例谈数学审题的“三要素”

◇ 闫 瑞

数学解题离不开审题，那么审题应该审什么?仁者见仁，智者见智．笔者认为审题主要有3个视角，即审条件、审结论、审方法，在此不妨称其为审题的三要素．本文以一道函数与导数综合问题的解答为例，从这三要素来谈谈审题．

例已知函数f(x)＝sinx＋alnx－1在点处的切线斜率为

(1)求a的值；

(2)求证:f(x)在(0，π)上存在唯一的极大值；

(3)直接写出函数f(x)在(0，2π)上的零点个数．

1 审条件

条件是题目所给的解题依据，是解题的入手点．题目所给的条件有的是直接的，有的是间接的，审清题目条件是解题的关键．

审本题中给出了曲线f(x)在点处的切线斜率，即点为切点，对于切点来说，其具有三重性质，即切点在曲线上、切点在切线上、在切点的导数值为切线的斜率．

解(1)求导得，解得a＝1．

此问考查了导数几何意义的应用，此类问题求解中要注意曲线在某点的切线与过某点切线的区别．

2 审结论

结论是题目所求的或所证的内容，审结论要明确:要想得到这一结论，需要满足什么样的条件，接下来再去验证这些条件是否满足．

审本题第(2)问是求证f(x)在(0，π)上存在唯一的极大值．极值点，即导函数的变号零点，若结论成立，需满足f′(x)在区间(0，π)内单调，且f′(0)·f′(π)＜0，其图象大致为图1或图2的情形．因此问题求证的过程，就是验证这些条件是否满足．

图1

图2

解(2)对函数f(x)＝sinx＋lnx－1求导得，易知当x∈(0，π)时，f″(x)＜0恒成立，所以f′(x)在区间(0，π)内单调递减．又所以在区间(0，π)存在x＝x0，使得f′(x0)＝0．所以f(x)在区间(0，x0)内单调递增，在区间(x0，π)内单调递减，所以x＝x0为f(x)在区间(0，π)内唯一的极大值点，f(x0)为唯一的极大值．

3 审方法

审方法是通过题目类型来确定简捷的求解方法，这就需要我们平时对题型进行归纳和总结．函数与导数的综合题，类型众多，但每种题型均有方法可循．

审本题第(3)问是判断函数的零点个数问题，常规方法往往需要借助函数零点存在定理，选择特殊点，并判断其函数值的正负．但此问要求直接写函数f(x)在(0，2π)上的零点个数，因此求解方法更加灵活，可将其转化为两个函数图象交点个数来处理．

解由f(x)＝sinx＋lnx－1＝0，可得sinx＝－lnx＋1，设函数g(x)＝sinx，h(x)＝－lnx＋1，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)，h(x)的图象．其图形可能为图3或图4中的某种，再通过选取特殊值进行验证即可．

图4

图3

由图易知在区间(0，π)内，函数g(x)，h(x)有1个交点．在区间(π，2π)内，两函数图象交点的个数可借助的大小关系来判断．因所以函数g(x)，h(x)的图象关系为图4所示情形，故两函数共有3个交点，函数f(x)有3个零点．