高中数学立体几何解题技巧总结

张国政

在新课标下，数学核心素养培养是我们高中生需要具备的一种基本素养，也是我们真正理解和认识数学知识，形成科学数学思维的重要保障。空间想象力与逻辑推理能力则是数学核心素养的重要构成因子，对于我们数学能力发展至关重要。考虑到立体几何知识学习以及相关问题求解，可以发展我们的空间想象力，提升我们的综合学习能力，所以我们必须要掌握解决立体几何问题的常用技巧。

1.分割法及其应用

分割法主要是先将立体几何体划分成若干个组成部分，之后基于整体和部分之间关系来求解有关数学问题。

例1：已知三棱锥P-ABC，PA=4，PB=PC=2，∠APC=∠APB=∠BPC=60°，试求三棱锥的体积？

解析：该道立体几何体主要是求解整体体积，需要借助三角锥体积求解公式V=1/3*底面积*H，所以许多学生在解决该题的时候，可能会先求出图1△ABC底面积，之后作出垂直于其表面的高PH，又或者采用直截面（面PAD），以其作为底面，BC为垂直于该面的高，那么同样可以借助三角锥体积求解公式来进行求解。上面这两种求解方式都需要求解出△PAD的面积，但是由于三边长度不规则，面积求解比较复杂，所以求解起来难度比较大。但是此时如果按照图2所示，将边PB和边PC分别延长到E点和F点，使PE=PF=4，那么可知此时三棱锥P-AEF为正三棱锥，此时非常容易证明边EF的中位线就是边BC。

由图2可知，BC/EF=1/2，那么可知S△PBC/S△PEF=1/4。

因为三棱锥A-PBC和三棱锥A-PEF二者等高，所以可知VA-PBC/VA-PEF=1/4。

又因VA-PBC=VA-ABC，所以可知VA-PBC=1/4VA-PEF，故VA-PBC=1/4VA-PEF=。

通过上述分割法的应用，可以将复杂的立体几何求解划分成若干个标准的、简单的几何体来进行分别求解，这样可以大大降低我们的解题难度，减少计算量，提高了我们的解题准确度和效率。

2.补形法及其应用

补

形法主要是将给定的已知几何体通过补充形成一个全新的几何体，之后在所形成的的新几何体中对图形数量关系以及性质等进行探讨的研究法。

例2：图3是一平面截取某圆柱体所得，截取后几何体最长和最短侧面母线分别为4和1，且已知该圆柱的底面半径长度为2，试求该几何体的体积？

解析：由于给定的几何体是不规则几何体，所以如果直接进行求解难度比较大，但是此时如果可以应用“补形法”这种割补法，将一个完全相同的几何体同已知几何体拼接起来，就可以构成图4所示一个标准的高5，底面圆直径为2的圆柱体，此时可得待求几何体体积为该圆柱体的1/2，即：。

3.辅助线构造法及其应用

辅助线构造法主要是通过合理地添加辅助线，将某些复杂立体几何图形变得更加条理，显示更加直观，是一种简化数学问题的有效方法，这种方法也是我们高中生必须要掌握的一种常规解题法。特别是在二面角相关立体几何问题求解的时候，为了简化问题，常常可以借助在图形中合理添加辅助线的方式来简化数学问题。

例：4：如图5，已知二面角，其中，且PA=PD，四边形ABCD为一个矩形，其中边AB和边PC的中点分别为M点和N点，試证明：MN为异面直线AB与PC二者的公垂线。

解析：该道数学问题是一道典型的二面角的数学问题，此时单纯依靠题目给定的条件是无法证明待证明结论的，这时候为了快速证明结论，就需要通过科学构造辅助线来证明结论。根据题目给定的条件可知：边AB和边PC的中点分别为M点和N点，此时为了证明问题的结论，可以采取“利用中点，连接中位线”的思路来进行证明。可以选择边PD的中点Q，之后连接QA和QN，此时QN就是△PDC的中位线，结合题干条件可知AM∥DC，之后结合题干信息就可以证明该题结论。

证明：在边PD上作一点，使DQ=PQ，将QA和QN连接起来。鉴于PD中点为Q，N为边PC的中点，所以可知QN为△PDC的中位线，即QN=1/2DC。

又因为ABCD为矩形，且M为边AB中点，

所以可知AM∥DC，且AM=DC，

所以QN∥AM，且AM=QN;

所以可知四边形AMNQ为平行四边形，即MN∥AQ;

又因为PA⊥α，所以AB⊥AD;

因为PA和PD同属于一个平面PAD，所以平面PAD和AB是相互垂直的，所以CD⊥平PAD。

根据线面垂直定理可知，AQ⊥PC，所以MN⊥PC，这样就可以确定MN为异面直线AB与PC二者的公垂线。

总之，分割法、补形法或辅助线构造法等是采取分割、补形或辅助线等构造方式对立体几何进行处理，之后基于所得新的立体，挖掘已知几何体和未知几何体二者内在联系性，从而达到简化立体几何问题的目的。在实际的立体几何问题求解中，我们需要结合实际的题干信息，灵活运用辅助线构造等解题技巧，确保不断提升我们的解题能力。