基于本构模型的超弹性材料有限元仿真

蔡仁烨 李璐 刘佳 吴敏 孔春玉 曾祥坤

基金项目：国家自然科学基金青年科学基金项目（12302081）；中国博士后科学基金面上资助项目（2023M740743）；广东技术师范大学教学改革研究项目（JGYB202273）

第一作者简介：蔡仁烨（1987-），女，博士，讲师。研究方向为超弹性材料本构建模。

*通信作者：曾祥坤（1984-），男，博士，副教授。研究方向为有限元仿真。

DOI：10.19981/j.CN23-1581/G3.2024.13.005

摘  要：超弹性材料因其优异的力学性能，在工程科学、医疗、人体工程学和制造等领域具有非常广泛的应用。该文将研究不同受载情况对变形血管力学性能的影响，预估动脉损伤的风险程度。结果表明，2阶多项式（Polynomial）模型可精确描述血管组织的力学行为，随着外载荷的增大，动脉组织发生的形变和承受的应力均显著增加，动脉损伤的风险越大。研究成果为超弹性材料的工程制造、医学辅助治疗提供全新思路和方法，具有重要的意义。

关键词：超弹性；有限元建模；本构模型；非线性弹性；力学性能

中图分类号：TB115      文献标志码：A          文章编号：2095-2945（2024）13-0018-04

Abstract： Hyperelastic materials are widely used in engineering science， medical treatment， ergonomics， manufacturing and other fields because of their excellent mechanical properties. The influence of different loading conditions on the mechanical properties of deformed blood vessels was studied， and the risk of arterial damage was estimated in this paper. The research results show that the second-order polynomial model can accurately describe the mechanical behavior of vascular tissue. With the increase of external load， the deformation and stress of arterial tissue increase significantly， and the greater the risk of arterial injury. The research results provide new ideas and methods for the engineering manufacture and medically assisted treatment of hyperelastic materials， which is of great significance.

Keywords： hyperelasticity; finite element modeling; constitutive model; nonlinear elasticity; mechanical properties

超弹性材料是一种攻独立于荷载路径的非均匀弹性材料，具有不可压缩或者完全不可压缩以及非线性大变形的力学特点，比较常见的有韧带、肌腱或动脉壁等[1-2]。《中国心血管健康与疾病报告2019》公布的数据显示，目前，心血管病死亡占城乡居民总死亡原因的首位。对动脉血管组织力学发展进行研究有利于加深对各种动脉力学性质及其病变机制的理解。脉管疾病动脉粥样硬化是危害人民生命健康的主要因素，已有文獻[3]证实动脉组织的机械应力和应变与动脉粥样硬化密切相关。杨帅星[4]考虑了残余应力的影响，研究分析了支架作用下动脉血管壁的应力分布特征，为主动脉夹层患者术后产生支架源性新破口提供预防与治疗的理论依据。赵路明[5]以动脉血管壁单轴拉伸实验为基础，基于智能算法预测动脉血管壁材料参数，比较分析了各算法在研究动脉血管壁力学性能上的优缺点。Majid等[6]分析各种年龄层次的人体胸主动脉的力学特性，为开发人类衰老和疾病的模型提供信息。

随着计算机技术的飞跃式发展，有限元法已广泛用于超弹性材料的力学行为分析。建立这类材料有限元分析模型的难点在于材料本构模型的确定，而本构模型直接影响有限元分析模型计算结果的准确性。作为典型的超弹性材料动脉血管的本构模型可由应变能函数（Strain Energy Function，SEF）-势能函数推导出[7]。Weiss等[8]提出完全不可压缩型生物软组织应变能函数，用于韧带有限元模型的构建、分析和验证。文献[9]采用Fung-type模型对动脉瘤壁组织进行建模，并将模型应用到ABAQUS的子程序中模拟100 mmHg内压作用下的脑动脉瘤壁应力分布。Mooney-Rivlin模型、Fung-type模型、HGO模型、Yeoh模型和Polynomial模型等超弹性材料模型已成功应用在商用有限元分析软件ANSYS和ABAQUS平台。本文将利用牛动脉的单轴拉伸实验数据，对比不同超弹性材料本构模型表征动脉组织力学行为的能力，确定合适的动脉血管壁本构模型，对成年牛动脉血管壁进行有限元建模，研究不同外部载荷对牛动脉血管壁的影响。

1  超弹性材料理论基础

1.1  超弹性本构模型

近些年来，许多学者对超弹性材料进行了细致的分析与研究，提出许多不同类型的超弹性应变能函数来描述其力学响应。表1为部分经典的超弹性材料本构模型包括Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型和Polynomial模型和Neo-Hookean模型。其中Mooney-Rivlin模型根据阶数的高低，可以分为2参数、3参数、5参数、9参数4种常见模型。Mooney-Rivlin模型是多项式（Polynomial）模型的特殊形式。当N=1时，多项式模型缩减为2参数Mooney-Rivlin，当N=2时，多项式模型缩减为5参数Mooney-Rivlin。因此，本文主要研究3参数Mooney-Rivlin模型、Yeoh 模型、2阶Polynomial 模型和Neo-Hookean模型。

表1  超弹性本构模型

1.2  参数拟合

本文中实验数据来源于文献[6]中对牛进行的单轴拉伸实验，对表1中的本构模型进行了曲线拟合对比，如图1所示。可以明显看出，Neo-Hookean模型的曲线拟合效果最差，而2阶Polynomial模型的曲線拟合效果最好。

各个本构模型的材料参数见表2，选取残差Residual作为评价模型拟合效果的指标参数，其定义了因变量真实值与模型拟合值之间的差。残差值越小，拟合效果就越好。从表2中可以看出2阶Polynomial模型的残差最小（Residual=0.005），与图1中的拟合效果一致，因此，选择2阶Polynomial模型作为后续仿真工作中牛血管动脉组织的本构模型。

图1  各本构模型拟合效果对比图

2  动脉血管壁生物力学建模

2.1  仿真模型

动脉血管壁的形态结构特征比较复杂，有3层结构，分别是内膜、中膜和外膜，为简化模型，本文将动脉血管壁理想化为圆柱形直筒结构。参考文献[6]，设定动脉血管壁的内半径为R=4 mm，血管壁厚度为H=3.06 mm，长度为L=40 mm，对动脉血管壁仿真模型的上表面施加一个固定约束（Fixed Support），为了研究动脉血管在外力作用下的力学行为与力的大小对其影响，对动脉血管壁的下表面分别施加大小为1、2.5、5 N的拉伸力，其余设置条件相同，如图2所示。

图3为不同拉伸力下动脉血管壁应变应力分布云图，从上到下拉伸力依次为1 N（上）、2.5 N（中）、5 N（下），左侧为应力分布图，右侧为应变分布图。从图3可以看出随着动脉血管壁上的作用拉伸力越大动脉血管壁会变得更细、更长。

图3  不同拉伸力下血管动脉组织的应变与应力分布云图

我们将血管组织发生的应变值与承受的应力值抽取出来对比分析，见表3。结果表明，1 N拉伸力作用下产生的应变最大值与应变最小值最小（分别为0.061和0.018），5 N拉伸力作用下产生的应变最大值与应变最小值最大（分别为0.218和0.079）。血管在1 N拉伸力作用下产生的应力最大值与应力最小值最小（分别为0.012 MPa和 0.003 MPa），5 N拉伸力作用下产生的应力最大值与应力最小值最大（分别为0.068 MPa和0.014 MPa），随着拉伸力的增大，血管动脉组织受到的影响越大，动脉组织的形变急剧增大，增加了血管组织因形变过大发生损伤的风险。从表中可以看出2.5 N相比于1 N拉伸力作用下产生的应变最大值增长了115.92%，应变最小值增长了147.12%，应力最大值增长了166.93%，应力最小值增长了150.56%；而5 N相比2.5 N拉伸力作用下产生的应变最大值增长了64.35%，应变最小值增长了82.21%，应力最大值增长了119.87%，应力最小值增长了75.55%。结果表明，当动脉血管壁承受小的拉伸力的作用范围内，随着拉伸力的增大，动脉组织发生急剧的形变，承受的应力快速非线性增长，当拉伸力继续增大，动脉的应变与应力的增长速度反而趋于平缓。同时结合图3中能够看出，当拉伸力为5 N时，其最大应变的区域发生了改变，已从力的作用区域转移到力作用域有一定距离的地方，证明动脉壁组织内部结构发生了变化，此时动脉组织更易于发生损伤。

表3  不同拉伸力作用下应变应力数值及变化率

3  结论

本文针对动脉组织血管开展了超弹性本构模型适用性研究，证明二阶多项式模型可以精确地表征其力学行为。并在ANSYS软件中建立动脉组织血管的有限元模型，结果表明，随着外部载荷的增大，牛动脉血管壁的结构变化越明显，其承受的应力也越大，外部载荷对牛动脉血管壁的影响也就越大。当外部载荷增大到一定程度后，虽然牛动脉血管壁的应力应变增长率趋于平缓，但是动脉血管的受影响剧烈区域发生改变，动脉更容易发生损伤。

参考文献：

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