时序多属性决策的广义等级偏好优序法

张小芝，朱传喜，朱 丽

（南昌大学理学院管理科学与工程系，江西南昌330031）

按照“厚今薄古”的思想，我们要在事先给定的时间度的情况下，尽可能地寻找一组时间权重系数使其贴近度最大，即转化为如下的优化模型：

时序多属性决策的广义等级偏好优序法

张小芝，朱传喜，朱 丽

（南昌大学理学院管理科学与工程系，江西南昌330031）

实际中很多复杂的多属性决策问题往往需要考虑多个时间序列的决策信息，针对这类时序多属性决策问题，本文在优序法的基础上，定义了广义优序数的概念。同时提出基于理想时间权向量的方法来解决时序多属性决策中时间权重的确定问题，进而在此基础上提出时序多属性决策的广义等级偏好优序法。最后，利用文献中的数据，用本文的方法对某集团的四个铜矿企业的综合效益进行了评价，其结果表明了本文方法的可行性和有效性。本文为解决时序多属性决策问题提供了一种新的方法和思路。

时序多属性决策；广义等级偏好优序法；广义优序数；理想时间权重

1 引言

多属性决策是对可行性方案集综合考察方案的各属性，并对方案做出综合排序的一类问题，近年来成为决策分析研究的热点问题，其研究已渗透到经济、军事、管理等各领域。其研究方法主要表现为基于OWA决策算子的方法［1-4］、TOPSIS方法［5-6］、基于理想点的灰色关联度方法［7-8］、基于支持向量机的方法［9-10］，优序法［11-13］等等以及各种决策方法的综合应用［14］。

另一方面，传统的多属性决策问题往往只关注于单个时期的决策信息，并对其进行分析和评价。事实上，随着社会的进步和科技的发展，诸如对企业效益的综合评价、对高校教师的绩效考核等很多复杂的决策问题需要同时考虑过去和现在几个时期的决策信息，并用适当的决策方法对其进行排序和择优，使得到的评价结果更全面、更客观、更科学。这类决策问题称为时序多属性决策问题，它的基本特征是在决策空间和目标空间的基础上增加了时间空间，需要考虑时间对决策结果的影响，是具有时间、属性、方案的三维决策排序问题。时序多属性决策较传统的多属性决策显得更困难、更复杂，已成为现代决策领域中备受关注的课题之一［3-4，7-8，10，16-18］。

本文则在陈春芳等［13］的基础上，将优序法进一步拓展至方案间的优劣等级为分数的情形，提出广义优序数的新概念，并将其应用于时序多属性决策中，提炼出时序多属性决策的广义优序法。相对于整数型优劣等级情形［13］，本文的适用范围更广，排序结果更客观。同时，时间权重的选择是解决时序多属性决策问题的关键，本文提出了理想时间权向量的新概念，并在此基础上建立优化模型来确定时间权重，为时序多属性决策问题提供了一种新的思路和方法。最后，用本文所提出的方法对几个企业的效益进行综合评价，充分说明了本文方法的有效性和简洁性。

2 决策问题的数学描述及时间权重的确定

设A=｛A1，A2，…，As｝是多属性决策问题中由s个方案组成的方案集，G=｛g1，g2，…，gm｝是由m个属性组成的属性集。T=｛t1，t2，…，tp｝是对可行方案所考察的p个时间段。记S=｛1，2，…，s｝，M=｛1，2，…，m｝，P=｛1，2，…，p｝。gl（Ai）（tk）表示第k个时间段中第i个方案在第l个属性下的属性值，若完全无法得到信息，则记gl（Ai）（tk）=？，若只能获取对方案间优劣的序关系，则以偏序偏好结构［15］的形式给出，即gl（Ai）（tk）Rgl（Aj）（tk）；R∈｛≻，≺，≈，？｝，i，l∈S，k∈P。

在时序多属性决策问题中，时间权向量V=｛v1，v2，…，vp｝的确定是一个至关重要的环节［4，16-17］。郭亚军等［4］引入时间度的概念，以时间权向量的信息熵为优化目标来确定时间权向量，本文提出一种截然不同的方法—基于理想时间权向量的新方法。

定义1［1］记，则称λ为V=｛v1，v2，…，vp｝的时间度。

特别地，当V=｛0，0，…，1｝时λ=0，表明决策者只重视当前时刻的信息，此时记V+=｛0，0，…，1｝为正理想时间权向量；当V=｛1，0，…，0｝时λ=1，表明决策者只重视最陈旧的信息，此时记V-=｛1，0，…，0｝为负理想时间权向量。当V=时λ=0.5，表明决策者对所有时间段的信息同等重视。

记两个时间权向量V1=｛v1，v2，…，vp｝；V′=｛v′1，v′2，…，v′p｝之间的距离为：

则任一时间权向量V=｛v1，v2，…，vp｝与正、负理想时间权向量的距离分别为：

将时间权向量对理想时间权向量的贴近度表示为：

按照“厚今薄古”的思想，我们要在事先给定的时间度的情况下，尽可能地寻找一组时间权重系数使其贴近度最大，即转化为如下的优化模型：

求解此模型即可得到时序多属性决策问题的时

间权向量V1=｛v1，v2，…，vp｝。

3 广义等级偏好优序法

假设决策者根据需要将属性值划分为n个等级，在tk时间段属性gl下所划分等级的步长为：

我们按如下方式来比较在在tk时间段属属性gl下方案Ai优于方案Aj的等级数：

其中，G1，G2分别表示效益型属性和成本型属性，对于固定型、区间型等其它形式的属性，均可转化为效益型或成本型属性。因此不妨假设G=G1∪G2。若属性值不能用实数来表示，只能获取方案间的偏序偏好关系而无法比较优劣程度，不妨假定其优劣等级数为最大。

其中，当rijl（tk）＞0时理解为在tk时段属性gl下方案Ai优于方案Ajrijl（tk）个等级，记为Aj，当rijl（tk）＜0时理解为在tk时段属性gl下方案Ai劣于方案Aj|rijl（tk）|个等级，记为当rijl（tk）=0时称在属性gl下方案Ai与方案Aj同样好，记为Ai≈Aj。并且，这里无需对决策矩阵进行规范化处理。

令：

其中，i，j∈S，i≠j，l∈M，k∈P。规定i=j时aijl（tk）=0。则称aijl（tk）为在tk时间段属性l下方案Ai相对于方案Aj的广义优序数。

定义2 令aij（tk）=，则称aij（tk）为tk时间段方案Ai相对于方案Aj的广义优序数，Ki（tk）为方案Ai在tk时间段的广义优序数。

由（3）-（5）式可以看出，这里的广义等级数是分数情形，与整数型等级数［13］相比而言，广义优序数的计算结果实际上与最初设定的等级数n无关，这就有效地避免了因不同决策者制定不同的等级数而导致决策结果的非一致性，使得决策结果更具有客观性和科学性。

为了充分说明基于广义优序数的等级偏好优序法在理论上是可行的，下面对时序多属性决策问题在tk（k=1，2，…，p）时间段的情形予以证明。

证明 用反证法。设存在At∈X，使得g（At），且至少有一个l∈M，使得gl（At）

不妨设A中有a个元素，B中有b个元素，a≥1，b≥0，a+b=m。此时：。记：

所以：

对于任意的Aj，j∈S.｛e，t｝，记：

显然M=C∪D∪E∪F。记C，D，E，F中分别有元素c，d，e，f个，c≥0，d≥0，e≥0，f≥0，c+d+e +f=m。下面分四种情况来讨论：

（1）当l∈C时：

因此，我们得到：

l∈D1时，由假设知，从而，且故atjl（tk）≥0.5。于是有：

（3）当l∈E时，记：

显然有：

不妨设E1，E2，E3中分别有元素mE1，mE2，mE3个，mE1+mE2+mE3=e，则：

（4）当l∈F时：而aee（tk）=att（tk）=0，结合（6）～（10）式知：

即Kt（tk）＞Ke（tk），这与矛盾。因此，不存在At∈X，满足（Ae）（tk）且至少有一个l∈M，使得（Ae）（tk），r＞0，因而Ae为多属性决策问题在tk时间段的非劣解。

类似于陈春芳等［13］文中定理4的证明思路，易得

定理2 设Ae为对应于的解。Ae′为对应于的解.若 Ae′不是原问题的非劣解，则它必是（A）（tk）的非劣解。

由定理1和定理2可知，对X中的所有方案Ai可按广义优序数Ki由大到小进行排序，依次选出较优解的做法是可行的。当然，在实际的时序多属性决策问题中，我们还应当考虑各属性的权重w1，w2，…，wm及时间权重v1，v2，…，vp，利用加权广义优序数进行排序。下面给出具体的决策步骤：

步骤1 解（2）式中的优化模型得到时间权向量V=（v1，v2，…，vp）；

步骤2 根据已知信息和决策者的偏好选择划分各属性下属性值的等级数n；

步骤3 根据（4）式得到同一属性下各方案在各时间段tk两两相互比较所得等级数rijl（tk）；

步骤4 由（5）式计算各属性下各方案在各时间段tk两两相互比较所得广义优序数aijl（tk），进而得到各方案在各时间段tk的广义优序数Ki（tk）=，最后将各时间段的优序数进行加权得各方案总的广义优序数Ki=

步骤5 按Ki的值由大到小对所有方案进行排序，得到各方案间的优劣关系及优劣程度。

将各方案总的广义优序数作为评价值来进行优劣排序，其总的评价值可能为正、负或零。若评价值为正，则说明该方案的优势总体上强于劣势；若评价值为负，则说明该方案劣势总体上多于优势；若评价值为零，则说明该方案处于中立地位。相对于加权平均、TOPSIS等其他决策方法而言，本文方法不仅可以得出排序关系，而且能对每个方案在总体中的地位进行深入分析，为决策提供更多支持。因此，本文提出以广义优序数作为评价值是具有重要意义的。

4 应用案例

用王香柯等［10］的数据综合评价某集团四个铜矿企业的经济效益，以便全面掌握它们的实际运作情况，为今后有关决策提供支持.设A1，A2，A3，A4分别记四个铜矿企业，7个经济效益综合评价指标为P1：总资产贡献率，P2：资本保值增值率，P3：资产负债率；P4：流动资产周转率，P5：成本费用利润率，P6：全员劳动生产率，P7：产品销售率.根据国家统计局、国家计划委员会、国家经贸委公布的工业经济效益评价考核指标体系，各评价指标的权重向量为w=（0：2，0：1，0：1，0：2，0：15，0：1，0：15）。选取时间样本点分别记为T1，T2，T3，T4。各时间样本点下的决策矩阵分别为：

T1P1P2P3P4P5P6P 7 A1-3.01 92.59 65.10 1.42 -11.00 10119 99.64 A24.63 109.41 66.54 1.84 0.02 16252 103.80 A33.40 118.68 47.74 1.25 0.08 33921 96.67 A4-4.30 79.75 74.85 1.54 -14.27 10207 99.03 T2P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.39 82.72 73.58 1.12 -15.11 8790 99.03 A21.49 101.89 73.95 1.58 -3.68 14971 103.82 A32.18 99.18 48.90 1.11 -3.82 32308 91.01 A4-2.38 84.32 77.05 0.79 -14.47 11571 93.85 T3P1P2P3P4P5P6P 7 A1-10.63 40.83 88.89 0.82 -31.66 6361 100.77 A2-2.81 84.37 79.12 1.52 -21.08 12233 104.38 A3-5.14 83.23 62.59 1.10 -16.93 11234 99.5 A4-5.15 71.77 82.17 0.69 -22.6 8399 99.76 T4P1P2P3P4P5P6P 7 A1-5.75 56.82 94.25 1.19 -20.78 14272 101.93 A21.97 54.60 88.78 1.64 -27.85 11271 98.83 A3-1.19 183.6 50.62 0.97 -11.25 19186 100.5 A40.26 61.86 90.48 0.70 -19.34 4693 100.12

将各属性下的属性值划分为10个等级，将根据（3）-（5）式，计算每个时间段下各方案在不同属性下的广义优序数如下：

T1P1P2P3P4P5P6P 7 A1-1.1148 -0.7910 0.4440 -0.7488 0.1112 -2.0749 1.1539 A22.4108 0.8779 -0.6236 2.4468 0.1335 0.3515 2.4573 A31.1219 2.3196 2.4295 -2.2471 2.3155 2.7914 0 A4-2.4179 -2.4064 -2.2499 0.5491 -2.5601 -1.0681 0.5992 T2P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.3694 -2.3979 0.1459 0.4298 -0.1682 -2.1071 1.3546 A21.1952 2.4610 -0.8750 2.4171 0.1167 0.3227 2.4335 A32.5386 1.1546 2.7911 -0.5879 2.4210 2.6861 0 A4-1.3644 -1.2176 -2.0620 -2.2590 -2.3695 -0.9018 0.5623 T3P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.5401 -2.7500 -2.1873 -0.9235 -2.5022 -2.4596 1.1325 A22.1755 2.0912 0.4157 2.5339 0.7254 2.2888 2.7429 A30.6832 1.0436 2.5256 0.5961 2.2012 0.9672 0 A4-0.3186 -0.3848 -0.7540 -2.2065 -0.4243 -0.7965 0.5137 T4P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.5282 -0.9887 -2.0560 0.5852 -1.6362 0.7025 2.3560 A22.1909 -2.0188 0.1548 2.4342 -0.1898 -0.5988 0 A3-0.4709 2.9298 2.8091 -0.7593 2.3624 2.2899 1.2170 A40.8082 0.0777 -0.9078 -2.2601 -0.5364 -2.3936 0.6314

另外，根据经验分析及有关专家的意见，认为时间度取0.3比较合适，求解（2）中的优化模型，确定时间权向量为V=（0.2282，0.1077，0，0.6641）。

将各时间段的不同属性下的广义优序数进行加权综合，得到各方案的总优序数：

K1=-0.5085，K2=0.8956，K3=1.0789，K4=-0.8328.

于是四个铜矿企业的经济效益综合排序结果为：A3≻A2≻A1≻A4。此结果与王香柯等［10］，周晓山等［18］中的结果完全一致。本文所给出的方法为决策者提供了一种新的决策思路。

5 结语

本文基于序方法的思想，将等级偏好优序法进行改进与扩展，提出广义优序数的新概念，并将其应用于时序多属性决策模型中。同时，提出了时序多属性决策模型中理想时间权向量的新概念，并在此基础上建立优化模型来确定时间权重。最后提出时序多属性决策的广义等级偏好优序法。该方法的适用条件比较宽松，只需知道方案间的序关系即可，既可以为具体实数，也可以为优劣关系≻、≺或≈，用该方法就能够有效地比较出各方案间的优劣关系及优劣程度，且易于计算机操作。同时，本文提出的方法广泛适用于对各类企业的效益综合评价，对不同股票的投资分析，对医院治疗方案的选择，对高校教师的绩效考核等众多需要考虑多个决策时期的实际问题，为实际中各类经济与管理问题提供强有力的决策依据。

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Generalized Precedence Ordering Method with Ranking Preference for Time Series-based Multi-attribute Decision Making

ZHANG Xiao-zhi，ZHU Chuan-xi，ZHU Li
（Department of Management Science and Engineering，Shool of Science，Nanchang University，Nanchang 330031，China）

It is necessary to consider the decision information in more time series for many complex multiple attribute decision making problems in practice.According to this time series-based multi-attribute decision making problem，generalized precedence ordering number is defined on the basis of precedence ordering method.Meanwhile，a new method based on ideal time weight is given to determine the time weight in thetime series-based multi-attribute decision making.Then the generalized precedence ordering method with ranking preference of time series-based multi-attribute decision making is proposed.Finally，by using the data in the literature，an example is given to assess the comprehensive benefits of four copper company in one group，and the result shows the feasibility and effectiveness of the proposed method.This paper provides a new way to solve the time series-based multi-attribute decision making problem.

times eries-based multi-attribute decision making；generalized precedence ordering method with ranking preference；generalized precedence ordering number；ideal time weight

C934

：A

1003-207（2014）04-0105-07

2012-03-25；

2013-02-27

国家自然科学基金资助项目（11361042，11071108，71201050）；江西省自然科学基金（20132BAB201001，2010GZS0147，20114BAB201007）

张小芝（1981-），女（汉族），湖北潜江人，南昌大学理学院，讲师，博士，研究方向：决策分析与管理科学.