对一道“α旋转函数”试题的解析与思考

【摘 要】 对山东省2023年高三模拟考试中一道新定义——“α旋转函数”试题的分析、解答，比较两种解法的特点，揭示问题的内涵实质和解法背后蕴含的数学思想方法.通过对试题的迁移发散和与例题的比较，总结提炼解析此类问题的一般思路.

【关键词】 α旋转函数；坐标旋转变换；等价转化；比较；迁移

高考评价体系从核心功能、考查内容、考查要求三个方面回答了为什么考、考什么、怎么考，明确了“一核四层四翼”，强调了试题应具备基础性、综合性、应用性和创新性，以立德树人、服务选才、引导教学为目标，考查学生的必备知识、关键能力、学科素养和核心价值.山东省实验中学2024届高三一诊数学试卷第12题就是这样一道兼具综合性和创新性的具有较好选拔功能的题目.

1 试题呈现与解析

例1 （山东省实验中学2024届高三一诊数学第12题，多选题）在平面直角坐标系xOy中，将函数y=f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转α（0°<α≤90°）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f（x）为“α旋转函数”，则（）.

4 一点思考和建议

4.1 抽象问题具体化是试金石也是敲门砖

数学是一门高度抽象的学科，而新定义题中的新概念、新性质、新运算、新模型等对于学生而言就更加抽象、更加陌生了.如何将陌生的、未知的问题转化为熟悉的、已知的问题呢？抽象问题具体化是试金石也是敲门砖.如文章例1中对于A，B两个选项的解答，就是很好的抽象问题具体化的体现：“α旋转函数”对于学生而言非常抽象，但是对于选项A，很容易联想到斜率之积为-1的两条直线互相垂直，考虑特殊情况就是函数y=x与y=－x，再结合函数的定义，就能判断出A正确；同理选项B也是用特殊的、具体的函数y=（tan10°）x来处理.抽象问题具体化一下子就将陌生问题转化为了熟悉的问题.

4.2 等价转化等数学思想是关键也是核心

抽象问题具体化能解决问题的特殊情形，但是对于一般的情况则需要用到等价转化等数学思想方法，这是将陌生问题转化为熟悉问题进而解决问题的关键也是核心.如例1中C，D選项，在假设学生知道坐标旋转变换公式的前提下，还需要结合函数的定义将原问题等价转化为f（x）为“45°旋转函数”函数y=f（x）－x在定义域内是一一映射.进而转化为判断函数的单调性.在假设学生不知道坐标旋转变换公式的前提下，还可以用“相对”的思想，将原问题等价转化为斜率为1的直线与原函数图象的交点个数问题，最后也可以归结到判断函数y=f（x）－x在定义域内的单调性上来，两种思路和解法殊途同归.由此可见，要想将学生陌生的、未知的、储备知识之外的问题转化为熟悉的、已知的、能力范围内的问题，逆向思维、相对思想、数形结合、等价转化等数学思想必不可少，这其中又以等价转化思想最为关键.

4.3 比较联想、发散迁移是深入研究问题的必由之路

做一题会一题是必须的，但是做一题会一类题，做一题能对数学解题甚至对数学本身有更深层次的认识和理解才是解题教学的追求.“α旋转函数”问题，表面上就是两个问题：一个是旋转问题，一个是函数定义问题.通过解题，又能联想并提出许多新的、有价值的问题.例2的设置，就是对例1的发散迁移、深入研究，并且结合极坐标、三角、数列、函数等知识探究了问题的一般性结论.比较例1例2中四个选项、解法1和解法2、例1和例2，会对此类问题及其解法有更深的认识和理解.综合联想所学知识、思想方法，发散迁移，深入研究问题，理解问题的实质和解题的本质，能促进数学知识、思想方法形成体系，使各种解题方法融会贯通、织成网络，有利于引导学生更深入地认识和理解数学，培养和发展其数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.

参考文献

［1］ 李鸿昌. “斜椭圆”面积的八种求解方法［J］. 中学数学杂志， 2023（09）：43-46.

［2］ 徐泼. 一个旋转变换函数问题［J］. 数学教学，2019（08）：21-23.

作者简介 陈超（1989—），男，湖北应城人，中学一级教师；主要从事高中数学教学研究；发表论文多篇.