复变函数与积分变换课程教学改革

刘慧琴

摘要：文章针对学生在复变函数与积分变换课程中学习效果不佳的状况，分别从教学内容、教学方法、考核方式三个方面提出了主要的改革措施，并在班级上课中进行落实，由此呈现出的教学效果和取得的教学成果也给出反馈。

关键词：教学改革；教学内容；教学方法；考核方式

一、改革背景、意义和思路

复变函数与积分变换课程对自然科学和工程技术等领域的发展有着重要影响，它在弹性力学、流体动力学、理论物理学及气体动力学等方面均有广泛应用。闽南理工学院在电子信息工程、建筑电气及其智能化工程、电气自动化工程等专业均安排了复变函数与积分变换作为基础课程，它是学生进行专业学习、实际操作以及今后进一步深造必不可缺的知识储备。但是，复变函数与积分变换课程内容较为抽象，不易理解，大多数学生有抵触情绪。为了改变现状，提高教学效率，本文从教学内容、教学方法、考核方式三个方面对复变函数与积分变换课程进行改革。

二、改革措施的具体落实

（一）调整教学内容

为避免出现重复教学和理论知识缺失的情况，教师要根据专业需要删减、增补教学内容，从课程开始就避免学科之间知识点脱节的问题，使知识能够相互促进，相互补充。这样，既兼顾了专业学科的知识，又使得复变函数与积分变换课程的教学更有针对性，让学生体会到各学科间是相互关联的。

基于上面的思路，笔者整理出以下学科之间的一些交叉知识点。如信号与系统作为电子学院专业基础课，课程内容中的三大变换包含复变函数与积分变换课程中要学到的傅里叶变换与拉普拉斯变换；光电学院的控制工程基础课程中要使用拉普拉斯变换来研究系统的动态特性；电学中研究线性电路受到具有脉冲性质的电势作用之后产生的电流需要用到复变函数与积分变换课程中的单位冲激函数。对于这些交叉点内容，教师应根据不同专业学生的学习先后顺序，适度调整课时的进度。

另外，在教学内容方面，教师还应讲解这些知识点在实际问题中的应用。对于有些比较繁杂的定理推导，教师可以着重讲证明思路，适当缩减教学时长。这样，不仅降低了课程的理解难度，还避免出现学生因学起来吃力而放弃的问题。

为了维护国家意识形态安全，培养为中国特色社会主义事业奋斗终身的建设者和接班人，将思政元素融入日常教学显得越来越重要。笔者总结了一些思政元素切入点，并已经在日常教学过程中逐渐实践，如表1所示。

（二）精进教学方法

第一，将先进发达的教育技术合理融入复变函数与积分变换课程教学，同时不可放弃板书。每次课前，笔者会在学习通上把课堂上将要讲授的内容制作成文件发到班级群里，并发布一些问题与小任务，让学生有目的地展开预习。课后，笔者会将课件和课堂上用到的视频再次发给学生，用于回顾和复习，让学生能更高效率地学习。此外，对于复变函数与积分变换课程中留数的计算、有理函数的展开、Fourier变换及其逆变换中运算前后的信号时域波形、频谱变化过程等内容，教师可以用Mat1ab软件形象地展示出来，使学生直观地理解与掌握相关知识。但在上课过程中，遇到例题或习题的讲解时，教师要注重板书的运用。如果仅用演示文稿讲解，学生的思路容易简化，等真正做题时可能不知怎么下手。因此，教师最好用板书把步骤一步步写出来，学生的思路也会一步步跟上。练习时，教师应要求学生必须动笔一步步书写出来。

第二，课堂上尽可能多运用类比法、引导启发法和归纳总结法等教学方法。比如，在高等数学教学中，学生已经学习了实变函数的连续性、导数、区间内可导、积分等相关概念与判定方法，教师先抛出这些知识点让学生回忆，再通过类比法引入复变函数的连续性、导数、解析、积分等相关概念与判定方法，然后引出问题：通过比较和讨论，总结归纳实变函数与复变函的概念及判定方法之间的区别和联系。教师可以针对性地出一些相关的练习题目，让学生自主、独立地求解，以此达到加深学生对这些知识点的认知与掌握的目的，提高活学活用能力。

在高等数学教学中，学生已经学习了微分方程的求解，而复变函数与积分变换课程中拉氏变换能将微分方程转变为代数方程求解。在讲授这部分内容时，教师可以引导学生见识不同学科间的交融，拓宽他们的眼界，让他们明白不同的两门学科却可以解决同一个问题，以此启发他们多角度、全方位地看待问题和解决问题。

在讲授复变函数的积分时，教师介绍了几种计算复积分的方法。随着学习的深入，教师讲授留数、傅里叶变换、拉普拉斯变换的内容时也会涉及复积分的计算。这就要求教师引导学生归纳总结学到的复积分计算方法，在脑海中形成知识网。

第三，结合所教授专业，理论联系实际，加强实践环节。开课前，教师可以和专业课教师一起确定接下来要实施的一些科研或科技项目，并在上课过程中紧密围绕项目开展复变函数与积分变换教学。比如，信号的传输过程中关于降噪、改善信号混叠等问题的项目，就与复变中傅里叶变换的性质息息相关。这种教学方式既可以提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，又对培养当今社会所需要的高素质人才有着重要意义。

（三）采用科学严谨的考核方式

在闽南理工学院，复变函数与积分变换课程是考查课，期末综合成绩采用平时成绩和期末考试成绩各占百分之五十核算的考核方式。这样的考核方式存在许多弊端，会出现不公平公正、全班差距不大等问题。因此，改革课程的考核方式，采用科学严谨的考核方式势在必行，具体做法如下。

第一，將平时成绩具象化。平时成绩包括出勤、作业、课堂分组讨论、课堂随机点名回答问题以及听课态度等综合表现，教师应该在每学期开始前制订详细的课程考核评价标准，对平时成绩中的每一项如何评分给出具象化的标准。比如，为避免出现平时作业抄袭问题，教师可以在学习通上出几套试题，发放时采取随机抽取、题号打乱等方式。在课堂上主动答题或教师随机点名能回答出问题的学生均给予加分。教师要如实做好每项记录，以保证每位学生的平时成绩都是真实、具体、公正与合理的。

第二，在考核中增加期中考试成绩这一项。在学期中段举行期中测试，通过成绩来警醒前段学习态度不端正的学生，及时调整学习状态，缩小之前的差距。同时，评分较高的学生对课程后段的学习会产生热情，以此起到承前启后的作用。

第三，期末考试时采取开卷考试。这种考试形式势必要求任课教师增加试卷的覆盖面与灵活度，学生需要参照课本习题或例题的解题思路和方法自行把题目做出来，部分题目还需要通过查阅相关资料做出对应的思考才能获取答案。这更能考查学生真实的学习水平。

表2为笔者制订的复变函数与积分变换课程考核评价方案。根据该方案，教師可以真实、具体、公正、合理地计算出每个学生的平时成绩与综合成绩。

笔者所教学班级在学习通上期末考试的统计数据详情显示，考核方式的改革取得了良好的成效。改革前，平时好好学习的学生很难与其他学生区分开来，平时没好好学习的学生也可能取得好成绩。改革后，成绩分布趋于正态分布，更能考查出学生相对真实的学习水平，平时好好学习的学生能脱颖而出。

在教学过程中根据专业调整教学内容，授课时精进教学方法，采用科学严谨的考核方式后，学生对复变函数与积分变换课程的学习热情有所提高，更清楚复变函数与积分变换在专业知识学习中的重要性，教学效果有了一定的改善，也取得了一些教学成果。但课程教学改革是一个长期的过程，教师需要在教学中不断实践，适时调整，逐渐完善。

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基金项目：闽南理工学院教育教学改革与研究项目，项目编号：JG-2022-CK2259。