一类具对数源项四阶双曲方程解的存在性及爆破

初 颖,吴玉琪,高艳超

(长春理工大学 数学与统计学院,吉林 长春 130022)

0 引言

考虑了如下四阶双曲型方程:

(1)

其中:Ω⊂n(n≥1)是具光滑边界∂Ω的有界区域;

含有对数非线性项的双曲型方程在物理学的许多分支,如核物理学、光学和地球物理学中有很多应用[1-4].它也被应用于量子场论,这种非线性项自然出现在宇宙膨胀和超对称场论中.T.Cazenave和A.Haraux[5]研究了方程utt-Δu=uln|u|k在3中的柯西问题解的存在唯一性;W.Lian等[6]利用位势井结合对数型Sobolev不等式,推导出该方程在有限维情况下解的无限时间爆破;H.Di等[7]研究了具有非线性对数源项的半线性波动方程utt-Δu-Δut=ulog|u|,利用位势井理论和Galerkin方法讨论了整体弱解的存在唯一性,并且得到了弱解在有限时刻的爆破结果,给出了弱解爆破时间的上界、下界.受上述文献启发,本文讨论问题(1)弱解的局部存在性和解在无穷远处的爆破性.

1 预备知识

为了获得本文主要结果,首先引入一些记号、基本定义和重要引理.

(2)

(3)

通过直接计算易知

(4)

定义Nehari流形N={u∈V0|I(u)=0},其中V0={(u,ut)|u∈H{0},ut∈L2(Ω){0}}.

定义集合

W1={(u,ut)∈V0|E(t)

井深

(5)

本文考虑问题(1)的弱解,定义如下.

定义1令T>0,称u(x,t)是问题(1)在Ω×[0,T)上的弱解,如果

u∈C([0,T],H)∩C1([0,T],L2(Ω))∩C2([0,T],H-2),

且对任意φ∈H,有

引理1[8-9]假设Ω是n中的有界光滑区域,则对任意u∈H和任意a>0,有

其中λ1>0是-Δ在Ω上满足齐次Dirichlet边界条件的第一特征值.

引理2设u∈H0},有:

此引理的证明见文献[10].

引理3假设(u0,u1)∈W-,(u0,u1)>0,则对于∀t>0,有(u,ut)∈W-.

证明利用反证法证明对于∀t>0,有(u,ut)∈W-.假设在t=t0时,(u,ut)∉W-,那么有

E(u(t0))>d或I(u(t0))≥0.

由E(u,ut)=E(u0,u1)≤d,可知E(u(t0))>d不成立.另一方面,I(u(t0))>0不可能;如果I(u(t0))=0,由d的定义和式(4),可得

同时

J(u(t0))≥d,

引理4假设(u0,u1)∈W-,则I(u)<2[J(u)-d].

2 主要结果及证明

定理1(局部存在性) 假设u0∈H,u1∈L2(Ω),则存在常数T>0,使得问题(1)在Ω×[0,T]中存在一个局部弱解u,且满足u∈C([0,T],H)∩C1([0,T],L2(Ω))∩C2([0,T],H-2).

(6)

(7)

(8)

基于标准的常微分方程存在性理论[11],方程组(8)在[0,tm)上存在局部解um,其中0

由引理1有

(9)

不失一般性,取C2≥1得

其中C4是不依赖于m和t的常数.这表明

所以逼近解是一致有界的,与m和t无关.由上述不等式容易得到

由上式可知,存在函数um的收敛子序列{uμ}(仍记为{um}),使得

(10)

由式(10)和Aubin-Lions紧致性定理可知,um→u,在C([0,T];L2(Ω))中强收敛,则

umln|um|→uln|u|,a.e.in(0,T)×Ω,

(11)

通过直接计算和Sobolev嵌入定理有

(12)

(13)

对于问题(8)第一个等式两端在(0,t)上积分,对任意的w∈Vm有

(14)

由式(7),(10)和(13),在式(14)中令m→+∞有

(15)

这表明式(15)对于任意的w∈H也成立.式(15)两端关于t微分,对于几乎处处t∈(0,T),w∈H有

因此,u是问题(1)的弱解.

这表明[13]utt∈L2(0,T;H-2(Ω)),由ut∈L2(0,T;L2(Ω))可知ut∈C([0,T],H-2(Ω)),则umt(x,0)→ut(x,0)于H-2(Ω),同时,umt(x,0)=u1m→u1(x)于L2(Ω),因此ut(x,0)=u1(x).

M′(t)=2(u,ut),

(16)

借助于Cauchy-Schwarz不等式有

(17)

由式(4)、(16)和(17)推断出

由于(u0,u1)∈W-,即E(0)≤d,结合引理3有(u,ut)∈W-,E(t)≤d,那么,由引理4得

2E(t)-2J(u)+I(u)<2d-2J(u)+2(J(u)-d)=0.

因此M″(t)M(t)-[M′(t)]2>0.设y(t)=ln|M(t)|,则

(18)

因此y′(t)关于t是单调递增的.结合这个事实,式(18)在[0,t]上积分得

(19)

3 结论

本文主要研究了一类具有对数源项的四阶双曲方程的初边值问题.利用Galerkin逼近结合先验估计和修正的对数型Sobolev不等式得到了该问题弱解的局部存在性;利用位势井方法证明了一定条件下该问题弱解无穷远处的爆破性.