基于逻辑主线、课程主题的数学整体性教学的实践与思考
——关于“手电筒模型”解题教学问题诊断与分析解决的案例实录

陈伟流

(广东省惠州市仲恺中学)

一、教学前言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》在教学实施中强调:教师要进一步精选学科内容,重视以主题为引领,使课程内容结构化,促进学科素养的落实,随后的2020年修订版课标又强调:关注同一主线内容的逻辑关系,关注不同数学知识蕴含的通性通法、数学思想.数学内容的展开应循序渐进、螺旋上升,并使之成为一个有机的整体.

具体到解析几何模块的解题教学实践,不少教师因试题的综合性强、推理量大、变化情境杂而停留于就题论题、点到为止、轻视知识关联性等特征的浅层教学阶段中,使得学生出现思维混乱、认知偏差等带有负迁移的不良心理因素,以至于无法充分挖掘试题的隐含条件,无法调动对已学知识的灵活运用,更难以凝练出具有知识统摄性的数学模型.基于新课标的指导理念及上述教与学的现状,笔者以逻辑主线及课程主题为统领思想进行数学整体性教学,以解析几何中“手电筒模型”解题教学问题诊断与分析解决的案例为切入点,浅谈在创设情境,初探模型;多变情景,深化模型;变式应用,完善认知等多个教学环节中的些许设计心得.

二、教学目标解析

(1)理解动直线具备定斜率和过定点等属性的根源,培养发现问题的基本能力;

(2)理解“引双直线的定点” “斜率和(积)为定值” “定斜率或过定点”三要素的整体封闭性,提升分析问题的能力,渗透模型思想,提升数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

经过本次课堂学习,学生能初步形成“手电筒模型”的数学模型基本知识理论体系,在积累多维的数学活动经验后,明确定值、定点等知识的逻辑关系,在变式训练中积累逆向活动经验,从而理解数学知识的内在逻辑,培养数学探索、数学应用的理性思维,体会所学知识创造性解决问题的成就感,实现数学知识的育人价值.

三、教学问题诊断分析

(1)学生已基本熟知解析几何模块的基础知识、基础思想及基础应用,有一定的推理运算素养.课堂中教师需引导学生以逻辑主线的视角审视斜率和(积)与定斜率、定点问题,能够主动发现问题间的脉络关系并在脑海中形成相关模型体系,继而凝练出课程主题——“手电筒模型”.

(2)在教学环节的逐步推进中,学生积累由易到难、由浅到深、由特殊到一般的活动经验,能初步形成“手电筒模型”的雏形,认识动直线具备定斜率或过定点的条件,但对于三要素间的统一封闭性较为陌生,需教师在变式中深化学生对三要素的认知,让学生体会豁然开朗的顿悟感,促进知识、技能的全面内化,避免教与学出现“两张皮”的脱离现象.基于上述分析,明确本设计的重点为理解“手电筒模型”中关联定值、定点问题的知识逻辑体系.难点是理解“手电筒模型”中三要素的逻辑关系.

四、教学过程设计

环节一 创设情境,初探模型

【问题1】经历设点,设线,曲直联立,韦达定理介入等步骤,可计算得出动直线PQ有定斜率-1(过程略).在此基础上,同学们能否顺便计算出双曲线在点A处的切线斜率?(A处的切线斜率k1为1)

【追问1】在本例中lPQ的斜率与A处切线斜率k1互为相反数,这是偶然还是必然?

在现代信息技术GeoGebra的平台中,教师还原本例的所有几何要素,如图1,拖动点A,保持直线AP,AQ斜率之和为0,从直观角度可验证lPQ与双曲线在动点A处的切线斜率k1始终互为相反数.

图1

【评注】以双曲线为背景,由引两直线的定点,斜率和为0推导出动直线有定斜率的规律属性,为进一步推广到圆锥曲线体系做好铺垫.

【追问2】若将问题背景切换为椭圆、抛物线或圆,其他条件不变,问动直线是否仍有定斜率?在GeoGebra的平台中依次在曲线上取定点A,过A作斜率互为相反数的两直线交曲线于P,Q两点,观察动直线PQ斜率与A处切线斜率k1,有何发现(如图2,3,4)?针对上述数学实验能否给出统一的定性结论?

图2

图3

图4

【结论1】在圆锥曲线上取定点A(x0,y0)(y0≠0),过A作斜率为相反数的两直线交曲线于P,Q两点,圆锥曲线在点A处的切线斜率为k1,若

点A在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,点A在双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)上,点A在抛物线y2=2px(p>0)上,点A在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则kPQ=b2x0a2y0=-k1则kPQ=-b2x0a2y0=-k1则kPQ=-py0=-k1则kPQ=x0+D2y0+E2=-k1

【评注】通过问题情境的探究活动,揭示定点、斜率和为0、定斜率三要素在圆锥曲线体系间存在普遍性、统一性的内在规律,水到渠成般地形成命题和结论,感悟问题的通法通性.图象的动态可视化反映了变化中的不变性与规律性,以及对称性,体现变化中的对称美与和谐美,有利于激发学生的理性探索精神,反映数学美学的育人价值.

环节二 多变情景,深化模型

【问题2】如果改变例1中斜率和为0的条件,动直线PQ仍有定斜率吗?动直线PQ是否有如过定点等其他属性?

【追问3】承接例1的解题经验,其求解过程在例2中是否具有普适性与通用性?

【评注】引导学生在解题实践中,认识到解法上的共性特征,凝练出通法思维.增设倾斜角和为定值的变式情境,旨在引导学生如何有效解读条件,合理建立陌生条件与所学知识的沟通桥梁,化陌生为熟悉.

【追问4】由此可知,在双曲线背景中,当斜率和积为非零定值时,动直线PQ有过定点属性;若将斜率和(积)为非零定值的条件推广到椭圆、抛物线中时,其定点属性是否仍成立?

【评注】以变式教学为切入手段,以斜率和(积)为定值为课堂统领主线串联起定斜率和过定点的两个问题,保证了学生知识学习中的逻辑关联性和认识结构上的自然过渡性,为进一步开展“手电筒模型”的主题凝练做好铺垫.

图5

图6

图7

图8

图9

图10

【追问5】通过可视化动态分析,是否能得出对斜率和(积)为非零定值与直线过定点的逻辑关系作出统一定性表述?

【结论2】在圆锥曲线上取定点A(x0,y0)(y0≠0),过A作斜率存在的两直线交曲线于P,Q两点,若两直线

斜率和为λ(λ≠0)斜率积为λ(λ≠0)两直线倾斜角满足tan(α+β)=λ(λ≠0)椭圆lPQ过定点x0-2y0λ,-y0-2b2x0λa2 λ=b2a2,kPQ=-y0x0(x0≠0)λ≠b2a2,lPQ过定点λa2+b2λa2-b2x0,-b2-λa2λa2-b2y0 lPQ过定点-2a2y0-(b2+a2)λx0λ(a2-b2) ,2b2x0-(b2+a2)λy0λ(a2-b2) 双曲线lPQ过定点x0-2y0λ,-y0+2b2x0λa2 λ=-b2a2,kPQ=-y0x0(x0≠0)λ≠-b2a2,lPQ过定点λa2-b2λa2+b2x0,b2-λa2λa2+b2y0 lPQ过定点-2a2y0+(b2-a2)λx0λ(a2+b2) ,2b2x0+(b2-a2)λy0λ(a2+b2) 抛物线lPQ过定点x0-2y0λ,-y0+2pλ lPQ过定点x0-2pλ,-y0 lPQ过定点x0-2p-2pλ,-y0+2pλ

【评注】在多层次的探究变式的情境中培养学生在解题实践中养成思考并解决问题的习惯,以通法贯穿问题的运算推理过程,将新通性规律通过技术引领,从形象到抽象总结为更一般的结论并用数学语言表示,教师带领学生经历从特殊到一般,从感性到理性,从定性到定量的研究过程,升华思维的同时提升了逻辑推理、数学抽象等素养.

环节三 变式应用,完善认知

【问题3】在上述探索中,若改变“曲线上的定点” “斜率和或积为定值” “动直线有定斜率或过定点”这三要素的逻辑结构,是否依然满足知二求一的封闭性?

(1)求椭圆C的方程;

(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.

例4(2021·河南洛阳一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线上一点且|PF|=5.

(1)求抛物线的方程;

(2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线交于A,B两点(均与点P不重合).设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.

【评注】学生在前文的探索环节中对三要素逻辑关系打下一定的认知基础,该环节以变式训练切入,旨在打破其认知刻板印象,丰富并完善其对三要素的认识结构层次,为引导学生基于知识整体上提炼模型主题积累充分的认知活动经验.

本课堂的教学环节以斜率和(积)作为切入条件拉开序幕,到斜率和(积)为定值作结论收尾,课堂中的诸多设计永远围绕着逻辑主线——“斜率和(积)与定斜率定点问题”来展开,循序渐进般拾级而上,在知识体系上有效整合了众多教学内容,使各个教学要素成为有逻辑关联,有通性规律,有模型思想的数学结构,此时,基于学生认知结构的建立过程,“手电筒模型”的主题便可水到渠成般自然凝练而成!

“手电筒模型”:在平面直角坐标系中,已知动直线与圆锥曲线交于两动点,从圆锥曲线上的一定点向两动点引两直线,则两直线的斜率和(积)为定值的充要条件是两点所在的动直线具有定向(定斜率)或过定点的不变属性,因其几何图形的形象特征可称其为“手电筒模型”.

五、展望思考

1.把握“逻辑主线”,服务“深度备课”

《高考评价体系》在四翼的综合性考查中强调:要求学生对同一层面的知识、能力、素养能够横向整合贯通,形成完整的知识结构、能力结构网络;对不同层面的知识、能力、素养能够纵向融会贯通.由此可见,在解题教学实践中,教师要基于知识发展,学生学情等实际情况,以知识关联为逻辑主线进行课堂的整体设计,将教学内容循序渐进,螺旋上升,以点带面般展开,使之构成一个可延伸、耐推敲、有活力的有机整体,最终实现教师的深度备课.如本案例中,课堂多个环节的实施始终围绕着斜率和(积)与定向定点问题为核心主线统揽全局,并将教学内容的安排每一步都放到课堂活动的大系统中考量,主次分明,目标清晰,结构紧凑,紧密相连,合乎逻辑,而并非一味地追求教学内容的深度、难度及广度,或是片面地突出或强调某一点.

2.问题引领,推进活动,凝练主题

因学生思维视野、知识水平及能力素养方面存在不同程度、不同方面的欠缺,本案例中试题的求解分析及结论的归纳总结等过程必然使部分学生倍感吃力而心生畏难情绪,所以笔者根据知识、学情、技术等客观因素在深度备课中进行多维预设,围绕内容主线设置符合学生认知规律的启发性问题,进而展开定斜率几何意义的探索、GeoGebra技术的直观探路、特殊到一般的归纳总结、变式教学的铺垫过渡、条件结论互逆的解题体验等多维学习活动,一步步逐级推进,使得“手电筒模型”的主题生成得以顺利开展,学生知其然,更知其所以然,如此才能带动学生的思维品质、学习能力不断地拾级而上.

3.关注能力成长,提升学习品质

章建跃博士曾指出:教学设计应充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性,切实防止碎片化教学,通过有效的四基、四能教学,使数学学科核心素养真正落实于数学课堂,基于此,本案例以逻辑主线及课程主题为导向进行数学整体性设计,学生摆脱了浅层教学中仅掌握知识技能、思想方法等低阶要求,实现了数学思维、数学语言、实践能力、批判精神、创新能力等学习品质方面的发展和精进,最终到达整体性教学所指向的彼岸远方——深度学习.回顾课堂各个环节,教师通过问题的精心设计和可视化辅助软件的巧妙安排,无不是为了让学生立足四基以发展四能,能在探寻不变性及规律性的过程中,激发数学学习的兴趣,培养良好的学习习惯,提升数学应用意识,审美价值等理性思维,最终促进学生学会深度学习,以期提升数学素养,引导学生在将来的学习中,会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界.