极角为参数的双曲线参数方程

张鹏宇

摘 要：圆锥曲线的参数方程是高中数学中的难点内容之一，只有真正理解了方程中的参数含义，才能有效掌握与灵活运用这一部分知识。双曲线作为一种重要的圆锥曲线，其参数方程必须得到重视与理解。教材中双曲线的参数方程以离心角作为参数，虽然参数方程形式简单，但是离心角作图复杂，不易直观理解。为了体现参数方程中参数的直观易懂性，选用极角作为参数构造了双曲线的另外一种参数方程。对照两种参数方程，对双曲线参数方程的理解与掌握十分有益。

关键词：双曲线 参数方程 离心角 极角

中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（c）-0235-02

在高中数学教材参数方程部分，双曲线的参数方程为：，，其中是离心角，。这里选用离心角为参数，优点是参数方程形式简单，选取自然，代入方程后恰为三角恒等式；缺点是离心角不太直观。能否选用比较直观的参数得到双曲线的参数方程呢？

回忆圆的参数方程：圆的参数方程为，，参数是圆上点与圆心连线绕圆心相对于轴的正方向的旋转角。结合教材中刚学过的极坐标知识，发现圆的参数方程中的参数恰为圆上点的极坐标中的极角。类似的，下面选取双曲线上点的极角作为参数，构造出了双曲线的另外一种参数方程。

1 平面极坐标系知识回顾

在平面上取一定点，称为极点，由出发的一条射线OX，称为极轴，极点与极轴便构成了极坐标系。

有了极坐标系后，平面上任一点的位置就可以用线段的长度以及从到OP的角度（规定角度取逆时针方向为正）来确定，有序数对就称为点的极坐标，记为，称为点的极径，称为点的极角。当限制，时，平面上除极点以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。

2 双曲线的新的参数方程

定理：在直角坐标系中，设是双曲线上一点。选原点为极点，轴为极轴建立极坐标系。设点的极坐标为。则以极角为参数时，双曲线的参数方程如下：

双曲线中左支曲线的参数方程为：

，

双曲线中右支曲线的参数方程为：

，

证明：（1）先讨论双曲线右支曲线的参数方程。

①时，如图1所示，过作轴垂线，垂足为，则在直角三角形中，，故，代入中并整理得，所以此时参数方程为，。

②时，如图2所示，过作轴垂线，垂足为，则在直角三角形中，，，即，故，代入中并整理得，所以此时参数方程为，。极角范围也可表示为，将（1）、（2）中结果合并，便得双曲线中右支曲线的参数方程为，。

（2）再讨论双曲线左支曲线的参数方程。

①时，如图3所示，过作轴垂线，垂足为，则在直角三角形中，，，即，故，代入中并整理得，所以此时参数方程为，。

②时，如图4所示，过作从轴垂线，垂足为，则在直角三角形中，，即，故，代入中并整理得，所以此时参数方程为，。将①、②中结果合并，便得双曲线中左支曲线的参数方程为，。

3 举例与比较

例：已知双曲线方程为： ，求证该双曲线上的所有点与两条渐近线的距离的积是一个定值。

证明：方法一：用教材中参数方程做。设为双曲线上任意一点，两条渐近线的方程为；，由点到直线的距离公式易得：M点到两条渐近线的距离为；。则：

=

==，为定值。

方法二：用本文给出的参数方程做。设为双曲线右支曲线上任意一点（在左支上时类似），两条渐近线的方程为；，由点到直线的距离公式易得：点到两条渐近线的距离为：

= =；

= =，则

= ==，为定值。

比较发现，本文给出的参数方程有两个缺点：一是需要分情况，参数方程不是一个解析式；二是解析式中含有分式。与教材中给出的参数方程比，形式更复杂，从而在做题时比较繁琐，因而选用教材中结果为好，这也体会到了教材中為什么给出以离心角为参数的参数方程，不给出用其他变量为参数的参数方程。当然，本文给出的参数方程能一眼看出参数的几何意义，理解起来更直观，对理解教材中曲线的参数方程部分的相关知识有帮助。

4 结语

通过选用极角作为参数给出了双曲线的一种参数方程。该方程的优点是参数简单直观，容易理解；缺点是参数方程不是一个解析式，形式较复杂。教材中给出的参数方程，优点是参数方程是一个解析式，形式简单；缺点是参数是离心角，作图复杂，不易直观理解。将这两种参数方程对比学习，对理解与掌握双曲线的参数方程部分的相关知识十分有益。

参考文献

[1] 中学数学教材实验研究组等.普通高中课程标准实验教科书——《数学》（选修4-4）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2] 梁峻峰.双曲线的一种参数方程[J].数学教学，1988 （4）：25-29.

[3] 吴秀娟.双曲线的参数方程[J].甘肃教育，2005（11）：53.endprint