导数在高中数学解题中的有效应用

张思瑾

摘 要：导数是高中教材新设内容，它的加入为高中数学注入了新的活力。特别是其应用的广泛性，为解决各种高中数学问题提供了新方法和新思路，使其一跃成为高考试题命题热点。基于此，本文从函数解析式求解、函数最值求解、切线方程求解以及实际问题求解等方面入手，详细的论述了导数在高中数学解题中的有效应用。

关键词：导数;高中数学;函数解析式

前言：作为高中生，在学习数学过程中，经常遇到难以求解的题型。同时数学题型的复杂度也是求解过程中一大障碍，深入研究数学题型的解答方法和技巧，使我们当下首要任务。导数是我们对数学解题方法研究的重要工具，它能够使数学的各个章节紧密的联系在一起，为我们提供了有章可循和统一的方法，对我们学习数学有很大的帮助，在数学中的地位是其他工具无法撼动的。

1、在函数解析式求解中的应用

通常情况下，我们将函数关系用解析式表达出来，这样对函数性质的研究有很大的帮助。在日常学习过程中，函数解析式的求解比较繁琐，而导数的引入可以使其化繁为简，并使函数的基本性质更加直观的呈现在我们面前。例如：函数y=ax3+bx2+cx+d的图像和y轴相交，其交点为P，且在P点处，曲线的切线方程是12x-y-4=0，如果在x=2处函数极值为0，那么函数的表达式是什么。对于这类问题，如果利用常规方法计算，虽然可以算出，但是浪费时间的同时，还非常容易算错，利用导数求解则非常容易。由于函数曲线和y轴相交于P点，因此，可得P点坐标是（0，d）。同时已知y=12x-4，可以求出d=-4，切线的斜率k是12，所以，x=0时，导数为。而求解到的函数一阶导数为3ax2+2bx+c，与上述式子相结合，从而求出c=12。由已知条件在x=2处函数极值为0可以得到一个方程组：，由这个方程组可以得到a，b的值，其中a=2，而b=-9。因此，函数解析式的求解答案为y=2x3-9x2+12x-4。

2.在函数最值求解中的应用

在高中数学学习过程中，函数最值的求解是重难点内容，也是我国高考重点考察的内容。函数最值涉及到很多方面的函数知识，我们有时考虑的不够全面。而在解题过程中，应用导数可以使数学题目变得非常简单，并且步骤非常清晰，对我们有着非常大的帮助。一般情况下，函数最值点涉及到的知识主要包含函数在某个区间上的极值、函数在端点和极值点的函数值、函数在端点和极值点上的最大值和最小值等，导数的应用可以有效解决这些问题。例如：设函数f（x）=x3-3x，求其在区间[-3，]上的最小值和最大值。对于这类问题来说，首先要求出已知函数的一阶导数，一阶导数为，将其变换成为3（x-1）（x+1），当x属于[-3，-1]或者是属于[1，]时，导数大于零，所以函数在[1，]和[-3，-1]中为单调递增;当x属于（-1，1）时，导数小于零，因此函数（-1，1）中属于单调递减。同时x=-3时，函数值为-18;x=-1时，函数值为-2;x=1时，函数值为-2;x=时，函数值为，因此，函数最小值是-18，最大值是2。

3.在切线方程求解中的应用

求解切线方程过程中，导数的利用意义，主要是将二次曲线方程当做是y为x的函数，然后通过对复合函数进行求导的法则，可以以最快的速度将切线的斜率求解出来。以此类推可以推导出在抛物线、双曲线、椭圆等曲线的相关切线方程。在数学学习中，尤其是在抛物线、双曲线、椭圆的知识点学习中，涉及到的知识过于分散，基本上将所学知识全部覆盖，因此，在求解过程中，常规方法非常麻烦，而将导数应用其中，可以有效的解决这些问题。例如：已知有一双曲线，其方程表达式为2x2-y2=2。第一个问题：求双曲线中点A（2，1）的弦所对应的直线方程;第二个问题：过（1，1）点，能否作一条直线M，使M与双曲线能够相交于Q、P兩点，同时（1，1）是QP的中点，如果存在直线，那么求出相应的方程。针对这道数学题，如果利用导数可以很快将答案求解出来。对双曲线方程两边进行求导，得到=0。对于第一个问题来说，A为重点，其斜率k为，因此，可以求出其对应直线方程是y=2x-1。对于第二个问题来说，（1，1）点为中点，那么其斜率k为，方程式为y=2x-1，将其与双曲线联立，得到，其中△=-8，是小于零的，所以没有实根。可以判断M与双曲线之间并没有交点，不存在直线M。

4.在实际问题解答中的应用

在日常生活中，常常遇到效率最高、强度最大、用料最省以及利润最大等相关问题，而在高中数学学习过程中，也常常遇到解决实际生活问题。这些问题的解决可以帮助人们以最有效的方法节约各种成本。而利用导数对这些问题进行优化，可以使其思路更加清晰。例如：有两个工厂，甲厂是在河岸的A处，乙厂和甲厂都在河岸的一侧，且离河岸40km的B处，D（B与河岸的垂足）与A的距离为50km，厂家向建设一个供水站，水管费用分别是3a/km和5a/km，供水站建设在什么位置最省水管。这个问题首先要设角BCD为θ，那么BC长度为，而CD的长度为40。其次，设水管总费用为f（θ），则f（θ）=。求出f（θ）的导数，并令其等于0，得出，因此，可以确定在AD之间与甲厂相距20cm出建立供水站，水管费用最低。

结论：综上所述，导数在高中数学教学解题中的应用，可以帮助我们化繁为简，快速将数学题解答出来。经过上文分析可得，在数学学习过程中，利用导数求解函数解析式、函数最值、切线方程是最为方便的，同时还可以将其应用实际生活问题中，为我们节省了大量的解题时间。

参考文献

[1]程学祥.探究导数在高中数学解题中的应用[J].数学学习与研究，2018（15）：90.

[2]宋媛媛.刍议导数在高中数学解题中的应用[J].新课程导学，2018（20）：41.