高中数学有效教学的实践与思考

胡冬梅

［摘  要］ 有效教学的设计需要从整体性、系统性出发，将“立德树人”“促进学生全面发展”作为课堂教学的长远目标. 研究者以“一元二次不等式”的教学为例，分别从“降低教学起点，引出主题”“分层推进，实现目标”“拓展延伸，提升能力”三方面展开分析，并从以下几方面谈一些看法：分层设计需要符合学生的实际认知；有效问题需要符合教学实际；丰富的课堂拓展渠道可以提高教学实效.

［关键词］ 有效教学；一元二次不等式；问题

20世纪90年代末，我国开始对有效教学法进行大量研究，基于前人的研究，笔者提出教师可以从以下几点界定什么是有效教学：①完整实施教学，包括备课、教学过程与评价等；②精心预设，为生成服务；③从效率与效益等角度思考教学成效；④从教学相长的程度来评判教学效果. 在此，笔者以“一元二次不等式”的教学为例，具体从以下几方面谈谈如何开展有效教学，并提出几点思考，与同行共勉.

有效教学的开展措施

1. 降低教学起点，引出主题

降低教学起点的目的在于照顾学生客观存在的个体差异，通过初始难度的降低，让每一个学生都能积极地投入到教学活动中来. 多层次是指教师在“低起点”的基础上，结合学情与教情设计多个教学环节或问题，让学生在跨度小、密度大的问题的引领下实现思维的拾级而上，也可以通过逐层递进的题组训练，为学生的思维提升搭建脚手架.

在这种教学模式下，每一个认知水平层次的学生都能一步一个脚印地接近或达成教学目标，为实现有效教学奠定基础.

课堂伊始，教师展示一元二次函数y=x2－x的图象，要求学生观察其图象与x轴的交点，并根据对应方程的根，获得如下结论：一元二次函数y=x2－x的图象和x轴交点的横坐标为其所对应的方程x2－x=0的根0和1.

师：y=0时x取值0和1，那么y<0时，x取值多少？

生1：应该是大于0且小于1的数.

师：據此能获得不等式x2－x<0的解集吗？

生2：可以，解集为大于0且小于1的数的集合.

师：如何用数学语言来表示这个解集呢？

生3：｛x0

当学生顺利写出解集后，教师要求学生阐述这样写的理由. 学生表示x2－x<0实则为y<0，结合y=x2－x的图象来分析，使y<0的x的取值范围是｛x00的解集又是什么？”有了前面的探究基础，学生很快就给出了答案：｛xx<0或x>1｝.

在此教学片段中，教师用一元二次函数y=x2－x的图象和x轴的交点与对应方程的根的关系作为起点引出主题，这对高中生而言，起点较低，目标也很明确，班上所有学生都能发现一元二次函数y=x2－x的图象和x轴交点的横坐标实则为其所对应的方程x2－x=0的根0和1.

在教师的点拨下，学生的思维从y=0过渡到y<0，学生不仅能自然理解，还能流畅接受. 趁学生的思维处于“温热”阶段，教师又提出“不等式x2－x<0的解集是什么”这个问题，成功地将一元二次不等式与二次函数图象关联起来. 鉴于之前有“使y<0的x的值为大于0且小于1的数”这个基础，学生自然而然地获得不等式x2－x<0的解集为｛x0

参与此过程，即使是基础比较薄弱的学生，因为从低起点开始逐层思考，哪怕反应慢一些，也能明白不等式x2－x<0的解集为｛x0

2. 分层推进，实现目标

问题3 请分别写出ax2+bx+c>0（a>0）与ax2+bx+c<0（a>0）的解集.

学生合作交流，教师适当点拨. 在师生积极的互动交流下，将问题3的结论整理成表1.

整理好表1后，要求学生解以下不等式：

①（x－2）（x－1）>0；②（x+3）（x－2）<0；③x2－5x+12>0；④x2－3x+2<0；⑤－x2－2x+3≥0；⑥（1－x）（x+1）≥0.

前四个不等式学生求解顺手，但解最后两个不等式时，不少学生没有发现这两个不等式的二次项系数为负数，依然按照前面几道题的解法解题，出现了解题失误. 为了避免这种现象的再次发生，教师提出以下问题，引发学生思考.

问题4 ax2+bx+c>0（a<0）与ax2+bx+c<0（a<0）的解集该怎么求？需不需要重新制作一张表格？

在这个问题的启发下，有些细心的学生发现只要将不等式两边同时乘以“－1”，即可将“a<0”的不等式转化为“a>0”的不等式，问题便迎刃而解.

四个逐层递进的问题，从特殊的一元二次不等式x2－x<0出发，将学生的思维逐渐引至一般情况下的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）与ax2+bx+c<0（a>0）.

以上探究过程，主题明确、层次清晰，学生的思维随着一个个问题的突破呈螺旋式上升. 不仅深化了学生对一元二次不等式的理解，还从一定意义上帮助学生提炼了数学思想方法，为后续解决类似问题夯实了基础.

3. 拓展延伸，提升能力

要求学生思考并回答下列问题：

（1）已知（1，2）是关于x的不等式x2+px+q<0的解集，分别求实数p，q的值.

（2）已知｛xx<1或x>3｝为不等式ax2+bx+c>0的解集，求a∶b∶c的值.

（3）已知｛x10的解集，则函数y=ax2+bx+c的单调递增区间是什么？

（4）已知｛xx∈R｝为不等式kx2+kx+2>0的解集，则实数k的取值范围是什么？

以上四个问题的设置，不仅结合了学生的最近发展区，还结合了知识的生长点. 虽然这四个问题具有一定的挑战性，但由于学生有了之前两个环节的探索基础，因此仍然能顺利完成解答，最终达到较高层次的认知水平.

几点思考

1. 分层设计需要符合学生的实际认知水平

孔子在几千年前就倡导“因材施教”“因人而异”的教学方式，布卢姆提出的掌握学习理论、维果茨基提出的最近发展区理论也都强调个体差异性的客观存在，以及分层教学实施的必要性. 在有效教学实施过程中，强调结合学生的实际认知水平进行分层设计，这既是高考命题的潜在要求，也是教学实践的切实需要.

从高考命题的角度来分析：高考考查的是学生的认知水平与思维能力，因此考题设计必须有一定的梯度. 教师将这些层次清晰、梯度明显的内容设置在日常教学中，能让学生逐渐习惯这种逐层递进的思维方式，为高考奠定一定的基础.

从教学实践的角度来看：教师若在课堂中直接呈现具有挑战性的问题，会严重消减基础薄弱的学生学习的积极性，让他们产生畏难心理. 低起点、小步子、多层次的引导能让所有学生感受到学习带来的成就感，从而建立学习信心，提高学习效率.

从本节课的教学设计来看：教师用一元二次函数y=x2－x的图象和x轴的交点与对应方程的根的关系作为起点，使得基础薄弱的学生也能顺利融入本节课的教学之中.

分层推进的四个问题，有效启发了学生的思维，让学生明确了思考的方向. 问题1并没有明确规定a>0的条件，由此引发学生对a>0与a<0两种情况进行讨论，以深化学生对不等式ax2+bx+c>0（a>0）中“a>0”这个条件的认识；问题2着重探索Δ>0时不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）的解集；问题3意在“逼迫”学生自主分析并确定a>0时不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集；问题4启发学生自主解决a<0时不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集，以帮助学生提炼数学转化思想.

2. 有效问题需要符合教学实际

问题是数学的心脏，也是学生思维的起点，有效教学离不开有效问题的引领. 有效教学背景下的问题设计需要有明确的针对性，且与教学内容相符合，具有启思激趣、开发智力、挖掘潜能等功效.

首先，教师要结合教学目标、学情等综合因素提出条理清晰、便于思考且针对性明确的问题，以激发学生的学习动机；其次，提出的问题要与学生的认识特点相匹配，学生通过努力能够自主解决，即提出的问题应落于学生的最近发展区内，让学生“跳一跳，能摘到桃”；再次，提出的问题要有悬念性，有激发潜能与创造意识的作用，让学生在问题的探索中形成自己独特的见解，为个性发展奠定基础.

问题是有效教学的基础，纵观本节课的教学，每一个环节都在问题的引领下，让课堂充满了生机与活力. 如“拓展延伸”环节中的四个问题，由于问题“已知｛xx∈R｝为不等式kx2+kx+2>0的解集，则实数k的取值范围是什么”的难度系数相当大，若直接提出这个问题，很多学生都会选择放弃. 但是有前三个问题作为基础，顺应学生思维的发展提出这个问题，则水到渠成. 总而言之，符合学生实际认知水平的问题是实施有效教学的根本.

3. 丰富的课堂拓展渠道可以提高教学实效

实施有效教学，仅仅将目光停留在有限的教学任务上还远远不够. 在教学中，适当地拓展延伸对启发学生的思维、完善学生的认知结构具有深远意义. 从内容上来看，拓展延伸是对教材知识的开拓和扩展，如知识的形成背景、数学史的介绍、概念的溯源以及思想方法的渗透等；从教学场所来看，拓展延伸应走出教室，走向家庭、走向社会等；从时间来看，拓展延伸应突破课堂有限的教学时间，可以是课外的延伸，也可以是借古鉴今的拓展……

多种渠道的拓展延伸，不仅能开阔学生的视野、丰富学生的知识，还能让学生对数学学科产生探索欲，为创新意识的形成与发展奠定基础，这是实施有效教学的关键.

总之，有效教学是数学教学的追求，是核心素养形成和发展的基础. 教师应与时俱进，不断地学习并接纳新的教育教学理念，利用一切手段踐行有效教学，让每一个学生都能在数学学习中张扬个性、挑战自我、突破自我，获得全面发展.