基于多种DEA模型和Gini准则的效率评价方法
——兼对我国高校运营绩效的评价

薛 晖，郑中华，谢启伟

（1.天津大学继续教育学院，天津300072；2.中国人民大学教育学院，北京100872；3.中国科学院自动化研究所，北京100190）

基于多种DEA模型和Gini准则的效率评价方法
——兼对我国高校运营绩效的评价

薛 晖1，郑中华2，谢启伟3

（1.天津大学继续教育学院，天津300072；2.中国人民大学教育学院，北京100872；3.中国科学院自动化研究所，北京100190）

针对多种数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）模型会产生不同绩效评价结果的问题，提出基于Gini准则科学地融合各DEA模型结果的方法。首先基于Gini准则定义信息纯度以衡量各DEA模型结果的确定性并赋予权重，然后通过加权融合最终得出客观唯一的综合效率。此外，根据评价者的偏好信息或先验知识，进一步提出交互式多DEA模型-Gini准则方法。以前学者仅从单一角度出发选择DEA模型评价高校的运营绩效，考虑到从不同角度出发的多种DEA模型可以给出高校更加全面客观的运营绩效评价，利用以上方法对2011年国内25所理工类高校的运营绩效进行了实证分析，结果验证了以上方法可以合理有效的衡量各高校的运营绩效表现，对于高校运营绩效的评价研究具有实际指导意义。

绩效评价；数据包络分析；Gini准则；综合效率

1 引言

自Charnes等［1］正式提出首个数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）模型——CCR模型（Charnes，Cooper and Rhode model）以来，一系列重要的从不同视角出发的DEA模型被提出，如Banker等［2］提出的BCC（Banker，Charnes and Cooper model），Charnes等［3］加性DEA模型，Andersen和Petersen［4］提出的超效率DEA模型，Du Juan等［5］提出的超效率加性DEA模型等。DEA作为一种重要的非参数绩效评价方法，是评价具有多输入和多输出特征的决策单元（Decision Making Unit，简称DMU）间相对有效性的有效工具，并被应用于许多领域的效率评价问题中［6-8］。与主观确定权重方法相比，DEA方法可以避免受人的主观偏好、知识结构等因素的影响。

然而，在实际应用的过程中，利用各种DEA模型所得到效率排序结果很可能会存在不同。由于每种结果都包含着从各种视角出发的有价值的信息，只依赖于某个特定的DEA模型进行绩效评价存在风险［9］。因此，理智的做法是将不同DEA模型的绩效评价结果融合起来，按照一定的科学规则得出一组唯一的绩效评价结果，这对于DEA方法的有效应用至关重要。为了解决这一问题，Soleimanidamaneh等［10］从信息论的角度出发，利用熵理论并结合AHP的方法，融合各种不同的DEA模型的结果，试图给出一个完全的绩效排序。但是该方法可能会出现赋予各DEA模型结果的权重差距过大等问题，因而相对较“激进”。此外，该方法赋予各模型的权重仅仅依赖于特定的数据集，对其他影响绩效的因素，如历史原因、突发事件等因素没有被考虑进去，因此，没有给予绩效评价主体根据具体情况对权重进行合理的调整空间，造成结果可能与实际情况有偏差。

本文从数据挖掘的角度出发，基于分类回归决策树［11］理论中的Gini准则对不同DEA模型的绩效评价结果进行融合，并将本文提出的方法应用于高校绩效评价问题中。通常地，若基于某DEA模型所得到的效率值越集中（即差距越小），则该DEA模型给出绩效评价的不确定性（模糊性）越大。在融合各种DEA模型的绩效评价结果时，为了降低最终结果的不确定性，应当赋予该DEA模型所得到的结果以较低的权重。相反地，对于确定性较大的DEA模型所得到的结果，则赋予其相对较高的权重。Gini准则是对信息杂度的度量，并利用Gini系数值刻画信息杂度值。一般地，Gini系数越大，信息杂度越大，即不确定性就越大；反之，不确定性越小。因此，本文基于Gini准则衡量各DEA模型结果的确定性大小，并据其赋予各结果权重，最终通过加权得出一组唯一的综合效率（Comprehensive Efficiency，简称CE）进行排序。此外，本文对数据集中没有反映出的信息，还提出根据具体情况通过用户交互的方式，将相关信息的影响反映到最终的CE中，以保证绩效评价结果的科学性和有效性。

高校的运营绩效评价是DEA方法的一个重要的应用方面，目前已有很多国外［11-15］和国内学者［16-19］基于DEA方法从各种不同的角度展开了研究。然而，所有的这些研究都只是基于某一种视角的DEA模型评估高校的运营绩效。一般地，从不同角度的出发所得到的高校的运营绩效评价结果比单一角度得到的结果客观。但是当各种视角的DEA模型得到的绩效评价结果不完全相同甚至发生冲突时，决策者很难给出统一的高校运营绩效排名。因此，本文的方法可以被应用到这一研究领域，通过融合各种模型结果，给出一组科学统一的高校运营绩效排名。

本文架构如下：第2部分介绍多DEA模型-Gini准则方法，它包括标准和交互式多DEA模型-Gini准则两种方法；第3部分通过2011年国内25所理工类高校的绩效评价验证本文方法的合理性；最后一部分给出相关结论和研究展望。

2 多DEA模型-Gini准则方法

2.1 标准多DEA模型-Gini准则方法

设有n个DMUj（j=1，2，...，n），消耗m种投入xij（i=1，2，...，m）生产出s种产出yrj（r= 1，2，...，s），那么待评价决策单元DMUk（k∈｛1，2，...，n｝）的投入导向型CCR效率值EI-CCRk为：

与之相应的是产出导向型DEA模型，它研究在投入不变的情况下，各DMU的产出多少情况。DMUk的产出导向型CCR模型为：

当φ*＞1时，DMUk是无效的；当φ*=1时，DMUk是（弱）有效的。在模型（2）的约束条件基础上增加约束条件即可得到DMUk的产出导向型BCC模型，φ值的倒数即为DMUk的效率值EO-BCCk。在CCR模型下，DMUk的投入导向型和产出导向型的效率值是相同的；在BCC模型下，投入导向型和产出导向型的效率值一般不完全相同。当被评价的决策单元DMUk从参考单元集中剔除时，即可得到对应的超效率DEA模型［4］。它可以对有效决策单元进行进一步的绩效排序，且能够保证无效决策单元的DEA超效率值与传统的DEA模型效率值保持一致。基于CCR和BCC这两个基本的DEA模型，根据各种具体问题，拓展出许多DEA模型［］。

设有K个DEA模型，Ml（l=1，2，...，K）是第l个DEA模型的绩效评价结果，记所有DEA模型的结果集为Ω=｛M1，M2，...，MK｝。DMUj在Ml下的效率值记为Ejl，则基于DEA模型可以得到如下的效率矩阵［Ejl］n×K：

效率矩阵（3）中的每一列表示各DMUj（j= 1，2，...，n）在DEA模型l下所得到的效率，每一行表示DMUk在各DEA模型下的效率。

为科学地得到一组最终的融合各DEA模型结果的CE值，需要根据各模型所得结果的确定性高低给各模型赋予相应的权重。

表示某DEA模型（即节点）中DMUj（即类别）所占的比例。

本文定义的信息纯度与信息杂度是对应的，两者之和为1。根据Gini准则理论，Gini系数的定义为。根据pj的定义可知0≤pj≤1，因此0≤G≤1。因此，信息纯度d=1-G=。显然的，信息纯度值越大，对应模型结果发生的确定性越大。

性质1 DMU效率值波动较大对应的DEA模型确定性较大，信息纯度较大；反之，则对应的DEA模型确定性较小，信息纯度较小。当某DEA模型下所有DMU的效率值都相同时，确定性最小，信息纯度最小。

可通过数学方法证实。设对所有类别DMUj（j =1，2，...，n），当所有类别它们的效率值都相同时，根据，可得p1j=，即此时所有类别的概率值都相同，则Gini系数在这种情况下为。

当类别DMUj（j=1，2，...，n）中部分效率值不相等时，记概率值为p2j=+εj，其中εj反映了DMU效率的波动幅度，则此时Gini系数为：

所以：

此外：

因而，将（5）和（6）带入到（4）中得：

因此，当某节点下的类别DMUj（j=1，2，...，n）的效率值波动较大时（即εj的绝对值较大），则由（7）不等号左式可知，Gini系数G2的值较小，即信息杂度较小，对应的是信息纯度较大，该节点确定性较大。反之，则信息纯度较小，该节点确定性较小。当节点下所有类别DMUj（j=1，2，...，n）的效率值都相同时（即εj=0，j=1，2，...，n），由（7）不等号右式可知，G1达到其最大值，即此时确定性最小，信息纯度最小。

从实践的角度来看，当某DEA模型的绩效评价结果使得相对较多的DMU呈有效状态，由于有效DMU的DEA效率值都为1，不能对有效DMU进行进一步的排序，因此造成此模型绩效评价结果的确定性较低，信息纯度较小。当某DEA模型的绩效评价结果使得DMU的排序能够被明显分开，则显然此模型绩效评价结果的确定性较高，信息纯度较大。与性质1的结论相符。

性质2 当节点（即DEA模型）中只有一个DMU（即只有一个类别）时，事件发生的确定性最大，其信息纯度最大，d=1。

从DEA理论来看，当参考集中只有一个DMU时，其效率值必然为1（有效的DMU）。从决策树理论来看，当节点中只有一个类别时，其发生的确定性最大。这符合DEA理论和决策树理论的相关结论。

通过性质1和性质2可知，基于信息纯度可以很好的刻画各DEA模型下绩效评价结果的确定性程度。在前面相关结论的基础上，下面通过算法1提出本文的标准多DEA模型-Gini准则方法，得出一组客观且唯一的CE。

算法1：标准多DEA模型-Gini准则方法

步骤1：计算效率矩阵。利用各DEA模型计算效率矩阵［Ejl］n×K（l=1，2，...，K）；

步骤2：效率矩阵归一化。利用pjl=，对效率矩阵［Ejl］n×K进行归一化；

步骤3：计算DEA模型Ml（l=1，2，...，K）的权重。根据，l=1，2，...，K得到Ml的信息纯度dl后，通过归一化dl得到第l个DEA模型Ml的权重，其中；

性质3 如果某DMU的效率值在所有的DEA模型下都相等，那么经过算法1（标准多DEA模型-Gini准则方法）计算后其效率值保持不变。

设DMUj在所有的DEA模型下都有相等的效率值c（0≤c≤1），那么根据算法1可知，其CE值θj，又，因此θj=c，即经过算法1计算后其效率值不变，因此性质3成立。

2.2 交互式多DEA模型-Gini准则方法

在实际应用中，绩效评价主体可能会根据具体的情况和问题评价的侧重角度不同，对DEA模型具有一定的偏好。对于这种情况，本文提出交互式多DEA模型-Gini准则方法。当相对的比较倾向于使用某种DEA模型进行绩效评价时，则可以赋予该DEA模型相对较大的权重；反之，则可以赋予对应的DEA模型非常小甚至为0的权重。这部分由绩效评价主体设定的权重记为Up≥0，p∈N1，其中N1为这部分DEA模型的标记。其余的没有被用户赋权重的DEA模型集合记为N2，则N1+N2=｛1，2，...，K｝。

算法2：交互式多DEA模型-Gini准则方法

步骤1：计算效率矩阵。利用各DEA模型计算效率矩阵［Ejl］和［Ejp］，其中l∈N2，p∈N1，j =1，2，...，n；

步骤2：效率矩阵归一化。利用pjl=，对效率矩阵［Ejl］进行归一化；

步骤3：计算DEA模型Ml的权重。根据dl=得到Ml的信息纯度dl后，通过归一化dl得到第l个DEA模型Ml的权重，其中

步骤4：用户交互。步骤3得出的权重Wl是由客观方法根据具体数据集确定的，它是部分DEA模型的权重。绩效评价主体根据Wl的相对大小，融入客观方法和数据集中无法反映的偏好信息或先验知识，利用专家打分法等方法赋予剩下部分的DEA模型权重Up≥0，p∈N1；

由于这里的绩效评价结果中既包含数据集中的客观信息，也包括数据集中没有的由绩效评价主体根据具体情况给出的较为理性的信息，因此，得出的绩效评价结果会比较的科学客观和有说服力。

3 实证分析

高校的运营绩效评价是DEA方法的一个重要的应用。为了保证绩效评价结果的全面性和客观性，应该从多种不同的角度出发衡量高校的运营绩效评价。因此本文提出的方法可以应用到这个问题中。

在进行高校的绩效评价问题时，应尽量选取具有相同特色类型的高校组成参考集，保证样本具有同质性，这是能够使用DEA方法的前提条件之一。本文选择对2011年国内25个理工类大学的运营绩效进行评价（最新可得到的数据）。在高校的运作过程中，相关的投入要素和产出要素很多。但是由于过多的绩效指标会降低DEA方法的判别能力，因此需要选取其中最具有代表性的指标。一般而言，指标变量数量一般不超过样本数量的三分之一［20］。

本文在综合考虑高等教育的特征后确定投入指标为：专任教师总数（百人）、固定资产（万元）、教育经费支出（万元）。产出指标为：在校生总数（百人）、论文总数（篇）、专著总数（部）和知识产权授权数（项）。其中考虑到国外论文的质量、发表难度和审稿时间等因素后，本文国内外论文按照1：1.5折算后，得出论文总数。相关数据来源于《教育部直属高校2011年基本情况统计资料汇编》。

本文从以下几种角度选取高校运营绩效评价的DEA模型。首先，从规模收益不变和可变的角度来看，分别选取CCR模型和BCC模型。其次，在此基础上考虑投入导向型和产出导向型时，可以得到投入导向型和产出导向型的CCR模型和BCC模型。由于CCR模型的投入导向型和产出导向型效率值是一样的，因此任取其中一个导向型的CCR模型都可以。再次，由于前面考虑的都是径向型DEA模型，当考虑非径向型的DEA模型时，可以选择加性DEA模型。最后，由于传统DEA模型无法进一步对有效决策单元进行绩效排序，考虑到超效率DEA模型的特点，因此在前面的基础上选择超效率DEA模型。最终选择的高校运营绩效评价DEA模型有：超效率CCR模型，投入导向型和产出导向型的超效率BCC模型及超效率加性DEA模型，所得结果分别记为ESCCRj，EI-SBCCj，EO-SBCCj和ESAddj（j= 1，2，...，n）。其中，考虑到超效率BCC模型可能会存在无可行解，因此本文采用Cook等［21］提出的改进的超效率BCC模型。由于Cook等［21］中效率值的定义使得无效决策单元的效率值必不小于1，为了便于与其它方法比较，本文将该方法得到的所有高校的效率值同时减少1个单位，这不影响该方法所得的高校运营绩效评价排名，也不影响对本文方法的说明。

利用标准多DEA模型-Gini准则方法对数据进行处理，相关结果如表1所示。表1的第2列到第5列依次分别是利用超效率CCR模型，投入导向型超效率BCC模型，产出导向型的超效率BCC模型及超效率加性DEA模型所得到的计算结果。从横向看，不同的模型得到的结果是不同的，如华中科技大学从规模收益不变的角度（超效率CCR模型）来看是无效决策单元，存在绩效改进的空间，但在其它三种模型下其运营绩效是有效的。此外，从纵向看，不同的模型得到的各高校运营绩效排名是不同的，如清华大学在ESCCRj，EI-SBCCj，EO-SBCCj和ESAddj中的运营绩效排名依次是第三、第四、第五和第八。

基于标准多DEA模型-Gini准则方法和多DEA模型-Shannon熵方法［10］得到的效率值分别记为CE 1和SE。利用这两种方法所得到的各DEA模型权重和效率值分别如表1的最后两行和倒数第二列和第三列所示。

通过对权重值的对比分析，可以发现基于标准多DEA模型-Gini准则方法得到的权重波动比多DEA模型-Shannon熵方法小。前者的各模型权重区间为［0.2054，0.3025］，权重波动相对较“温和”；后者区间为［0.0013，0.4966］，权重波动相对较“激进”。

表1 多DEA模型-Gini准则方法及相关结果

通过对效率值CE 1和SE的对比分析，可以发现基于标准多DEA模型-Gini准则方法得到的效率值波动比多DEA模型-Shannon熵方法得到的结果小。这是由于前者的模型权重波动比后者小的原因。因此，本文所提出的方法较为适合风险厌恶型决策者使用，而多DEA模型-Shannon熵方法则较为适合风险爱好型决策者使用。此外，两种方法所得到绩效排序也不完全一致，如北京交通大学和东北大学，基于本文所提出的方法，前者的绩效排名小于后者，若基于多DEA模型-Shannon熵方法，则前者大于后者。类似的情况还有华南理工大学与重庆大学。最后，如果高校的效率值在所有的DEA模型下都一致，那么经过标准多DEA模型-Gini准则方法计算后其效率值不变（性质3）。如清华大学在所有的模型下都是有效的，如果这里用的是传统的DEA模型，则其效率值都为1，因此其最终的CE 1值也是1（有效的）。

在实际应用中，可能会存在一些数据集中无法反映的情况或是绩效评价决策者希望可以将自己的偏好反映到结果中，此时需要根据具体情况利用交互式多DEA模型-Gini准则方法对高校运营绩效进行评价。如绩效评价决策者对是否通过径向型模型算得效率值不是很关注，因而为超效率加性DEA模型赋予一个较低的权重值。此时N1=｛超效率加性DEA模型｝，其余的三个DEA模型为集合N2，采用算法2（交互式多DEA模型-Gini准则方法）计算。经过算法2前三个步骤的计算，得到集合N2中各DEA模型的权重Wl（如表2第二行所示）。在此基础上，绩效评价决策者利用专家打分法等方法，为N1中的超效率加性DEA模型赋予权重，假设为Up=0.15。再根据算法2的步骤5和步骤6，分别得出各模型的最终权重（如表2最后一行所示）和高校的绩效评价结果CE 2（如表1最后一列所示）。可以发现，该结果体现了绩效评价决策者的偏好。此外，对于各种DEA模型所得结果都为有效的高校来说，无论绩效评价主体人为设定的权重为何值，它们经过算法2的处理后，结果仍然是有效的，这个结果符合性质3。

表2 交互式多DEA模型-Gini准则方法的权重

4 结语

本文提出标准多DEA模型-Gini准则方法和交互式多DEA模型-Gini准则方法，它们科学地将各种DEA模型在绩效评价过程中产生的不同结果融合为一组客观的CE。由于高校运营绩效评价是DEA方法的一个重要的应用领域，而目前相关的研究仅仅只是从某一种角度出发给出高校的运营绩效评价。考虑到从多视角出发得出的高校运营绩效评价结果会更加全面客观，同时为了统一各种DEA模型的不同绩效评价结果，可将本文

提出的方法应用到这个研究领域。对2011年国内25个理工类大学绩效评价的实证分析结果证明了该方法是合理有效的。实际上，本文方法并不仅限于对多种DEA模型结果的融合，也可将其拓展到对多种其他方法得到的定量的绩效评价结果的融合上，且分析的对象也可以从高校的绩效评价排名拓展到其他应用的领域中。但如何对一些定性的绩效评价结果进行融合仍有待于进一步深入探讨。

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An Approach on the Performance Evaluation Problems Based on Multiple DEA Models and Gini Criterion——Evaluating the Performance of Universities in China

XUE Hui1，ZHENG Zhong-hua2，XIE Qi-wei3
（1.Tianjin University School of Continuing Education，Tianjin 300072，China；2.School of Education，Renmin University of China，Beijing 100872，China；3.Institute of Automation，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

To deal with the problem that multiple DEA models might generate different performance evaluation results，an approach based on the Gini criterion is proposed by fusing the results together scientifically.Firstly，the purity of information based on the Gini criterion is defined to measure the certainty of the results，and then the weights are given to each DEA model.A unique set of comprehensive efficiencies can be obtained by weighting the results of each DEA model and the corresponding model weight.Moreover，considering the preference and priori information of estimators，interactive multiple DEA models and Gini criterion approach are further proposed.Measuring the performance of higher education colleges is one of important applications in DEA，and previous researches study the problem just choose the evaluation DEA model from a single point of view.It would be more comprehensive and objective if multiple DEA models that are from multiple points of view are used.Consequently，applying the proposed method to evaluate the performance of 25 science and engineering universities in 2011，and the empirical results show that the approach is reasonable and effective，which has practical significance in the research of measuring the performance of higher education colleges.

performance evaluation；data envelopment analysis；Gini criterion；comprehensive efficiency

C934

：A

1003-207（2014）04-0098-07

2012-06-27；

2012-12-19

国家自然科学基金资助项目（70773052）

薛晖（1968—），男（汉族），河南孟州人，天津大学继续教育学院，助理研究员，研究方向：高等教育管理.