初中数学单元作业设计“三要素”

万浩一 吴立宝 孔颖

【摘 要】 “双减”政策背景下，为凸显作业育人功能，改善初中数学作业机械重复、应试目的较重、形式相对单一等现状，承接现有单元整体教学要求，综合数学学科作业设计要素，提出初中数学单元作业设计“三要素”：单元作业目标、单元作业结构和单元作业内容，建立初中数学单元作业设计体系.以“一次函数”为例解析与应用“三要素”，落实数学作业减负增效工作.

【关键词】 初中数学；一次函数；单元作业设计

“双减”政策出台后，为落实其中“全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担”的规定，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（简称《课标（2022年版）》）中提出“整体把握教学内容”“重视单元整体教学设计”等要求 [1] ，教师不仅要考虑教学与作业间的关系，还要注重数学知识主线与核心素养间的关联.因此，作业不应拘泥于课时作业的布置，当克服课时作业机械重复、应试目的较重、形式相对单一等问题，关注学生对知识点之间的应然关联与内在逻辑的把握，从单元视域设计作业.

1 单元作业设计的“三要素”

《课标（2022年版）》中多次强调注重教学内容的结构化，把握数学内容主线与相应核心素养间的关联，有助于学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题.随着单元教学内容主线的研究，与之匹配的单元教学设计、单元作业设计、单元教学评价相继出现.关注单元作业设计，从其外部看框架，王月芬提出它是教师以单元为基本单位，由学习目标导向，以重组、改编或自主开发等形式形成作业的过程 [2] ，且单元作业具有内容统整度、目标针对性以及形式多样化的基本属性.从其内部看价值，焦憬 [3] 提出单元作业内容应着眼于单元核心概念，注重连贯性，关注单元主线，避免基本概念重复出现，凸显其减轻学生作业负担特质.杨帆 [4] 认为单元作业是教材知识的延伸与拓展，对单元教学起辅助作用外，并强调单元作业应充分发挥育人功能特质.

聚焦初中数学作业设计两个基本点：挖掘作业本质，发挥作业诊断检测、巩固提升、评价反馈功能；渗透数学本质，体现数学观念、数学方法、数学思想.将单元作业设计外部框架、内部价值与数学作业设计基本点多方融合、重构呈现，以数学单元教学内容主线为单元作业设计整体引领，由单元教学目标为基础，拓展出具有针对性的单元作业目标，合理安排作业结构，关注作业的育人功能，设计展现学科融合的多样化数学作业形式、具有课时连贯性的模块化数学作业内容等，落地“双减”政策.

立足单元教学内容主线视角下提炼出初中数学单元作业设计三要素：单元作业目标、单元作业结构、单元作业内容.单元作业目标把握作业设计的针对性，与单元教学目标互相补充，为作业设计提供明确靶向；单元作业结构统筹作业难度与题型配比，力求作业形式多样化补充教学的同时控制作业完成时长，凸显作业育人特色；单元作业内容彰显数学作业本质，引导学生吸纳数学文化与提升核心素养.“三要素”共同构建数学单元作业设计体系（如图1），使流程完整统一.

2 “三要素”的內涵及把握

初中数学单元作业设计“三要素”间相互关联（如图2），共同构成作业设计体系.作业目标确定作业结构、引领作业内容，作业结构布局单元作业整体框架.单元作业目标下设知识目标、思想方法目标、素养目标、活动目标4个子维度，补充课堂教学内容，助力学生综合素质发展；单元作业结构下设题型选择、难易分布2个子维度，控制作业完成时长，提高作业与学情适配度；单元作业内容以点状形式满足作业目标、作业结构及其子维度需求，由固着明点、固着暗点2部分构成，恰用单元学习结构化与整体化特性凸显数学本质，感悟数学魅力.应用“三要素”协同完成单元作业设计，辅助教师站在单元全局角度精编作业.

2.1 作业目标：明确单元作业设计意图

单元作业目标是对单元作业设计意图的直接表达，使作业设计有据可依、有章可循.为确立具有指向性的单元作业目标，配合单元教学内容主线，单元作业目标下设知识目标、思想方法目标、素养目标、活动目标4个子维度，反映理想状态下学生完成作业后的预期效果.

其一，由单元知识主线规定知识目标，查明单元中数学知识模块化汇聚情况.在知识主线中推断单元作业设计对应四个学习领域某一或某几个模块后，知识目标应阐明位于该模块该单元作业主题下学生学习单元知识后应有的知识掌握程度、不同课时间数学知识关联程度.其二，由单元思想方法主线规定思想方法目标，明确作业的数学本质.整理单元思想方法主线中呈现的数学观念、数学思想、数学方法，在思想方法目标中阐明这些抽象与综合的数学能力中学生应知应会情况以及学生在掌握这些能力与知识的串联关系.其三，由单元素养主线规定素养目标，实现单元作业数学综合素质引领.依据《课标（2022年版）》对初中学段核心素养主要表现的划分，细化为抽象能力、运算能力、几何直观等 [1] ，在素养目标中厘清单元学习内容涉及的素养表现具体内涵.其四，由单元活动主线规定活动目标，重点补充单元教学目标，实现作业延伸与拓展课堂教学的功能.梳理活动主线后明确单元学科融合、数学文化、学生综合发展必备的表达与交流能力、动手操作能力等培养内容，在活动目标中阐明单元学习与其它学科的融合、与现实生活关联等目标.

初步建立清晰可视化的作业目标后，注意把握目标描述的相互关联与先后次序.例如，参照SOLO认知分类理论，根据学生学习的外在表现，窥探其思维进阶的动态性，以期通过作业的完成使学生思维水平由较低级的单点结构层次升至较高级的拓展抽象层次.

2.2 作业结构：构建单元作业框架

单元作业结构是合理控制作业难度与作业形式的指南，科学有序的作业结构将最大化凸显单元作业育人特色.关注作业教育职能，单元作业结构下设题型选择与难易分布两维度，通过丰富数学作业形式，控制作业完成时长，以提高作业与学情适配度.

题型选择子维度下单元作业设计不局限于书面作业形式，可根据单元作业目标下活动目标多样化选择作业类型，例如实践型、合作型、信息查找型等，题目范围不拘泥于数学知识考察，可增添跨学科题目、开放题目等，提高数学的应用意识.难易分布子维度落实作业减负增效的要求，单元作业整体难度不宜过高但也不能过于容易，教师须根据学生实际学情判定，鼓励分层、弹性和个性化作业.在题目分布方面，可参考SOLO认知分类法，将题目按思维层次由低到高分为5类.前结构层次题目答案与题目无关，不在本次作业设计中涉及，余下4类题目内涵如表1.按上述标准分类后，由学生解题所需思维层次水平由低到高排布题目顺序，整体呈现知识范围由小到大，知识应用由易到难的格局，助力学生完成作业的同时实现思维水平层次的突破.

另外，为更好落地“双减”政策，初中数学单元作业严格执行“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”要求，数学教师应积极与其他科目教师协商当天作业时长分配情况，力求作业形式多样化补充教学的同时控制作业完成时长，作业中不出现知识点重复的题目、机械运算类题目等，充分发挥单元作业优势.

2.3 作业内容：完成单元作业文本输出

单元作业内容是考察学生单元学习成果的载体，是单元作业设计的最终文本输出.作业内容中的具体题目按作業目标、作业结构对应的子维度需求可拆解为点状形式存在，为此将其命名为作业内容固着点，而固着范围包括单元作业中意图加固的学生原有数学知识或跨学科拓展知识以及想要激活的学生潜在数学思想、核心素养等，形成的题目既满足单元作业结构两个子维度要求，又满足单元作业目标4个子维度中某一或某几个指标.在中学数学教学内容主线分析中，定义单元教学以知识主线与活动主线为明线，思想方法主线与素养主线为暗线 [5] ，将其与单元作业目标结合后，作业内容包含固着明点、固着暗点两部分，全部固着点对应的全部题目构成单元作业内容.

固着明点与暗点在作业内容中稳定、清晰、可识别分布.针对数学单元作业内容，知识明线规定的知识目标中数学知识掌握程度、不同课时之间数学知识关联程度，活动明线规定的活动目标中单元学习与其它学科的融合、与现实生活的关联，综合发展必备的表达与交流能力、动手操作能力等均为完成作业硬实力，作为知识与知识的载体外显于作业内容中.因此来源于知识目标、活动目标的固着点识别为固着明点.单元思想方法暗线规定的思想方法目标则呈现出抽象与综合的数学能力、能力与知识间的串联关系，而单元素养暗线规定的素养目标呈现单元学习内容涉及的素养表现具体内涵，二者同向学生渗透知识本质，内隐于作业内容中.因此来源于思想方法目标、素养目标的固着点识别为固着暗点.

基于此把握单元作业内容固着点后，再编排单元作业内容.以锻炼学生思维为锚点，创设具有启发性的数学问题，学生通过同化和顺应产生高质量的正迁移.题目筛选要精准定位每道题目的考查范围与设计意图，参照作业目标保证单元核心知识全覆盖的同时也浓缩题目数量，落实作业减负增效职能.参照作业结构，题目排序遵循SOLO分类评价法，按照思维结构由简单到复杂的顺序排布，形成数学单元内容固着点围绕单元主题明暗交织，建立数学单元作业内容与单元教学内容主线有机融合格局.3 “三要素”的案例应用

一次函数作为学生函数学习的开端，引导学生的数学学习由常量向变量转变，是初中数学数与代数部分重点内容，对初学者来说会感到体系庞杂，概念较抽象.在应用初中数学单元作业设计三要素前，须厘清单元教学内容四条主线（如图3）.本文以人教版初中数学教科书第十九章“一次函数”为例，应用“三要素”设计初中数学单元作业.

3.1 规定一次函数单元作业目标

单元作业目标立意指向单元教学内容目标及其外延关联，八年级学生具备基本的抽象意识，初步形成模型思想但较为薄弱.结合SOLO认知分类理论，大部分学生做题时明白题意，能从学过的知识中寻找单个或少数知识点作为答题依据，但遇到知识点较多的综合题目时，不能将与问题相关的多个知识点建立联系，即知识点间并未形成网状结构，故学生此时思维认知层次处于较低级的单点结构或多点结构水平.

基于上述现状，考虑单元作业目标4个子维度构建过程.一次函数单元位于《课标（2022年版）》中数与代数、图形与几何领域，在接受函数概念、掌握一次函数性质时，学生的认知中需不断产生同化与顺应，为单元学习模块化的难点.知识目标协助作业目标中数学基础知识框架构建，巩固学生单点、多点结构层次认知.思想方法目标明确作业设计与锻炼思维进阶相关的关键元素，思想方法目标实现学生思维水平由单、多点结构层次向关联结构层次迈进.素养目标概括单元学习主题下涵盖的学科核心素养表现实现学生思维水平在关联结构层次加固甚至迈向抽象拓展层次.活动目标归纳数学单元作业育人逻辑本质，衍生综合类作业目标，于数学学科内部助力学生认知水平再次向抽象拓展层次进阶发展，数学学科外部培养学生成为全面发展的人（如表2）.

3.2 构建一次函数单元作业框架

一次函数单元教学内容与生活联系紧密，故不局限于常规书面作业形式，考虑作业结构子维度题型选择的多样性.根据单元作业活动目标安排实践操作类题目，学生在生活中寻找函数模型获得数学活动经验，还可选择跨学科题目、开放题目等.难易分布的子维度严格落实作业减负增效要求，作业题目总量控制在8道以内，难度视学情而定.详见3.3作业内容部分.

3.3 形成一次函数单元作业内容文本

首先，从一次函数单元知识、活动主线出发参照知识目标、活动目标确定固着明点，根据固着点初筛题目.其次，根据思想方法主线、素养主线参照思想方法目标、素养目标确定固着暗点，对初筛题目进行暗点查找，对题目进行删减或适当加工.最后，根据SOLO分类评价法按照思维水平由简单到复杂的层次类型，调整题目分布顺序，最终形成作业文本.作业内容固着点包含于整份作业内，明暗交织（如表3）.

以数解形技能、抽象能力、以形助数技能、几何直观、数形结合思想、模型观念、应用意识

根据以上固着点，进行题目初筛（题目1—3）：

题目1 下图（图4）各曲线中哪些表示y是x的函数.

题目2 函数y=－9x＋10的图象在第象限内，经过点（0，）与点（3，），y随x的增大而. 图5

题目3 如图5所示的容器，如果在它内部盛一定量的水，则水将从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，古人根据壶中水面的位置来计算时间，称为“漏壶”.现用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．在不考虑水量变化对压力影响的情况下，解答下列问题：

尝试用家里形状相似的废弃饮料瓶模拟出该容器，记录6组x与y的数值并绘制成表格.

判断x与y是否成一次函数关系，说明原因并画出适合表示x与y对应关系的大致图象.

题目1以理解函数概念、读函数图象为固着明点.题目2以掌握一次函数概念及性质为固着明点.题目3以函数应用、画函数图象、用函数图象为固着明点.

根据以上固着点，对初筛题目进行二次检查（题目4—7）：

题目4 己知小明家、图书馆、蔬菜店在同一直线上.下面的图象（图6）反映的过程是小明從家跑步去图书馆，在那里借阅了图书后又步行到蔬菜店帮妈妈买东西，然后步行回家.图中x表示时间，y表示小明离家的距离.

根据图象回答下列问题：

（1）图书馆离小明家多远？

（2）小明从家到图书馆用了多少时间？

（3）小明从蔬菜店回家的平均速度是多少？

题目5 一次军训长跑中，当小王跑了1600m时，小高跑了1450m.此后两人分别以am/s和bm/s匀速跑.又过100s时小高追上小王，200s时小高到达终点，300s时小王到达终点．请问这次长跑的全程为多少米？

题目6 增强口罩佩戴意识，做自身健康第一责任人！请同学们回到家后，统计出家中剩余可使用口罩的总数量，现假设家中每人每天都要带一个口罩外出一次，用过的口罩不再重复使用，在这些口罩没有使用完全前，家中不会再购入新口罩.思考并回答下列问题.

（1）我家现总共有个口罩，有口人，如果每人每天消耗1个口罩，那么一天将用去个口罩.

（2）你能否用本章的知识回答过多少天后家中剩余口罩数量不够下一天继续使用，必须立即购买口罩.

题目7 “数缺形时少直观，形少数时难入微”是我国大数学家华罗庚写的一首词中的两句，搜集资料找出这首词的出处及完整内容，并结合本章所学谈谈对这首词的理解，完成后与同学相互交流.

题目4以初步渗透以数解形方法、培养学生使用图象解决生活问题的数学方法为固着暗点.题目5以深刻体会与运用数形结合思想，加强对模型观念的培养为固着暗点.题目6为操作类半开放题目，以发展模型观念、数学应用意识为固着暗点.题目7为信息查找、听说读写综合类开放题目，以表达对数与形的认识为固着暗点.

固着明、暗点查找后，结合单元作业结构子维度难易分布进行题目排序.题目3，4，5可按以数解形、以形助数、数形结合思想更改题目顺序为4，3，5，为学生完成作业时思维水平由多点结构向关联结构迈进提供可行路径.

为助力全体学生思维发展，作业可采取分层方式布置，其中第5题综合性强，需要学生对本章全部知识有较深层次的理解与掌握，且涉及方程运用与物理学科相关知识，属于拔高题，设为选做题.剩余题目难度均不大，为确保作业最大程度达到甚至超越每位学生的最近发展区，设为必做题.图8 一次函数单元作业设计框架

纵观作业内容整体（如图8），紧扣一次函数单元教学内容主线，作业结构布局中，题目涵盖本章知识点，数量得到有效控制，分布由易到难，作业目标与作业内容协理单元内脉络，使学生思维水平得以在知识巩固后由低级多点结构层次向中、高级多点结构层次稳步迈进，拓展课本外素养，实现学生思维水平由多点结构层次向关联结构层次上升.作业运用较多生活情境类题目及学科交叉类题目，为学生提供自主探究机会，在知识广泛迁移中帮助学生思维水平最终向抽象拓展层次进阶，体现素质教育本质.固着点明暗交织，单元知识、活动、思想方法、素养四线并行，旨在帮助学生构建数学单元学习框架，实现初中数学单元作业价值，促进“双减”政策落地.

面对作业负担问题，教师须明确作业设计的关键不在题目的多与少或难度的深与浅，重在作业背后为学生成长带来的价值.故教师应关注学生对知识点之间的应然关联与内在逻辑的把握，从单元视域设计单元作业极具推行的必要性.初中数学单元作业设计“三要素”具有一定的普适性、可操作性，同时可结合学段及其他科目特点进行改进与完善，于日常教学中应用，以期达到最大化作业育人功能.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：16-17，85-86.

[2]王月芬.单元作业设计：价值、特征与基本要求[J].上海教育，2019（13）：33-35.

[3]焦憬.多类型·重反馈·成体系：学校作业设计的三个维度[J].中小学管理，2022（07）：47-49.

[4]杨帆.深度学习视域下的单元作业设计——以“明清中国版图的奠定与面临的挑战”为例[J].历史教学问题，2022（02）：166-169.

[5]刘琦琦，吴立宝，陈健.中学数学教学内容主线分析的要素与结构——以三角函数为例[J].中学数学研究，2022（02）：1-5.

作者简介 万浩一（1999—），女，天津人，硕士研究生;主要从事数学教育研究.

吴立宝（1977—），男，山东莒县人，教授，博士生导师;主要从事教师教育与数学教育研究.

孔颖（1999—），女，江苏宿迁人，硕士研究生;主要从事数学教育研究.

基金项目 2022年国家社会科学基金教育学一般课题“‘双减背景下义务教育阶段作业设计研究”（BHA220139）.