2018高考全国卷立体几何题的思考

黄森宏

摘 要：空间向量作为一种有效的解题工具，更新了立体几何的知识体系和思维方式，突破了传统教学的难点，大大的降低了立体几何的难度。它把空间的几何结构有系统的代数化、数量化，从而使几何问题变得更为简捷，正因为空间向量是解决立体几何的有效工具，所以我们在教学中必须对向量的知识，立体几何的知识，以及向量与立体几何的紧密联系要有个清晰的认识，直线研究的是方向向量，平面研究的是法向量，更重要的是向量主要研究的是二种特殊情况，向量共线与向量垂直，所以在立体几何中，往往就是用共线与垂直去解决立体几何中的探究性问题！

关键词：立体几何;空间向量;共线与垂直;翻折

立体几何作为高考数学的必考题，年年考，立体几何无外乎考查立体几何中简单几何体组合体的概念、性质、图形特征，表面积体积等计算，培养空间想象能力;简单几何体的点线面的位置关系，比如平行垂直关系;立体几何中线线角，线面角，二面角的求解;立体几何中的距离问题往往跟几何体的体积联系在一起。

同时空间向量作为一种有效的解题工具，更新了立体几何的知识体系和思维方式，突破了传统教学的难点，大大的降低了立体几何的难度，并通过直观感知和操作确认的方式获取对立体几何图形和性质的认识，提高学生的学习兴趣。它把空间的几何结构有系统的代数化、数量化，从而使几何问题变得更为简捷，让学生站在一个新的高度看问题，阐述空间向量引入的意义和必要性。

正因为空间向量是解决立体几何的有效工具，所以我们在教学中必须对向量的知识，立体几何的知识，以及向量与立体几何的紧密联系要有个清晰的认识，我们要明确在高中阶段，向量主要研究的是向量的加减数乘与数乘运算，数量积运算，一般基底下的运算及正交基底下的坐标运算，以及向量的模与夹角，正因为可以解决模与夹角，所以能够与立体几何紧密的联系起来，同时直线研究的是方向向量，平面研究的是法向量，更重要的是向量主要研究的是二种特殊情况，向量共线与向量垂直，所以在立体几何中，往往就是用共线与垂直去解决立体几何中的探究性问题！

正因为如此，在平时的教学中，我提出如下：

1.熟悉空间几何体的基本特征，特别是几种特殊几何体，比如正方体，长方体，正三棱锥，球等等，三视图与直观图的切换，通过这些分析理解透点线面关系，提升空间想象能力

2.立体几何问题，首先要解决平面几何的问题，也就是平面几何是研究并解决立体几何的基础，把立体几何问题转化到平面几何中。

3.鞏固空间（平面）向量的基本知识，强化向量夹角与向量的模的概念，公式的理解与应用，特别是向量的共线与垂直，这些往往就是解决立体几何的关键！

4.立体几何的另一考查重点是几何中的翻折问题，翻折问题要紧扣图形中变与不变的量，熟练识图，分析出平面几何，立体几何，再运用相关知识去求解。

5.在立体几何中，一般第一问我主张用几何法证与求，在证明平行与垂直中，一定要掌握线，面的互相切换。第二问提倡用向量法求，可能对学生的解题会有较大帮助

6.正因为引入向量，所以建立空间直角坐标系，建系有个要求，必须要找到两两垂直，对于两两垂直有二个要求，一是条件明说的，直接建系就行，如果没有的，须通过证明两两垂直，

建系时最佳的结果是尽量多的点在坐标轴上，因为用空间向量去解决立体几何问题，把比较抽象的几何问题转化为代数问题，既然是计算问题，就须提高计算能力，其中建系的好不好，直接影响到计算难度与计算量，这考验学生的计算能力！

基于上面我的教学体会与理解，下面对2018年全国Ⅰ卷理科数学第18题立体几何进行剖析：

例：（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PE⊥BF.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

1.首先，这是一个立体几何的翻折问题，首先我们的明确哪些量是变的，哪些量是不变的，

比如∠DPF的大小，线段DP，PF的长度是不变的，即∠DCF=∠DPF=π/2，线段DP=DC，CF=PF。在翻折过程中变的是点P的位置

2.明确考查内容，这是面面垂直的证明，那么需要用到面面垂直的证明所需的定理公理，同时更要明确证明面面垂直有哪些途径，比如是否是直接有平面几何知识，还是能过线线垂直→线面垂直→面面垂直，此题恰好用的就是这个思路去证明的

【解析】（1）由已知可得，BF⊥PE，BF⊥EF，——线线垂直

所以BF⊥平面PEF.——线面垂直

又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.——面面垂直

3.历年高考题比较：对比十年全国卷的立体几何考题，2017考查的也是面面垂直，不过不是翻折问题，但也是线线垂直，线面垂直，面面垂直三者关系中的演化！在2016全国2卷出现了翻折问题，也是要抓住变与不变，线面关系去解决。从难度上来说，2018的考题是难度比较小的，比较适合大部份学生做的题

4.教学建议

紧扣空间向量的特点与研究的重点难点，结合立体几何的特征与特点，把向量与几何紧密的结合起来，挖掘问题的潜在关联，利用立体几何的定理公理定义，结合空间向量这个工具，更好地去解决立体几何中遇到的问题！让学生学会学数学，乐于学数学，在数学这个学科上，真正地爱上数学！

参考文献

[1]《2018全国卷1高考数学理科试题》