无穷区间上非线性q-差分方程共振问题的可解性

禹长龙 李双星 李静 王菊芳

摘 要：为了拓展非线性量子差分方程共振边值问题的基本理论，研究了一类无穷区间上非线性量子差分方程共振边值问题。首先，通过构造合适的Banach空间，定义Fredholm算子，计算其核域和值域；其次，定义其他恰当的算子，并运用Mawhin重合度理论，建立该问题解的存在性定理；再次，运用反证法获得该问题解的唯一性结果；最后，给出一个例子说明主要结果的有效性。结果表明，在非线性项满足一定增长的条件下，非线性量子差分方程共振边值问题至少存在一个解。研究结果丰富了量子差分方程的可解性理论，为量子差分方程在数学、物理等領域的应用提供了理论参考。

关键词：非线性泛函分析；量子差分方程；Mawhin重合度理论；无穷区间；共振

中图分类号：O175.7  文献标识码：A   文章编号：1008-1542（2024）02-0168-08

Solvability of resonance problems for nonlinear q-difference equations on infinite intervals

YU Changlong1，2，LI Shuangxing1，LI Jing2，WANG Jufang1

（1.School of Sciences， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China;2.Interdisciplinary Research Institute， School of Mathematics， Statistics and Mechanics，Beijing University of Technology， Beijing 100124， China）

Abstract：In order to develop the basic theory of resonance boundary value problems for nonlinear quantum difference equations， a class of nonlinear quantum difference equation boundary value problems at resonance on infinite intervals was studied. Firstly， by constructing a suitable Banach space， the Fredholm operator was defined， and its kernel and value domains were obtained. Secondly， by defining other appropriate operators， and using Mawhin′s coincidence degree theory， the existence theorem of solutions to this problem was established. Thirdly， the uniqueness of the solution was obtained by means of proof by contradiction. Finally， an example was given to illustrate the validity of the main results. The results show that under certain growth conditions of nonlinear terms， the boundary value problems for nonlinear quantum difference equation at resonance has at least one solution. The research results enrich the solvability theory of quantum difference equations， and provide important theoretical basis for the application of quantum difference equations in mathematics， physics and other fields.

Keywords：nonlinear functional analysis; quantum difference equation; Mawhin′s coincidence theory; infinite intervals; resonance

量子微积分即q-微积分，是一种无极限的微积分，最早可以追溯到19世纪末EULER提出的q-指数函数和GAUSS对q-二项式公式的研究。1908年，JACKSON [1]首次给出了q-微分与q-积分的基本形式。与此同时，量子差分方程应运而生，并被广泛应用于核能物理、量子力学、相对论等领域。研究表明，线性q-差分方程的应用[2-5]有着自身的局限性，相对而言，非线性q-差分方程能够更加准确地描述自然界中的某些现象。近年来，有限区间上非线性q-差分方程可解性理论的研究已经获得了许多有趣且重要的成果[6-10]。众所周知，无穷区间上的边值问题起源于非线性椭圆方程径向解的研究，在应用数学和物理领域具有广泛的应用背景。由于无穷区间边值问题的特殊性以及q-差分方程研究的复杂性，无穷区间上q-差分方程边值问题的研究结果较少[11-13]。

共振也叫谐振，是指2个振动频率相同的物体，当其中一个发生振动时，另一个被引起振动的物理现象。在实际问题中，共振现象都可以归结为微分方程动力系统。微分方程共振边值问题是微分方程领域的一个重要研究课题，涉及到物理、工程和应用数学等领域，具体表现在机械振动、电路、声学、建筑结构、飞机、汽车、系统控制等方面，其研究主要集中在解的存在性、唯一性、稳定性等方面[14-18]。随着人们对微分方程共振边值问题的不断探索，量子差分方程共振问题受到广泛关注。2022年，YU等[19]利用锥上的不动点指数理论首次研究了非线性q-差分方程共振边值问题解的存在性。值得注意的是，关于非线性q-差分方程共振问题的研究尚处在起步阶段，尤其是关于无穷区间上q-差分方程共振问题的研究还未见报道。基于上述研究现状，本文研究一类无穷区间上非线性q-差分方程共振边值问题

D2qu（t）=f（t，u（t），Dqu（t））， 0≤t<+∞，u（0）=u（σ）， limt→+∞Dqu（t）=0（1）

解的存在性，其中f：［0，+∞）×R2→R是连续的，q∈（0，1）且σ∈（0，+∞）。

1 预备知识

定义1[3] 对任意的0

定义2[3] 函数f在区间［0，b］上q-积分定义为Iqf（x）=∫x0f（t）dqt=∑∞n=0x（1-q）qnf（xqn），特别地，I0qf（t）=f（t），Inqf（t）=IqIn-1qf（t），n∈N。显然，DqIqf（t）=f（t）。如果f在t=0处连续，则IqDqf（t）=f（t）-f（0）。

引理1[20] 设0

1）∫x0f（t）Dqg（t）dqt=［f（t）g（t）］t=xt=0-∫x0Dqf（t）g（qt）dqt；

2）（xDq∫x0f（x，t）dqt）（x）=∫x0xDqf（x，t）dqt+f（qx，x）。引理2[21] 设0

设X和Y是实Banach空间，L：dom L?X→Y是一个零指标的Fredholm算子，P：X→X和Q：Y→Y为连续投影算子，且满足Im P=Ker L，Ker Q=Im L，X=Ker L∩Ker P，Y=Im L?Im Q。L|dom L∩Ker P：dom L∩Ker P→Im L是可逆的，逆算子记作Kp。

引理3[22] 令M?X。若满足以下条件：

1）M中的所有函数一致有界；

2）M中的所有函数在［0，+∞）的任意紧区间上等度连续；

3）M中所有的函数等度收敛，即?ε>0，?T=T（ε）>0，?t>T，f∈M有|f（t）-f（+∞）|<ε，则M在X中是相对紧的。

定义3[23] 设Ω是X的有界开子集，算子N：X→Y，且满足dom L∩Ω≠?，如果QN（Ω）有界，且KP（I-Q）N：Ω→X是紧的，那么称N在Ω上是L-紧的。

引理4（Mawhin重合度理論[23] ） 设L是零指标的Fredholm算子，并且N在Ω上是L-紧的。假设下列条件成立：

1）?（x，λ）∈［（dom LKer L）∩?Ω］×（0，1），Lx≠λNx，

2）?x∈Ker L∩?Ω，Nx?Im L，

3）deg（QN|Ker L，Ω∩Ker L，0）≠0，其中Q：Y→Y为投影算子，Im L=Ker Q，则Lx=Nx在dom L∩Ω上至少有1个解。

本文假设条件如下：

（H0）函数f：［0，+∞）×R2→R满足Carathéodory条件，即?（u，v）∈R2，f（·，u，v）是可测的；对于几乎所有的t∈［0，+∞），f（t，·，·）是连续的；?r>0，?Φr（t），tΦr（t）∈L1q［0，+∞），Φr（t）>0，使得当max{|u|，|v|}≤r时，?t∈［0，+∞），有|f（t，u，v）|≤Φr（t）。

（H1） 存在非负函数a（t），b（t），c（t）∈L1q［0，+∞），满足∫+∞0sa（s）dqs<+∞， ∫+∞0sb（s）dqs<+∞， ∫+∞0sc（s）dqs<+∞，使得t∈［0，+∞），?（u，v）∈R2，有|f（t，u，v）|≤a（t）|u|+b（t）|v|+c（t）。

（H2）存在常数A>0，?t∈［0，+∞），如果|u（t）|>A，则下列不等式之一成立：

u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs>0，（2）

u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs<0，（3）

其中G（qs）=qs， 0≤qs≤σ，σ， σ

（H3）存在非负函数l（t），h（t）∈L1q［0，+∞）满足∫+∞0sl（s）dqs<+∞， ∫+∞0sh（s）dqs<+∞，使得t∈［0，+∞），（u1，v1），（u2，v2）∈R2，有|f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）|≤l（t）|u1-u2|+h（t）|v1-v2|。

（H4）若f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）有零点，则存在η>0，使得ui，vi∈R，i=1，2，有inft∈［0，+∞）{t：f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）=0}≤η。

（H5）存在k1>0，k2≥0，使得t∈［0，η］，（u1，v1），（u2，v2）∈R2，有|f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）|≥k1|u1-u2|-k2|v1-v2|。

2 解的存在性和唯一性

定义空间X和Y：

X={u∈C1q［0，+∞），limt→+∞u（t）<+∞，limt→+∞Dqu（t）<+∞}，Y=L1q［0，+∞）∩C［0，+∞），且空间的范数分别为‖u‖X=max{‖u‖∞，‖Dqu‖∞}和‖y‖Y=max{‖y‖∞，‖y‖Δ，‖y‖1}。其中‖·‖∞=supt∈［0，+∞）|·|，‖y‖Δ=∫+∞0|y（s）|dqs，‖y‖1=∫+∞0s|y（s）|dqs。易证（X，‖·‖X）和（Y，‖·‖Y）为Banach空间。

定义线性算子L：dom LX→Y和非线性算子N：X→Y为Lu（t）=D2qu（t）， Nu（t）=f（t，u（t）， Dqu（t）），t∈［0，+∞），其中dom L={u∈X∩C2q［0，+∞），u（0）=u（σ），limt→+∞Dqu（t）=0}，则问题（1）等价于Lu=Nu。

引理5 定义线性连续算子P：X→X和Q：Y→Y，Pu（t）=u（0）， Qy（t）=ω（t）∫+∞0G（qs）y（s）dqs，t∈［0，+∞），则L是一个零指标的Fredholm算子，其中ω∈Y，ω>0且∫+∞0G（qs）ω（s）dqs=1。

证明： 显然Ker L=u∈X：u（t）=c∈R，t∈［0，+∞）。

首先，计算Im L。取y∈Im L，则存在u∈dom L，使得Lu=y。对方程两边从t到+∞进行q-积分得Dqu（+∞）-Dqu（t）=∫+∞ty（τ）dqτ。

由边值条件limt→+∞Dqu（t）=0得Dqu（t）=-∫+∞ty（τ）dqτ。

对上式从0到t进行q-积分得u（t）=u（0）-∫t0∫+∞τy（s）dqsdqτ。

根据引理2，有u（t）=u（0）-∫+∞0ty（s）dqs+∫t0（t-qs）y（s）dqs。

又由u（0）=u（σ）得∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0。

因此，Im L{y∈Y：∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0}。

若y∈Y且满足∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0，令u（t）=u（0）-∫t0∫+∞τy（s）dqsdqτ，易证u∈dom L，Lu=y，即y∈Im L。因此Im L={y∈Y：∫+∞0G（qs）y（s）dqs=0}。

其次，证明L是一个零指标的Fredholm算子。

任取u∈X，显然Im P=Ker L，P2u（t）=P（Pu（t））=Pu（0）=u（0）=Pu（t），因此X=Ker LKer P。另一方面，对y∈Y，由∫+∞0G（qs）ω（s）dqs=1，可得

Q2y（t）=Q（Qy（t））=ω（t）∫+∞0G（qs）Qy（s）dqs=ω（t）∫+∞0G（qs）ω（s）∫+∞0G（qτ）y（τ）dqτdqs=ω（t）∫+∞0G（qτ）y（τ）dqτ=Qy（t）。

即Q是一个幂等算子，故有Y=Im LIm Q，于是

dimKer L=dimIm Q=co dimIm L=1，这意味着L是一个零指标的Fredholm算子。证毕。

引理6 定义线性算子KP：Im L→dom L∩Ker P，KPy（t）=-∫+∞0G（t，qs）y（s）dqs，則KP=（L|dom L∩Ker P）-1，其中G（t，qs）=[JB（{]qs， 0≤qs≤t，t， t

证明： 任取u∈dom L∩Ker P，由于u∈Ker P，则u（0）=0。

由引理1的1）和定义1得

KPLu（t）=-∫+∞0G（t，qs）D2qu（s）dqs=-（∫t0qsD2qu（s）dqs+∫+∞ttD2qu（s）dqs）=-qtDqu（t）+u（qt）-u（0）+tDqu（t）=（t-qt）u（t）-u（qt）t-qt+u（qt）-u（0）=u（t）-u（0）=u（t）。

对y∈Im L，由引理1的2）得

LKPy（t）=D2q（-∫+∞0G（t，qs）y（s）dqs）=DqDq（-（∫t0（qs）y（s）dqs+∫+∞tty（s）dqs））=Dq（-qty（t））-DqDq（∫+∞0ty（s）dqs-∫t0ty（s）dqs）=Dq（-qty（t））+Dq∫t0y（s）dqs+Dq（qty（t））=y（t）。

因此，KP是L|dom L∩Ker P的逆算子，即KP=（L|dom L∩Ker P）-1。证毕。

引理7 设条件（H0）成立，若Ω是X的有界开子集，且dom L∩Ω≠，则N在Ω上是L-紧的。

证明： 首先，证明QN（Ω有界。

令ΩX是一个有界开子集，对u∈Ω，r>0，使得‖u‖X≤r。由条件（H0）知，对于任意的u∈Ω，有‖QNu‖Y=max{‖QNu‖∞，‖QNu‖Δ，‖QNu‖1}≤‖Φr‖1·‖ω‖Y<+∞，因此，QN（Ω）是有界的。

其次，证明KP（I-Q）NΩ）是紧的。

1）任取u∈Ω，有|KP（I-Q）Nu（t）|≤∫+∞0G（t，qs）|f（s，u（s），Dqu（s））-ω（s）∫+∞0G（qτ）f（τ，u（τ），Dqu（τ））dqτ|dqs≤‖Φr‖1（1+‖ω‖1）<+∞，|DqKP（I-Q）Nu（t）|≤∫+∞t|f（s，u（s），Dqu（s））-ω（s）∫+∞0G（qτ）f（τ，u（τ），Dqu（τ））dqτ|dqs≤‖Φ‖Δ+‖ω‖Δ‖Φr‖1<+∞。

故KP（I-Q）N（[AKΩ-〗）是有界的。

2）对于任意的0

|KP（I-Q）Nu（t2）-KP（I-Q）Nu（t1）|≤∫+∞0|G（t2，qs）-G（t1，qs）|（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t1→t2，DqKP（I-Q）Nu（t2）-DqKP（I-Q）Nu（t1）|≤∫t2t1（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t1→t2，故KP（I-Q）N（Ω）是等度连续的。

3）事实上，

|KP（I-Q）Nu（t）-KP（I-Q）Nu（+∞）|≤∫+∞0|qs-G（t，qs）|（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t→+∞，|DqKP（I-Q）Nu（t）-DqKP（I-Q）Nu（+∞）|≤∫+∞t（Φr（s）+ω（s）‖Φr‖1）dqs→0，t→+∞，因此，KP（I-Q）N（Ω）是等度收敛的。

于是，N在Ω上是L-紧的。证毕。

为了方便计算，记Λ=‖a‖1+‖b‖Δ，Λ1=（η+k2k1）‖l‖Δ+‖l‖1+‖h‖Δ。

定理1 假设条件（H0）-（H2）成立，若Λ<1，则q-差分方程共振问题（1）至少存在1个解。

证明： 首先，令Ω1={u|u∈dom LKer L：Lu=λNu，λ∈（0，1）}，证明Ω1有界。

任取u∈Ω1，则Nu∈Im L，∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs=0。由（H2）知，存在t0∈［0，+∞），使得|u（t0）|≤A，因此，

|u（t）|≤|u（t0）|+|∫tt0Dqu（s）dqs|≤A+t‖Dqu‖∞。（4）

对于任意的u∈Ω1，有Lu=λNu，可得

u（t）=u（0）-λ∫+∞0G（t，qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs，（5）

Dqu（t）=-λ∫+∞tf（s，u（s），Dqu（s））dqs，（6）

由式（4）、式（6）和条件（H1）得

|Dqu（t）|≤∫+∞0|f（s，u（s），Dqu（s））|dqs≤∫+∞0（a（s）|u（s）|+b（s）|Dqu（s）|+c（s））dqs≤  ∫+∞0{a（s）［A+s‖Dqu‖∞］+b（s）‖Dqu‖∞+c（s）}dqs≤Λ‖Dqu‖∞+A‖a‖Δ+‖c‖Δ，故有‖Dqu‖∞≤A‖a‖Δ+‖c‖Δ1-Λ：=Z1。

又由式（4）、式（5）和条件（H1）得

|u（t）≤|u（0）|+∫+∞0s|f（s，u（s），Dqu（s））|dqs≤A+∫+∞0s（a（s）|u（s）|+b（s）|Dqu（s）|+c（s））dqs≤‖a‖1‖u‖∞+‖b‖1‖Dqu‖∞+A+‖c‖1≤‖a‖1‖u‖∞+‖b‖1Z1+A+‖c‖1，因此‖u‖∞≤‖b‖1Z1+A+‖c‖11-‖a‖1：=Z2，所以，‖u‖X=max{Z1，Z2}，即Ω1有界。

其次，令Ω2={u∈Ker L，Nu∈Im L}，證明Ω2有界。

对于u∈Ω2，有u（t）≡c，c∈R和∫+∞0G（qs）f（s，c，0）=0。由（H2）知，|u（t）|≡|c|≤A。因此，Ω2有界。

再次，令Ω3={u∈Ker L，λJu+（1-λ）θQNu=0，λ∈［0，1］}，证明Ω3有界，其中J：Ker L→Im Q是线性同构映射，J（c）=cω（t），c∈R，t∈［0，+∞）。如果式（2）成立，则θ=1；如果式（3）成立，则θ=-1。

任取u∈Ω3，则u（t）≡c且λc=-（1-λ）θ∫+∞0G（qs）f（s，c，0）dqs。如果λ=1，则c=0；如果λ=0，由（H2）知，|c|≤A；对于λ∈（0，1），有λc2=-（1-λ）θc∫+∞0G（qs）f（s，c，0）dqs，如果|c|>A，由条件（H2）得，λc2<0，矛盾。因此，Ω3是有界的。

最后，令Ω[AKΩ-]1∪[AKΩ-]2∪[AKΩ-]3∪{0}为X中的有界开集，由引理7知，N是L-紧的。由Ω1有界和Ω2有界得：

1）（u，λ）∈［（dom LKer L）∩Ω］×（0，1），Lu≠λNu；

2）u∈Ker L∩Ω，NuIm L。

定义H（u，λ）=λJu+（1-λ）θQNu，由Ω3有界知，对u∈Ker L∩Ω，有H（u，λ）≠0。由度的同伦不变性得deg（QN∣Ker L，Ω∩Ker L，0）=deg（θH（·，0），Ω∩Ker L，0）=deg（θH（·，1），Ω∩KerL，0）=deg（θI，Ω∩Ker L，0）≠0。于是，由引理4可得共振边值问题（1）至少存在1个解。证毕。

定理2 设条件（H0）-（H5）成立，如果max{Λ，Λ1}<1，则q-差分方程共振问题（1）存在唯一解。

证明： 由定理1知边值问题（1）至少存在1个解。假设u1，u2∈X是边值问题（1）的2个解，则

u1（t）-u2（t）=u1（0）-u2（0）-∫+∞0G（t，qs）［f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（t，u2（s），Dqu2（s））］dqs，（7）

∫+∞0G（qs）［f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（s，u2（s），Dqu2（s））］dqs=0。（8）

由式（8）知，f（t，u1，Dqu1）-f（t，u2，Dqu2）有零点，故存在ζ∈［0，+∞），使得f（ζ，u1（ζ），Dqu1（ζ））-f（ζ，u2（ζ），Dqu2（ζ））=0。

由条件（H4）和（H5）得，

ζ≤η和|u1（ζ）-u2（ζ）|≤k2k1‖Dqu1-Dqu2‖∞，因此|u1（t）-u2（t）|≤（k2k1+η+t）‖Dqu1-Dqu2‖∞。（9）

由式（9）和条件（H3）得

|Dqu1（t）-Dqu2（t）|≤[WB]∫+∞0|f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（s，u2（s），Dqu2（s））|dqs≤      ∫+∞0（l（s）|u1（s）-u2（s）|+h（s）|Dqu1（s）-Dqu2（s）|）dqs≤∫+∞0{l（s）［（k2k1+η+s）‖Dqu1-Dqu2‖∞］+h（s）‖Dqu1-Dqu2‖∞}dqs≤Λ1‖Dqu1-Dqu2‖∞，又因为Λ1<1，所以‖Dqu1-Dqu2‖∞=0。

由式（7）、式（9）和条件（H3）得

|u1（t）-u2（t）|=|u1（0）-u2（0）|+∫+∞0G（t，qs）|f（s，u1（s），Dqu1（s））-f（t，u2（s），Dqu2（s））|dqs≤（k2k1+η）‖Dqu1-Dqu2‖∞+‖l‖1‖u1-u2‖∞+‖h‖1‖Dqu1-Dqu2‖∞=‖l‖1‖u1-u2‖∞，这意味着‖u1-u2‖∞=0，因此u1=u2，即共振边值问题（1）有唯一解。证毕。

3 應用举例

考虑下面非线性q-差分方程共振问题

D2qu（t）=14E-qtq+14E-qtqu（t）+18E-qtqsin（Dqu（t））， 0≤t<+∞，u（0）=u（σ）， limt→+∞Dqu（t）=0，（10）

其中，E-qtq是q-类指数函数，见参考文献[3]。

这里f（t，u（t），Dqu（t））=14E-qtqu（t）+18E-qtqsin（Dqu（t）），令a（t）=14E-qtq，b（t）=18E-qtq，c（t）=14E-qtq。显然，|f（t，u（t），Dqu（t）|≤a（t）|u（t）|+b（t）|Dqu（t）|+c（t）。

取A=1，对t∈［0，+∞），如果u（t）>A，则f（t，u（t），Dqu（t））>18E-qtq（2A+1），通过计算易得u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs>0；如果u（t）<-A，有f（t，u（t），Dqu（t））<18E-qtq（3-2A），则u（t）∫+∞0G（qs）f（s，u（s），Dqu（s））dqs<0。

故条件（H0）-（H2）成立。又‖a‖1=14，‖b‖Δ=18，所以Λ=38<1。因此，根据定理1可知，q-差分方程共振问题（10）至少有1个解。

4 结 语

本文运用Mawhin重合度理论，研究了一类无穷区间上非线性量子差分方程共振边值问题解的存在性和唯一性，所得结果在一定程度上填补了该领域研究的空白，丰富了量子差分方程的可解性理论，为量子差分方程在力学、量子理论、控制理论等方面的应用提供了理论参考。

但是，本文仅考虑了q-差分方程共振边值问题Lu=Nu中L是线性算子且σ∈（0，+∞）的情况，不具有一般性。因此，在未来的研究中，将对L是非线性算子或者σ=+∞的情况作进一步探讨，同时从研究的广度上，计划研究高阶量子差分方程共振问题、分数阶量子差分方程共振问题以及量子差分耦合系统共振问题等的可解性理论，拓展量子差分方程共振问题的数值计算方法，进一步探索量子差分方程共振问题的实际应用。

参考文献/References：

［1］JACKSON F H. On q-functions and a certain difference operator[J]. Earth and Environmental Science Transactions of the Royal Society of Edinburgh， 1908， 46（2）： 253-281.

［2］ CARMICHAEL R D. The general theory of linear q-difference equations［J］. American Journal of Mathematics， 1912， 34（2）： 147-168.

［3］ KAC V， CHEUNG P. Quantum Calculus［M］. New York： Springer， 2002.

［4］ ABRAMOV S A， RYABENKO A A. Linearq-difference equations depending on a parameter［J］. Journal of Symbolic Computation， 2013， 49： 65-77.

［5］ BASHEER S F A， MARABEH M A A. Fuzzy Caputoq-fractional linear equations on the time scale Tq［J］. Chaos， Solitons & Fractals， 2023.DOI：10.1016/j.chaos.2023.114180.

［6］ YANG L. Existence of positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional q-difference equation［J］. Applied Mathematics， 2013， 4（10）： 1450-1454.

［7］ JIANG M， ZHONG S M. Existence of solutions for nonlinear fractional q-difference equations with Riemann-Liouville type q-derivatives［J］. Journal of Applied Mathematics and Computing， 2015， 47（1/2）： 429-459.

［8］ ZHAI C B， REN J. The unique solution for a fractional q-difference equation with three-point boundary conditions［J］. Indagationes Mathematicae， 2018， 29（3）： 948-961.

［9］ YU C L， LI J， WANG J F. Existence and uniqueness criteria for nonlinear quantum difference equations with p-Laplacian［J］. AIMs Mathematics， 2022， 7（6）： 10439-10453.

［10］LACHOURI A， SAMEI M E， ARDJOUNI A. Existence and stability analysis for a class of fractional pantograph q-difference equations with nonlocal boundary conditions［J］. Bound Value Problems， 2023（2）： 1-20.

［11］[ZK（]禹长龙， 张博雅， 韩获德. 无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性［J］.河北科技大学学报， 2019， 40（6）： 469-476.

YU Changlong， ZHANG Boya， HAN Huode. Existence of solutions to boundary value problems of second-order three-point q-difference equations on infinite intervals［J］. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2019， 40（6）： 469-476.

［12］MA K K， LI X H， SUN S R. Boundary value problems of fractional q-difference equations on the half-line［J］. Bound Value Problems， 2019（46）： 1-16.

［13］BOUTIARA A， BENBACHIR M， KAABAR M K A， et al. Explicit iteration and unbounded solutions for fractional q-difference equations with boundary conditions on an infinite interval［J］. Journal of Inequalities and Applications， 2022（29）： 1-27.

［14］LIAN H R， PANG H H， GE W G. Solvability for second-order three-point boundary value problems at resonance on a half-line［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 337（2）： 1171-1181.

［15］LIU Z B， LIU W B， ZHANG W. Solvability for fractional p-Laplacian differential equation with integral boundary conditions at resonance on infinite interval［J］. Mathematica Applicata， 2020， 33（1）： 12-24.

［16］IATIME K， GUEDDA L， DJEBAL S. System of fractional boundary value problems atresonance［J］. Fractional Calculus and Applied Analysis， 2023， 26（3）： 1359-1383.

［17］DJAFRI S， MOUSSAOUI T， OREGAN D. Existence of solutions for a nonlocal boundary value problem at resonance on the half-line［J］. Differential Equations and Dynamical Systems， 2023， 31（1）： 69-80.

［18］DOMOSHNITSKY A， SRIVASTAVA S N， PADHI S. Existence of solutions for a higher order Riemann-Liouville fractional differential equation by Mawhins coincidence degree theory［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2023， 46（11）： 12018-12034.

［19］YU C L， LI S X， LI J， et al. Triple-positive solutions for a nonlinear singular fractional q-difference equation at resonance［J］. Fractal and Fractional， 2022， 6（11）：689.

［20］MA J C， YANG J.Existence of solutions for multi-point boundary value problem of fractional q-difference equation［J］. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations， 2011（92）： 1-10.

［21］[ZK（]韓获德. 几类量子差分方程局部非局部问题的可解性［D］. 石家庄：河北科技大学， 2020.

HAN Huode. Solvability of Some Classes of Quantum Difference Equations for Local Non-local Problems［D］. Shijiazhuang： Hebei University of Science and Technology， 2020.

［22］AGARWAL R P， OREGAN D. Infinite Interval Problems for Differential， Difference and Integral Equations［M］. Netherlands： Kluwer Academic Publisher，2001.

［23］MAWHIN J.Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems［M］.Providence： American Mathmeatical Society， 1979.

责任编辑：张士莹

基金项目：国家重点研发计划项目（2022YFB3806000）；国家自然科学基金（12272011）；河北省自然科学基金（A2015208114）；河北省教育厅基金（QN2017063）

第一作者简介：禹长龙（1978-），男，河北阳原人，副教授，博士研究生，主要从事微分方程边值问题、量子差分方程边值问题以及数值计算等方面的研究。E-mail：changlongyu@126.com禹长龙，李双星，李静，等.无穷区间上非线性q-差分方程共振问题的可解性［J］.河北科技大学学报，2024，45（2）：168-175.YU Changlong，LI Shuangxing，LI Jing，et al.Solvability of resonance problems for nonlinear q-difference equations on infinite intervals［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（2）：168-175.