高三数学复习课应把握好的三个基本维度

徐小琴 肖涵膑

［摘  要］ 知识的“广度”“深度”“厚度”是高三复习课应把握好的三个基本维度，也是对数学知识的高度概括、凝练与深化． 高三复习课对已学知识查漏补缺，也为知识“再现”“再认识”“再创造”提供良好的保障，是知识内化、升华的重要阶段． 文章以一堂“函数的对称性”的复习课为例，从知识“广度”的延伸、知识“深度”的挖掘、知识“厚度”的积淀进行研究，并倡导数学复习课应把握好“广度”“深度”“厚度”三个维度．

［关键词］ 高三复习；函数对称性；广度；深度；厚度

背景

复习是高三数学教学的主旋律，它通过对已有知识的回顾，实现对高中数学知识的重建构、再完善，进而实现学生学习能力和核心素养的再提升［1］． 高三复习课应注重对知识“广度”的延伸、对知识“深度”的挖掘、对知识“厚度”的积淀． 三个维度的学习是全方位的学习，不仅对知识横纵的迁移有广度要求，对知识难易的深化也有深度要求，对知识积淀有厚度要求．

对称性是函数重要的性质之一，函数问题的重要解题策略就是从性质出发，这样能简化形式复杂的函数问题． 然而，在实际教学中，大部分高中生在“知识层面、表征形式和认知意识”上对函数对称性的理解存有偏差，在数学活动上也未能较好地提升函数应用技能和数学学科核心素养. 基于此，探讨教师“慧教”，促进学生“妙学”，对突破教学的重点和难点有积极意义． 本文以一堂名师复习研讨课为例，从“广度”“深度”“厚度”三个维度对函数对称性的复习进行深入分析．

教学过程简录

1. 轴对称推证

问题1 求证：y=f（x）的图象关于直线x=a对称？圳ｆ（ｘ）＝ｆ（2ａ－ｘ）．

师：如何证明这个等价命题呢？请同学们先独立尝试完成证明，稍后我们再一起来研究．

（学生独立尝试自主探究2分钟，但较少学生能呈现完整的证明过程.）

师：刚刚看到很少有同学能完整证明上述命题，鉴于此，现在我们共同来研究这个等价命题的证明． 要证明命题等价，即要分别证明命题的“充分性”和“必要性”．

（学生跟随教师的思路解题，但整体反应与互动并不强烈，学生的参与度较低.）

师：用a+x替換x，得到f（a+x）=f（a－x），这也能表示函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称（简图如图1所示）．

评 此对称性推证的过程，教师共用时13分钟，约占整堂课时长的三分之一，这是大多数中学数学教师采用的讲授方式． 但是，理解此证明方法的学生或许不过半，一周后让学生再推证，能推证的学生可能屈指可数． 究其原因是大多数教师过分注重对推证过程的演示，没有揭示推证方法的本质，忽略了对推证方法的引导． 倘若教师在推证过程中，先引导学生去揭示推证方法的本质，这样会在一定程度上提升学生对“本质”的认知． 抓住方法的本质，是推证命题充分性和必要性的关键． 这需要教师对知识的“深度”进行挖掘．

在深度教学中，教师必须超越具体知识和技能深入到思维层面，由具体的方法和策略过渡到一般性思维策略的教学与思维品质的提升，还应帮助学生学会学习，真正成为学习的主人［2］． 深度教学还要求教师帮助学生深度联结经验与知识，引导学生深度体验学习过程，让学生在情境脉络中更好地理解知识，深度运用知识．

2. 轴对称的应用

例1 （2018年高考全国卷Ⅱ理科数学第11题）已知f（x）是定义域为（－∞，+∞）的奇函数，满足f（1－x）=f（1+x）． 若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（  ）

A． －50 B． 0

C． 2？摇？摇？摇？摇 D． 50

师：接下来，我们一起感受巧用“对称性”的求解策略．大家来看看例1，根据题意，由函数f（x）是定义域（－∞，+∞）内的奇函数，我们能得到什么？

生1：f（－x）=－f（x），f（0）=0．

师：由已知条件f（1－x）=f（1+x）又能想到什么呢？

生2：用x+1替换x，能得到等式f（－x）=f（x+2）=－f（x）．

师：从f（－x）=f（x+2）=－f（x）可得到函数f（x）的周期是多少？

生3：周期T=4，结合奇函数的性质，可以算出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0．

生4：再由函数的周期性，可以算出f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0．

师：大家回答得都很好，进而可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2，选C．

评 此题要运算的项数不少，想快速解题并得到准确的答案，需要教师引导学生回顾与思考“函数的重要性质”——对称性和周期性，这是解决该题的突破口． 在教学中，教师的引导可提升学生的元认知水平．

此题突破后不难计算，但值得深思的是，教师仅仅是“为了讲题而讲题”吗？答案肯定是否定的． 与学生探究完此题之后，教师应引导学生用恒等关联式进行总结，如f（mk+1）+f（mk+2）+…+f（mk+n）=0？摇（m∈R+，k∈Z，n∈N*），还要培养学生的应用意识和数学素养，引导学生在“做中学”中领悟恒等关联式的含义，即m表示函数的周期，k表示函数周期的倍数，n表示周期函数的循环节数．这个恒等关联式不仅可以运用于此题的解决，还可以运用于关于周期数的求和问题的解决． 这就是知识“厚度”的积淀．

例2 （2017年高考全国卷Ⅲ理科数学第11题）已知函数f（x）=x2－2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（  ）

师：有了刚才例1的思路，继续看看这道题怎么解决，有没有同学找到了策略技巧？

（沉默无声，无人发言，学生一直望着讲台.）

师：可以先对二次项进行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后發现，这与函数的对称性有关. 通过观察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 现在大家能从对称性得到什么？

师：对的，看来有些同学能通过例1的求解经验和我所给的提示发现巧用“对称性”就可以解决此题． 但目前有些同学还不太熟悉“巧解”，因此“一题多解”也是一种有效的方法，现在我给大家提供另外两种解题方法：方法1，通过求导，判断函数的极值点进行解答，这需要同学们熟悉复合函数的求导方法；方法2，把函数有零点转化为方程有解，通过换元得到关于a的表达式（令为新函数），判断为偶函数，利用偶函数的性质以及数形结合求出答案．

评 巧用对称性可快速求解此题，当然，在实际应用中不可能所有学生都是熟知巧算的，因此教师在讲授时要“以生为本”，“一题多解”的“广度”延伸在复习课中应该大力践行． 不同求解策略适应不同水平的学生，这样拓展求解策略的“广度”，能让不同水平的学生得到不同的发展．

例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五个不相等的实数根，则这五根之和为（  ）

A． 10 B． 5

C． －10？摇？摇？摇？摇 D． －5

师：同学们渐渐熟悉“对称性”这个性质了，我们再来看最后一道关于轴对称的题. 大家能不能尝试自行求解这道题？

（学生纷纷说出自己的解题思路）

师：看来大家现在对“函数的对称性”有了更深层次的认知了，解题的速效和正确率都提高了． 研究完轴对称，接下来我们研究中心对称的相关知识．

评 此题除了选用学生提出的解题思路外，教师还可以根据实际情况，适当补充假设法、反证法等求解方法——假设法和反证法也是中学数学常用的求解方法，不同方法的拓展也是对知识“广度”的延伸．

3. 中心对称定理的推证

问题2 求证：y=f（x）的图象关于（a，0）中心对称？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a－x）+f（a+x）=0．

师：此命题的推证由同学们课后完成，思考后还是无思路的同学，可以相互讨论或与我探讨交流．

评 从轴对称到中心对称，这是知识“广度”的延伸，拓展学生数学思维的同时，为学生的后续学习打下了基础．

学生的数学学科核心素养是在教师的启发和引导下，通过独立思考或者与他人交流，最终自己“悟”出来的. 因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案就非常重要［3］．

4. 中心对称定理的应用

师：大家初看这道题，是不是感觉和刚才的关于轴对称的题差不多，大家先动笔算一算，看看有什么新的发现.

（学生动手演算）

师：对了，回答得很好.大家思考一下：轴对称的“对称性”与中心对称的“对称性”的区别在哪里？联系又在哪里？

生7：轴对称的本质是关于直线对称，而中心对称的本质是关于点对称．

评 此题是关于中心对称的问题，与轴对称有紧密的联系，但在知识上又各有差异． 将知识的共同点巧妙地串联起来，能激发学生的数学思维． 在教学过程中，举一反三的教学方法值得借鉴和学习，教师应利用循序渐进的教学原则，引导学生加深对“知识模板”的理解，对已有知识进行“深度”研究．

师：在知道中心对称定理的基础上，请大家看看这道题，能不能完成此题的解答？

生8：理解题意后，我找到了解题的突破口是f（－x）=－f（x+4）这个关系式. 由它可得f（x）的图象关于点（2，0）中心对称．

师：对，分析得很正确．接下来应该怎么考虑呢？

师：整个解题思路很清晰，也是正确的． 解决此题的关键是将关系式f（－x）=－f（x+4）转化为f（2－x）=－f（x+2），进而得出函数f（x）关于点（2，0）中心对称．

评 求解此题同样是对中心对称定理的应用，在前面解题经验的基础上，学生能较好地完成此题的求解． 解题思路环环相扣，让看似枯燥的数学变得灵活生动．

对于此题的拓展，教师应协助学生紧扣函数的对称性，共同探究等式的转化，使学生明白巧妙转化等式，得出函数的对称性是解决此类问题的关键所在． 在旧问题上拓展新问题，积淀知识的“厚度”．

例6 若函数f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值为M，最小值为m，则M+m=_______．

师：课堂最后给大家留一道思考题，下节课我请同学们来分享自己的解题策略． 给大家一点提示，联系今天我们所学的知识内容，大家在做题前应该先熟悉一下函数的重要性质．

评 此题作为课堂最后的思考题，具有一定的积极意义． 解决此题需要学生回顾目前所学的知识内容，熟悉函数性质、导数求导法则和极值问题. 此题综合性较强，考查学生较高的基本技能与数学素养，将“广度”“深度”与“厚度”三者有机结合起来，为培养学生的数学学科核心素养提供了良好的保障．

数学学科核心素养以数学基础知识和基本技能为载体，培养学生数学综合能力（外显表现），引导学生形成数学思维与数学态度（内隐特质）［4］．

高三复习课应把握好的三个维度

1. 把握知识的“广度”，融会贯通

从研究轴对称到中心对称，师生在课堂活动中展现出了一定的示范作用，教师的教学环节完整、知识覆盖面广，将函数“轴对称”“中心对称”的推证和应用紧密地联系在一起，拓展数学教学的“广度”，该“广度”覆盖教材例题、模拟测试题和高考真题．

与此同时，教师应引导学生挖掘题目的潜在内涵，从题目条件出发，采用不同角度、不同方法求解、推理證明题目的结论，意在培养学生数学思维的广度，培养学生创新和探索的精神［5］，这样达到“一题多解”的成效，也体现知识延伸的广度，注重不同学生在数学上良好的发展．

2. 把握知识的“深度”，游刃有余

教师引导学生领悟“轴对称”的本质是关于直线对称，“中心对称”的本质是关于点对称，并从深层面寻找数学学习的科学方法，在教学中实现师生的互动与合作，让学生获得数学活动经验． “问题解决”被认为是数学教学过程中的热点，教师引导学生在课堂中挖掘知识的深度，既做到了对“旧知识”的“再认知”，又做到了对“新知识”的“再创造”，可谓一举两得．

数学知识的深度教学既是数学知识的完整性教学，又是指向知识内核的深层次教学，数学知识的深度教学是实现学生发展数学核心素养的必然要求，这能超越课堂教学的表层化，直达数学知识的逻辑方法及意义领域［6］．

3. 把握知识的“厚度”，厚积薄发

教师基于课堂教学知识，在合理容量范围内，积淀知识的“厚度”，这能提高教学效果．不局限于学生得到正确答案，教师能适度引导学生思考与推广过程，培养学生不同推导过程的推理能力，这些都是教学过程中值得提倡的．

高三复习课的教学任务很重，学生做了成千上万道题，若不总结方法，数学活动经验的形成可谓“空谈”，作为教师，更重要的是在复习课上给学生提供一类试题的解决方法和技巧． 方法和技巧犹如“钥匙”，而各类试题犹如“锁”，虽然是“一把钥匙开一把锁”，但倘若能一把钥匙开多把锁，这样的认知行为在数学教学过程中会格外灵动、颇具情愫．

结束语

研究高三复习课的“三度”教学——延伸知识的“广度”，挖掘知识的“深度”，积淀知识的“厚度”，有利于在数学教学活动过程中提升学生的数学学科核心素养． 在新高考的背景下，如何助力素质教育是目前需要关注的话题．

一方面，教师要促进自己向专业化发展，树立良好的师德形象，同时做好“言传”和“身教”的表率作用，为教育教学添砖加瓦；另一方面，教师要培养学生自主探究的能力，运用元认知策略提高学生自主学习的效率．

把整个教学活动作为一个研究对象，通过课堂中的典型案例，深入浅出地阐述数学核心素养的新理念，高屋建瓴的教学活动为当下教育教学注入了源头活水，教师“慧教”、学生“妙学”在教学活动中得以展开． “一石激起千层浪，百舸争流竞自由”的教育教学理念值得学习，数学“三度”教学也应该得到大力提倡．

参考文献：

［1］ 张俊． 高三数学微专题复习的实践与思考［J］． 教学与管理，2020（04）：55-57．

［2］ 郑毓信． “数学深度教学”的理论与实践［J］． 数学教育学报，2019，28（05）：24-32．

［3］ 史宁中． 高中数学课程标准修订中的关键问题［J］． 数学教育学报，2018， 27（01）：8-10．

［4］ 朱立明，胡洪强，马云鹏． 数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例［J］．数学教育学报，2018，27（01）：42-46．

［5］ 林廷胜． 如何开拓基础薄弱生思维的广度——以“一道练习题的解法”教学为例［J］． 高中数学教与学，2017 （14）：15-16．

［6］ 陈齐荣，冯传平． 指向数学核心素养的深度教学例析［J］． 中学数学月刊，2019（11）：11-13．