长为1000 nm,1050 nm,1100 nm,1150 nm,1200 nm,1250 nm的平面波照射超透镜,计算获得焦平面处的远场光强度分布,如图5所示。其中,超透镜位于z=0处,图5(b)是每个波长下,x-z平面内的光场强度分布图,可以看出每个波长对应的焦距都在20 μm附近;图5(a)是每个波长下,z=20 μm 距离处x-y平面的光场分布图,可以看出λ=(1000～1150 nm)的爱里斑能量都比较集中,聚焦效果较好,而随着波长的增大,即λ=(1200～1250 nm)的爱里斑弥散,表明出现色差。

图5 不同波长通过超透镜后的平面光场分布图

5.3 定量的评估与对比

为定量评估宽带消色差透镜的聚焦性能,分别计算特征波长的衍射极限,并搜索图4(b)中的爱里斑的半峰宽度(FWHM),列于表2。通过比较可以看出,二者具有较好的一致性,说明聚焦效果良好。

表2 理论衍射极限与优化设计所得超透镜爱里斑直径比较

另外,表2还列出了利用PSO算法得到的FWHM。通过计算得出利用PSO算法得到的FWHM与衍射极限的最大误差errmax1=0.581,利用PSO_GA算法得到的FWHM与衍射极限的最大误差errmax2=0.259。通过比较可以看出利用PSO_GA算法得到的FWHM与衍射极限的最大误差较小,说明利用PSO_GA算法得到超透镜聚焦效果更好。

6 总 结

本文设计了以二氧化硅为基底的硅纳米柱单元结构,首先通过改变其半径来获取不同半径对应的不同相位构建相位数据库,然后通过PSO_GA算法找到每个波长最优的C(λ),并根据C(λ)从相位数据库中找到超透镜每个位置最佳的单元结构,最后在FDTD上构建超透镜,此透镜对1000～1250 nm波长范围光波聚焦效果,最大焦深差<3 μm,最大焦斑半径差<1 μm,说明具有良好的聚焦效果。本文所使用的PSO_GA算法相对于传统的PSO算法具有更快的收敛速度以及更高的稳定性,另外利用PSO_GA算法构建的超透镜相较于利用PSO算法构建的超透镜在聚焦效果以及光斑质量上也具有明显的改善。