具有中间幂等元的r-宽大半群

白雪娜，宫春梅

(西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安 710055)

格林关系在正则半群的研究中扮演着重要的角色.2011 年，郭聿琦[1]将格林关系推广至(*,～)-格林关系，并定义了r-宽大半群.郑娇[2]将适当半群和型A半群在r-宽大半群中进行了推广，定义了弱适当半群和弱型A半群.

称 (S,·,≤) 为偏序半群，若 (S,·) 为半群，(S,≤) 为偏序集且满足条件：

偏序半群S称为自然序的，如果关于任意e,f∈E(S)，eωf(ω 是幂等元集上的自然序)，则e≤f.Blyth 等[3-5]研究了几类自然偏序正则半群的结构，McAlister 等[6]研究了自然序正则半群的最大幂等元.郭小江[7]研究了可控自然序富足半群的结构.EI-Qallali[8]证明了任意具有充分可乘中间幂等元的富足半群是具有最大幂等元的自然序富足半群.本文则证明了具有弱型A可乘中间幂等元的r-宽大半群是具有最大幂等元的自然序r-宽大半群.

1 预备知识

本节中，如果无特别说明，S总表示r-宽大半群，E为半群S的幂等元集分别表示含元素a的 L*,～-类和 R*,～-类.此外，利用a*和a+分别表示中的一个幂等元.显然，a=aa*=a+a.

引理1[1]令S为一半群，E为半群S的幂等元集，且a,b∈S.则下列命题成立：

(i) (a,b)∈L*,～当且仅当关于任意x,y∈S1，ax=ay⇔bx=by；

(ii) (a,b)∈R*,～当且仅当关于任意f∈E，fa=a⇔fb=b.

一般情况下，L*,～是右同余，而 R*,～不是左同余.L ⊆L*⊆L*,～和 R ⊆R*⊆R*,～.

引理2[1]令S为一半群，E为半群S的幂等元集，且a∈S，e∈E.则下列命题成立：

(i) (a,e)∈L*,～当且仅当ae=a，且关于任意x,y∈S1，ax=ay⇒ex=ey；

(ii) (a,e)∈R*,～当且仅当ea=a，且关于任意f∈E，fa=a⇒fe=e.

引理3[1]令S为一半群，E为半群S的幂等元集，且e,f∈E.则下列命题成立：

(i)eL*,～f当且仅当eLf；

(ii)eR*,～f当且仅当eRf.

半群S称为r-宽大半群[9]，如果S中的每一 L*,～-类和每一 R*,～-类至少包含一个幂等元；r-宽大半群S称为弱适当半群[9]，如果S的幂等元集E形成半格；r-宽大半群S称为拟弱适当半群[9]，如果S的幂等元集E构成子半群，即E是一个带；弱适当半群S称为弱型A半群[2]，如果 (∀a∈S,e∈E)ea=a(ea)*，ae=(ae)+a.

引理4[2]令S为弱适当半群，E为S的幂等元集，且a,b∈S，则下面4 条成立：

(i) (ab)*=(a*b)*，一般地,(ab)+≠(ab+)+；

(ii) 如果 R*,～是左同余，则 (ab)+=(ab+)+；

(iii) 关于任意e∈E，(ae)*=a*e;若 R*,～是左同余，则 (ea)+=ea+；

(iv) 若 R*,～是左同余，则 (ab)+≤a+，(ab)*≤b*，其中 ≤ 是E上的自然偏序.

a,b∈S

命题1令S为弱适当半群，且，则下面命题成立：

(i) (ab)*b*=(ab)*，一般地，a+(ab)+≠(ab)+；

(ii) 若 R*,～是左同余，则a+(ab)+=(ab)+.

证明(i)由 L*,～是右同余，据引理4 中(iii)得 (ab)*b*=(abb*)*=(ab)*.

(ii)若 R*,～是左同余，则据引理4 中(iii)得a+(ab)+=(a+ab)+=(ab)+.证毕.

定义1称半群S的子半群U是S的(*,～)-子半群，若关于任意a∈U，存在幂等元e,f∈U，使得aL*,～(S)e和aR*,～(S)f.

任意(*,～)-子半群都是r-宽大半群.

引理5令S是具有幂等元集E的r-宽大半群，则关于任意e∈E，集合eSe是S的一个(*,～)-子半群.

证明显然，eSe是S的一个子半群.令a∈eSe，则存在f∈E，aL*,～(S)f.若ae=a=af，则fe=f，且ef∈E(eSe). 因此aef=af=a，使得关于任意s,t∈S1，

据引理2 可知aL*,～ef.

下 证aR*,～he. 令a∈eSe，则存在h∈E，aR*,～(S)h.若ea=a=ha，则eh=h，且he∈E(eSe).因 此hea=ha=a，使得关于任意g∈E，

据引理2 可知aR*,～he. 故eSe是S的(*,～)-子半群.证毕.

推论1若S是弱适当半群，则关于任意幂等元e∈S，eSe也是弱适当半群.

推论2若S是弱型A半群，则关于任意幂等元e∈S，eSe也是弱型A半群.

偏序半群S称为自然序的，如果S的幂等元集E上的自然序 ω (eωf⇔e=ef=fe，∀e,f∈E)可扩张为S上的偏序 ≤，等价地说，

称S上的自然偏序是自然序，如果它关于S上的二元运算是相容的.

令S是r-宽大半群.在S上定义关系 η 如下：

易知，关于任意e,f∈E，eηf⇔eωf.

命题2令S为弱型A半群，E为S的幂等元集，则关系 η：

是S上的自然序.

证明显然自反性和传递性成立.下证反对称性.

若关于任意x,y∈S，且e,f∈E，使得xηy和yηx分别表示为x=ey和y=fx，则

其中ef是幂等元.这表明关系 η 满足反对称性.因此关系 η 是偏序关系.

下证关系 η 的相容性.令x,y,z∈S，xηy.据x=ey，知xz=(ey)z=e(yz)，因此xzηyz.又因

易知zez-1是幂等元，则zxηzy.故关系 η 在S上是相容的.

令e,f∈E，且eωf，则ef=e=fe，从而eηf，因此序关系 η 是自然的.证毕.

推论3令S为弱型A半群.则关于任意x,y∈S，xηy蕴含x+ωy+和x*ωy*.

证明关于任意x,y∈S，存在e,f∈E，

证毕.

2 中间和相关幂等元

令S是一个半群，E是S的幂等元集.令 〈E〉 是由E生成的半带.幂等元u称为中间幂等元，如果关于任意e∈E，有eue=e.本文将用到以下概念：

(i) 中间幂等元u是弱型A(弱适当)中间幂等元，如果uSu是弱型A(弱适当)半群；

(ii) 中间幂等元u是可乘中间幂等元[8]，如果关于任意e,f∈E，uefu∈E；

(iii) 中间幂等元u是弱型A可乘中间幂等元，如果u是可乘中间幂等元，且uSu是弱型A半群；

(iv) 中间幂等元u是强中间幂等元[8]，如果关于任意e∈〈E〉，eue=e；

(v) 中间幂等元u是正规中间幂等元[3]，如果u是强中间幂等元，且u〈E〉u是半格.

引理6[8]若u是强中间幂等元，则下列几款成立：

(i) 〈E〉 是正则半群；

(ii) 〈E〉u=Eu；

(iii)u〈E〉=uE；

(iv)u〈E〉u=uEu.

由上述引理可知，Eu，uE及uEu是带.

引理7令S为r-宽大半群，u是中间幂等元.则关于任意a∈S，有a+ua=a=aua*.

证明若关于任意a∈S，满足且a+ua+=a+，a*ua*=a*，则

故a+ua=a=aua*.证毕.

引理8令S为r-宽大半群，E为幂等元集，u∈E，且 L*,～和 R*,～分别是S上的右同余和左同余.则关于任意a∈S，下列几款成立：

(i)aL*,～uaL*,～ua*；

(ii)aR*,～auR*,～a+u；

(iii)ua*uL*,～uauR*,～ua+u.

证明因为(iii)可由(i)和(ii)得到，(i)可参考文献[8]，故只需证明(ii)成立.

因为 R*,～是左同余，则关于任意e∈E，

从而aR*,～au.

从而aR*,～a+u.证毕.

推论4令S为具有中间幂等元u的r-宽大半群，E是S的幂等元集，〈E〉 是由E生成的半带，则uS，Su及uSu是拟弱适当半群，且

证明显然，uE⊆u〈E〉⊆E(uS)，且u〈E〉 是uS的子带.注意到，关于任意e=ux∈E(uS)，有e=ux=uux=ue∈uE，则E(uS)⊆uE，从而uE=u〈E〉=E(uS). 同理可证E(Su)=〈E〉u=Eu和E(uSu)=u〈E〉u=uEu.

下证uS是拟弱适当半群.令x∈uS，且y∈S，使得x=uy. 因为S是r-宽大半群，则存在∩E和f∈∩E.注意到 R*,～是左同余，从而有ue∈uE=E(uS) 和ueR*,～x，因此uS的每个 R*,～-类都包含幂等元.由 L*,～是右同余，同理可得uS的每个 L*,～-类都包含幂等元.故uS是拟弱适当半群.同理可证Su和uSu是拟弱适当半群.证毕.

命题3令S为r-宽大半群，E为正规带，且 L*,～和 R*,～分别是右同余和左同余.若u是正规中间幂等元，则下列2 条成立：

(i)Eu是一个左正规带，且为S的 R*,～-类代表元集；

(ii)uE是一个右正规带，且为S的 L*,～-类代表元集.

证明(i)易知Eu⊆E.据引理6 知Eu是带.则关于任意eu,fu,gu∈Eu(e,f,g∈E)，有

因此Eu是左正规带.

令x∈S，且e,f∈E，使得eR*,～xR*,～f.据引理8 知xR*,～xu，使得eR*,～xu，ueR*,～uxu，其中uxu∈uSu，且uxu,ueu∈E(uSu)，ux+uR*,～uxu.注意到ue∈E，ueR*,～ux+u且ue=(ux+u)ue.因此

同理可得ufu=ux+u，因此ueu=ufu.

因为euRe，fuRf，其中eu,fu∈Eu，则eu和fu是与x有 R*,～关系的幂等元，因此euRfu，且euLueu=ufuLfu，从而eu=fu. 故集合Eu是S的 R*,～-类代表元集.

同理可证(ii).证毕.

若u是弱型A中间幂等元，则据命题2，知 η 是uSu上的自然序.若关于任意e∈E(uSu)，eu=e，则eηu，且u是uSu上最大幂等元.因此得到如下命题4.

命题4若S是具有弱型A中间幂等元u的r-宽大半群，则 (uSu,η) 是具有最大幂等元u的自然序弱型A半群.

3 自然序r-宽大半群

本节中，如果无特别说明，S总表示为具有幂等元集E且包含弱型A可乘中间幂等元u的r-宽大半群，uSu是S的(*,～)子半群，且E°=E(uSu) 为半格.将EI-Qallali[8]在富足半群上的结果推广到r-宽大半群.考虑

注意到，关于任意e∈Eu，f∈uE，有fe=ufeu∈uSu.事实上是根据u的可乘性质，fe∈E°.在T上定义如下的二元运算：

显然T在该运算下是封闭的，且满足结合律，则T为半群.

引理9半群T是r-宽大半群.

证明令 (e,a,f)∈T.若a∈uSu(uSu是 (*,～)-子半群)，则存在a+∈E°，且uea=a蕴含uea+=a+.从而

因此 (e,a+,a+)∈E(T).

因为 (e,a+,a+)(e,a,f)=(e,a+ea,f)=(e,a,f)，则关于任意 (g,b,h)∈E(T)，

因此 (e,a+,a+)R*,～(e,a,f).

再证 (a*,a*,f) 与 (e,a,f) 有 L*,～关系.存在a*∈E°，且afu=a蕴含a*fu=a*，则

因此 (a*,a*,f)∈E(T).

因为 (e,a,f)(a*,a*f)=(e,afa*a*,f)=(e,a,f)，则关于任意 (g,b,h),(i,c,k)∈T，

因此 (e,a,f)L*,～(a*,a*,f).证毕.

关于r-宽大半群T中元素的中间分量排列，首先考虑uSu上的自然序 η(命题2)，分别定义 ≤r和 ≤l，

在T上定义 ≤，关于任意 (e,a,f),(g,b,h)∈T，

引理10在r-宽大半群T上，关系 ≤ 是自然序，其中 (u,u,u) 是T上的最大幂等元.

证明显然，关系 ≤ 在T上是偏序.令 (e,a,f),(g,b,h),(i,c,k)∈T，(e,a,f)≤(g,b,h)，则e≤lg，aηb及f≤rh.因为u是可乘中间幂等元，fi,hi∈E°，f=h蕴含fi=hi，fiηhi；或h=u时，fi,u∈E°，根据命题4，有fiηu，即fiu=fi，fiui=fi.综上所述，fiηhi，故aficηbhic，因此 (e,a,f)(i,c,k)≤(g,b,h)(i,c,k).

同理可证 (i,c,k)(e,a,f)≤(i,c,k)(g,b,h)，故偏序 ≤ 在T上是相容的.

令 (e,a,f)∈E(T)，则afea=a蕴含a*fea=a*. 若a∈uSu(uSu是S的(*,～)-子半群)，则a*∈E°.又fe∈E°，从而a*=(a*fea)+=a*fea+. 又afea+=a+，a+∈E°. 因此a+=aa*fea+=aa*=a，则a∈E°.

若 (g,b,h)∈E(T)，其中b∈E°，使得 (e,a,f)ω(g,b,h)，即

则e=g，afgb=a=bhea及h=f.从而ab=a，aηb，因此 (e,a,f)≤(g,b,h)，故偏序 ≤ 是自然的.

容易验证 (u,u,u)∈E(T)，关于任意 (e,a,f)∈E(T)，其中a∈E°，根据命题4 知aηu，得 出(e,a,f)≤(u,u,u).证毕.

令 θ:T→S，使得关于任意 (e,a,f)∈T，有 (e,a,f)θ=eaf.显然 θ 是满同态.若 (e,a,f),(g,b,h)∈T，(e,a,f)θ=(g,b,h)θ，即eaf=gbh，则ueaf=ugbh蕴含af=bh，eafu=gbhu蕴含ea=gb，因此a=b.从而

称 θ 是允许同态，如果关于任意a,b∈S，

引理11令T是r-宽大半群，则关于任意 (e,a,f)∈T，存在a*f,ea+∈E，使得a*fL*,～eafR*,～ea+，其中a+，a*∈E°.

证明令a∈uSu，则a+,ue∈E°，

因此ea+∈E.关于任意h∈E，

则ea+R*,～eaf.

下证a*fL*,～eaf.令a∈uSu，a*,fu∈E°，

因此a*f∈E. 关于任意s,t∈S1，

则a*fL*,～eaf.证毕.

推论5同态 θ 是允许的.

证明令 (e,a,f),(g,b,h)∈T，使得 (e,a,f)R*,～(g,b,h). 据引理9 的证明可知 (e,a+,a+),(g,b+,b+)∈E(T)，其中a+,b+∈E°，

则 (e,a+,a+)R(g,b+,b+).因此从而有a+gb+=b+，e=g及b+ea+=a+，其中gb+,ea+∈E(引理11).则gb+ea+=ga+=ea+，ea+gb+=eb+=gb+，故gb+Rea+.

据引理11 知

同理可证，

证毕.

令 ρ 是 θ 的核，则关于任意 (e,a,f),(g,b,h)∈T：

引理12[8]每个闭环模 ρ 的所有元素属于同一 ρ 类.

一个开环模 ρ 是T的有限子集

推论6T/ρ 是偏序r-宽大半群，且自然映射T→T/ρ 是保序的.

证明在T/ρ 上定义关系 ≤ρ. 若关于任意xρ,yρ ∈T/ρ(x,y∈T)，则xρ≤ρyρ 当且仅当存在 2n(n是正整数)个元素：a1,a2,···,an,b1,b2,···,bn∈T，使得

则存在开环模 ρ.

显然关系 ≤ρ满足自反性和传递性.假设xρ≤ρyρ 和yρ≤ρxρ，则存在元素a1,···,an,b1,···,bn,c1,···,ck,d1,···dk∈T，使得

注意到，如果关于正整数t，bt=at+1，则从序列中删除元素bt，at+1，并对其他元素重新编号.因此设i=1,···,n和j=1,···,k，

从而得到一个闭环模 ρ.据引理12 得到x≡y，xρ=yρ .因此关系 ≤ρ是偏序关系.

关于任意x,y∈T，x≤y(在T上)蕴含xρ≤ρyρ(在T/ρ 上)，则自然映射T→T/ρ 是保序的.证毕.

定理1令S是具有弱型A可乘中间幂等元u的r-宽大半群，则S是u为最大幂等元的自然序r-宽大半群.

因此xzδyz. 同理可证zxδzy，故序 δ 在S上是相容的.