全值域有定义的对数紊流流速分布公式研究

魏为，陈希炽，胡焰鹏

摘要：目前，声学多普勒流速剖面仪垂线流速盲区插补只能采用指数流速分布、常数流速分布两种模式，而对数紊流流速分布公式是基于动量传递理论推导出的垂线流速分布公式，該公式因在边界处（y=0）没有定义而应用不便。基于此，从天然河道的河床是由泥沙组成的非固定边界的实际出发，提出在边界面上液体质点仍然存在混掺运动的假设，借助动量传递理论推导出全值域有定义的对数紊流流速分布公式。并且采用宜昌水文站4条实测垂线流速对公式进行拟合验证。结果表明：该公式拟合得到的误差有正有负，最大误差为-3.66%，精度符合水文资料整编规范要求。推导出的公式在垂线水深的所有值域内有定义，该公式可为声学多普勒流速剖面仪垂线流速盲区插补提供一种思路。

关键词：对数紊流流速分布； 动量传递理论； 垂线流速； 宜昌水文站

中图法分类号：P332                文献标志码：A               DOI：10.15974/j.cnki.slsdkb.2024.03.012

文章编号：1006-0081（2024）03-0073-04

0引言

分析流速分布规律对于研究河道紊流运动十分重要。紊流的内部结构、能量传递及阻力特性等各种动力要素均与流速分布相关。许多学者因此开展了广泛深入的研究。20世纪20年代普朗特依据紊流运动的动量传递理论和掺长假说导出对数紊流流速分布公式，但该公式存在在边界点处（y=0）没有定义的问题。张红武［1］引入“涡团模式”，导出一个挟沙水流流速分布的统一公式。卢金友［2］在分析影响河道水流流速分布的主要因素后，从简化的雷诺方程出发，导出了适合长江上游宽谷河段及中下游河段的二维恒定均匀明渠紊流流速分布公式。梁越等［3］从N-S方程入手推导出内区外区的流速导数公式。苌志超等［4］直接采用Lane和Kelinske的紊动动量交换系数表达式进行推导，得到一种新型的垂线流速分布公式。潘凌等［5］采用多普勒超声波流量计测量了城市河渠流速。李新等［6］基于假设的幂函数流速分布公式，根据试验资料确定了指数与来流佛汝德数的关系式。姚仕明等［7］采用多普勒剖面流速仪在黄陵庙水文断面中实测的不同垂线瞬时流速资料，计算了时均流速的垂线分布。

本文从多数天然河道的河床是由泥沙组成的非固定边界这一实际出发，提出在边界面上液体质点仍然存在混掺运动的假设，借助普朗特的动量传递理论推导出全值域有定义的对数紊流流速分布公式，以期解决对数紊流流速分布公式在边界处（y=0）没有定义的问题，进一步提高对数紊流流速分布公式的实用性。

1对数紊流流速分布公式

普朗特的动量传递理论与实际吻合较好，是目前应用最广的紊流半经验理论。

在紊流（天然河道多数为紊流）中，除了由液体黏滞性引起的黏滞切应力τ1=μdμdn（μ为点流速，dμdn为流速变化率）外，还有由质点间相互混掺碰撞而引起的附加切应力τ2，因此，紊流中的总切应力为τ=τ1+τ2。

根据普朗特的动量传递理论导出的紊流附加切应力τ2的关系式为

τ2=ρl2（dudn）2（1）

普朗特引用气体分子运动自由程的概念，把液体质点比拟气体质点，假定液体质点以脉动流速μ′y做横向运动，经过距离l1到达新的位置后，其本身所具有的运动特性（如速度、动量等）在该处交换完毕，但在运动过程中却与周围的液体质点没有任何交换，该距离称为混合长度l。普朗特假定混合长度与横向坐标y成正比：

l=ky（2）

即假定液体质点的边界上无混掺运动，混合长度为零；离边界愈远，混掺愈剧烈。式（2）中的k为比例系数（卡门常数）。

将式（2）代入式（1）可得

du=1kτ2ρdyy（3）

为了对式（3）积分，普朗特假定τ2沿断面均匀分布，为常量，并等于边壁切应力τ0，代入式（3）得

du=1kτ2ρdyy=u*kdyy（4）

式中：u*为阻力流速。对式（4）积分可得

u=u*klny+c（5）

式中：c为常数。

式（5）即为用普朗特的动量传递理论导出的对数紊流流速分布公式。注意到当y=0时，式（5）没有定义。

2对数紊流流速分布公式的改进

考虑到天然河道的河床多由泥沙组成，不是固定边界，水流的紊动能掀起河床泥沙，并使泥沙随水流而运动，紊动愈激烈，水流中的泥沙含量愈多。因此本文假定在天然河道中，液体质点在边界上仍然存在混掺运动。

若假定其混合长度为l0，则式（2）可改写为

l=ky+l0（6）

将式（6）代入式（1）可得

du=1kτ2ρdyy+c0（7）

式中：c0=l0/k。

记c1=1kτ2ρ，对式（7）积分得

u=c1ln（y+c0）+c（8）

注意到在边界面上（y=0），流速u=0，代入式（8）得

c=-c1lnc0（9）

将式（9）代入式（8）得

u=c1ln（c2y+1）（10）

式中：c2=1c0。

式（10）即为改进的对数紊流流速分布公式。注意到混掺长度和卡门常数均为正值，所以c0和c2也为正数。同时考虑到又有y≥0，因此式（10）在y的所有值域内有定义。

3實例验证

为验证改进的对数紊流流速分布公式与实测垂线流速的适用性，本文以宜昌水文站为例，采用该站实测垂线流速数据进行拟合验证。

宜昌水文站位于长江中游干流，是三峡工程、葛洲坝工程的设计代表站，同时也是长江三峡水利枢纽工程的总出库控制站。宜昌水文站所处区域具有四季分明、水热同季、寒旱同季的气候特征，多年平均降水量1 215.6 mm，平均气温16.9 ℃，极端最高温度41.4 ℃（7月），极端最低温度-9.8 ℃（1月）。全年大部分径流量主要集中在汛期，年内水量分配不均匀。宜昌水文站测验方式为驻测，主要观测项目有水位、降水量、水温、流量、悬移质输沙率与推移质（沙质、卵石）输沙率、泥沙（悬沙、推沙、床沙）颗粒级配分析、水化学（水质）。

宜昌水文站建有吊船缆道，比测基础条件好，已开展了大量水文泥沙比测试验工作，积累了丰富的比测资料。本文选用2012年宜昌水文站高水位、中水位各2条垂线的实测垂线点流速（水底边界处由于不能直接实测，流速值按理论值0处理）进行拟合。其中，高水位选择2012年7月3日实测的19号、22号垂线流速数据，中水位选择2012年8月23日实测的16号和24号垂线流速数据。拟合结果及误差情况见图1、表1。

从图1可以看出，改进的对数流速公式与实测垂线流速有很好的匹配性。从拟合率定的两个系数看，宜昌水文站4条垂线的c2均在1 188附近，因此取相同的值，而c1的大小与流速大小成正相关关系。从表1可以看出，拟合误差有正有负，最大相对误差为-3.66%，精度符合水文整编定线要求。

4结论

（1） 本文从天然河道的河床多数为由泥沙组成的动态边界的实际出发，提出在边界面上液体质点仍然存在混掺运动的假设，并借助普朗特的动量传递理论导出全值域有定义的对数紊流流速分布公式。该公式在相对水深y≥0的所有值域有定义，从而解决了原有对数紊流流速分布公式在边界处（y=0）没有定义的问题。

（2） 采用宜昌水文站的4条实测垂线流速对该公式进行拟合，拟合相对误差最大为-3.66%，满足水文整编定线要求，具有较好的适用性。

（3） 在实例验证的拟合率定过程中发现，宜昌水文站4条垂线的c2值均在1 188附近，而c1的大小与流速大小成正相关关系。

（4） 目前，声学多普勒流速剖面仪垂线流速盲区插补只能采用指数流速分布、常数流速分布两种模式。推导出的公式可为水沙三维数学模型研究提供一种新的垂线流速分布公式选择。

参考文献：

［1］张红武.挟沙水流流速的垂线分布公式［J］.泥沙研究，1995，6（2）：1-9.

［2］卢金友.长江河道水流流速分布研究［J］.长江科学院院报，1990（1）：41-49，55.

［3］梁越，曹叔尤，杨奉广，等.光滑宽浅明渠流动垂线流速分布公式研究［J］.水力发电学报，2013，32（5）：147-152.

［4］苌志超，张耀哲，张毅.一种新型的垂线流速分布公式［J］.人民黄河，2010，32（3）：100-101.

［5］潘凌，武治国，张春萍，等.基于多普勒超声波流量计的城市河渠流速测量研究［J］.水利水电快报，2019，40（8）：17-20，28.

［6］李新，燕海波.关于矩形明渠流速分布新公式的探讨［J］.人民长江，2008，39（18）：79-81.

［7］姚仕明，卢金友，徐海涛.黄陵庙水文断面垂线流速分布特性研究［J］.长江科学院院报，2005（8）：8-11.

（编辑：江文）

Study on defined logarithmic turbulent velocity distribution formula in full value domain

WEI Wei1，CHEN Xichi2，HU Yanpeng3

（1.Safety Center for River and Lake Protection，Construction and Operation，Changjiang Water Resources Commission，Wuhan 430010，China；2.Spatial Information Technology Application Department，Changjiang River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；3.Changjiang Sanxia Investigation Bureau of Hydrology and Water Resources，Changjiang Water Resources Commission，Yichang 443000，China）

Abstract： For the exponential and constant flow velocity distribution of the current acoustic Doppler flow velocity profile，the formula for logarithmic velocity distribution based on Momentum Transportation Theory can not be used，because the formula has no definition when it is on the boundary （y=0）.Based on the fact that the boundary of the natural river channel is not fixed and is consists of sediment，it assumed that liquid particles mixed on the boundary surface and then educed a formula of logarithmic turbulent velocity distribution defined full-value domains based on Momentum Transportation Theory.In addition，four measured vertical velocity of Yichang Hydrological Station were used to verify the formula.The results showed that the errors obtained by fitting the formula were positive and negative，with the maximum error of -3.66%，and the accuracy met the requirements of code for hydrological data processing.The formula defined all values of vertical water depth，and solved the problem of not defining a formula for the logarithmic turbulent velocity distribution at the boundary （y=0）.The formula can provide a new thought other than the exponential and constant flow velocity distribution of the current acoustic Doppler flow velocity profile.

Key words： logarithmic turbulent flow velocity distribution formula； momentum transfer theory； vertical velocity； Yichang Hydrological Station