占空比传输机制下基于协同预测的时变不确定系统递推滤波

高宏宇 余林栋 胡银鸽 李悦 侯男

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202402012

基金项目：国家自然科学基金（批准号：62103096，62073070）资助的课题；黑龙江省自然科学基金（批准号：LH2021F006）资助的课题；海南省科技计划三亚崖州湾科技城联合基金（批准号：2021JJLH0025）资助的课题。

作者简介：高宏宇（1979-），副教授，从事复杂系统滤波、先进控制理论和智能控制的研究。

通讯作者：侯男（1990-），副教授，从事复杂网络状态估计、故障估计和鲁棒控制的研究，bayan2@163.com。

引用本文：高宏宇，余林栋，胡银鸽，等.占空比传输机制下基于协同预测的时变不确定系统递推滤波［J］.化工自动化及仪表，2024，51（2）：227-236.

摘 要 以工业互联网为背景，研究占空比传输机制下一类时变不確定系统的滤波问题，结合协同预测方法设计了新颖的递推滤波算法，解决了占空比传输机制下滤波性能降低的问题。首先给出描述占空比传输机制的数学模型，然后提出结合协同预测方法的递推滤波方案，设计基于占空比机制的递推滤波算法，推导了滤波误差协方差矩阵的一个上界，随后分析这个上界的有界性，实现了在稀疏数据情形下提高滤波性能的目的。仿真结果验证了所提算法的高效性和有效性。

关键词 递推滤波 传输机制 占空比 协同预测 时变不确定系统 稀疏数据 基于项目的算法

中图分类号 TP14   文献标志码 A   文章编号 1000-3932（2024）02-0227-10

数十年来，国内外众多学者致力于系统的滤波/状态估计研究，并取得了许多优秀的成果［1～4］。到目前为止，滤波作为状态估计的一种有效方法，已成功应用于石油、地质、电力、军事、航空航天等领域。在当前众多的滤波方法中（如H∞滤波方法、集员滤波方法等），递推滤波由于具有突出的实时计算能力，获得了大量学者的关注［5～8］。

随着网络化工业系统的快速发展，大量具有远传功能的无线传感器在实际工业中被广泛应用，这些传感器通过共享的无线网络按照特定的通信协议进行信息传输，其通信过程消耗了巨大能量，发挥重要作用的同时增加了维护难度与维护成本。当下，我国低碳建设正稳步推进，工业现场对传感器通信过程的节能要求大幅提高。在此背景下，基于占空比的传输机制由于其突出的节能特性在实际工程中备受青睐。但需要注意的是，该机制下，由于发送的数据量显著减少甚至较稀疏，使得生产现场数据监测不全面，加之外界其他客观因素（如未知干扰、通信网络不稳定等）的影响，可能加剧信息获取的不完整程度，影响生产状态信息的准确掌握，进而影响生产决策的及时制定。因此，占空比机制下系统的滤波问题亟待解决。近年来，通信协议下的系统滤波已成为国内外控制领域的研究热点之一［9～13］，文献［14］考虑轮询通信协议下一类随机时变系统的分布式递推滤波问题，设计了有效的滤波算法；文献［15］研究了随机接入协议下一类网络化线性时变系统的递推滤波问题。然而，占空比传输机制下系统的滤波研究目前仍未真正开始，相关的理论研究工作亟待展开。此外，系统的不确定现象通常需要在滤波器的设计过程中加以考虑。在实际应用中，许多因素都会引发系统产生不确定性，如建模误差、随机产生的信息、未知干扰等。不确定性几乎是不可避免的，且其无法用确定的量描述。如果在滤波器设计时未合理地考虑并处理这种不确定性，那么它将对系统造成很大的负面影响，甚至导致整个系统崩溃。目前，不确定系统的状态估计问题受到了许多关注［16～18］，文

献［19］研究了一类不确定遗传调节网络的状态估计算法，其中建模误差由具有凸多面体约束的参数不确定性描述；文献［20］在对一类随机不确定系统进行鲁棒滤波设计时，采用范数有界矩阵表征了其中的不确定性。

笔者研究占空比机制下系统的递推滤波问题，以一类时变不确定系统为对象，在测量数据稀疏情形下，提出一种新颖高效的递推滤波算法。

1 问题描述

1.1 系统模型

考虑如下一类时变不确定系统：

x=（A+ΔA）x+Bωy=Cx+v（1）

其中，x∈R与y∈R分别表示通信传输之前系统k时刻的状态及测量输出；A为系统矩阵；C为系统的测量矩阵；B为适维已知矩阵；ω∈R与v∈R分别为系统的过程噪声和测量噪声，ω与v为零均值高斯白噪声，协方差矩阵分别为Q及Q，并假设ω与v在任意k时刻互不相关。ΔA为具有如下形式的范数有界时变不确定性：

ΔA=UVW（2）

其中，U、W及V均具有适当维数，U和W为已知的时变矩阵；V为范数有界的未知时变矩阵，满足：

VV≤I，？坌k≥0（3）

其中，I为适维单位矩阵。

如果式（2）、（3）同时成立，则称参数不确定性ΔA为可容许的不确定性。

接下来，构造如下形式的滤波器：

=A=+K（-ΛC）（4）

其中，和分别为状态x在k时刻的估计及一步预测；K为k+1时刻待设计的滤波器增益；Λ为对角矩阵；C为k+1时刻的测量矩阵；

为k+1时刻滤波器端接收到的测量输出。

1.2 占空比传输机制

占空比传输机制（Duty Cycle Transmission Mechanism，DCTM）是休眠/激活无线传输机制的一种，其中，占空比d是指一个周期内激活时间与这个周期时间的比值。如图1所示，一个周期时间T包含了激活时间T与休眠时间T。

图1 激活时间、休眠时间与周期时间

由占空比的定义可知：

d（5）

在该机制下，无线传感器处于激活状态时发送数据，处于休眠状态时不发送数据。显然，为了降低无线传感器的能耗、延长设备的使用寿命，传感器应尽可能保持休眠，只在需要时才被激活。也正因如此，DCTM表现出了优越的节能特性。在该机制下，无线传感器节点的工作状态根据预设的占空比在激活和休眠之间变化。可见，占空比是这种传输节能技术的一个关键参数。

需要注意，由于DCTM的引入，在节能降耗的同时，测量数据的发送量明显减少，这将影响系统的滤波性能。因此，如何在显著节能的同时保证滤波器性能是笔者研究的主要动机，据笔者所知，到目前为止，受DCTM约束的滤波问题还没有引起学者们的关注。

为了顺利开展后续研究工作，现给出DCTM下的测量输出模型。考虑某实际工程中的无线通信网络，根据其中无线传感器的空间分布，假设这些传感器被分为M个节点，那么DCTM下的测量输出为：

？劬［y，y，…，y］

其中，为经过网络传输后的第i（i=1，2，…，M）个传感器节点在k时刻的测量输出。y？劬［y，

y，…，y］T为传输前的测量输出，其中y代表第i（i=1，2，…，M）个传感器节点在k时刻的测量输出。在DCTM下，当第i个传感器在k时刻处于休眠状态时，测量输出y将不会被传输。则的更新规则描述如下［21］：

=Λy（6）

Λ？劬diag{λ}，i=1，2，…，M

λ=1，≤d，？坌k≥00，？摇其他（7）

这里，λ表征了第i个传感器节点的休眠/激活状态，λ=1表明传感器节点i在k时刻处于激活状态，λ=0则表明传感器节点i在k时刻处于休眠状态。T与d分别为DCTM下第i个传感器节点的休眠/激活周期与占空比。

根据占空比的定义有：

d=（8）

其中，T为第i个传感器节点在一个周期T内的激活时间。

注1 传感器节点i是否处于激活或休眠状态，利用式（7）、（8）即可确定：如果mod（k，T）≤dT，

则表明第i个传感器节点在k（k≥0）时刻处于激活状态，传感器传输数据，有λ=1，此时=y；否则，节点i处于休眠状态，不传输数据，有λ=0，此时=0。

1.3 占空比机制下滤波方案设计

1.3.1 基于预测的滤波方案

对于测量信息不完整的问题，传统解决办法是在滤波或状态估计中采用零阶保持（Zero-Order Holder，ZOH）策略，但该方法对于本研究的情况不可行。主要原因是，DCTM下每个周期内的休眠时间都较长，如果使用ZOH方法处理未发送数据，则滤波器端接收到的数据将在相对较长时间内保持不变，显然这相当于人为主动向系统引入了一个较大的时间延迟，众所周知，大时滞将严重恶化系统的性能，甚至导致系统不稳定；另一方面，几乎所有的估计方法都主要依赖测量结果，如果测量数据不准确或不足甚至稀少，将会影响系统的整体性能。因此，要解决接收数据明显减少甚至稀疏时仍然保证滤波性能的问题，亟需寻找新的方案。

为应对上述挑战，笔者提出了一种基于预测的系统滤波方案，用相应的预测值代替未发送数据，以提高待处理数据的完整性和准确性。当传感器发送数据时，远程滤波器端应用测量输出数据进行滤波；当传感器不发送数据时，远程滤波器端利用预测数据进行滤波，具体方案如图2所示。

1.3.2 预测方法选择

1.3.1节中已经给出了基于预测的滤波方案设计思想。然而，必须要考虑到的是，预测方法的引入可能会增加方案的复杂度，不利于工程实施，也即并不是任何一种预测方法在DCTM下都是可行的，如滚动时域估计方法或模型预测方法，由于需要利用大量历史数据并进行大量计算，不仅能耗显著增大还会减慢在线计算速度，因此不适用于DCTM下的预测；又如人工神经网络、深度学习等机器学习算法，也不适用于解决上面的问题，主要原因是硬件配置需要满足较高的要求而且算法实现将造成巨大的计算负担。

上述问题的存在都可能导致节点能耗骤增，显然，这与节能设计意图相背，而且成本明显增加。

综合上述讨论，本研究的主要目的是设计一种实用并有效的滤波方案，能够在保持低能耗的同时尽量提高滤波性能。考虑到对稀疏数据处理能力及节能性的较高要求，本研究采用协同预测（Collaborative Prediction，CP）方法预测传感器未发送的数据。协同预测方法的主要优势在于，稀疏数据情况下具有良好的预测效果，对硬件设备性能要求不高、算法复杂度不高且能耗低。

1.4 协同预测算法

1.4.1 协同预测算法选择

目前，协同预测算法主要应用于推荐系统中，被认为是现有推荐预测方法中最成功的方法之一［22］。协同预测算法之所以获得成功应用，主要在于其在高度稀疏数据的预测中具有明显的优势［23］，并且算法简单、效率高。这激发了笔者考虑采用该方法解决DCTM下由于稀疏数据引起的滤波性能下降的问题。

在几种常用的协同预测算法中，目前最基本和普及的一種是基于邻域的协同预测方法，其核心思想是：以统计技术为基础，寻找具有相同或相似结果的目标用户［22～24］；然后，根据邻域用户的评分来预测目标用户的评分；最后，向目标用户推荐预测评分最高的前N项（其中，N为推荐数）［25］。一般而言，基于邻域的CP方法分为两类，即基于用户的算法（User-Based Algorithm，UBA）和基于项目的算法（Item-Based Algorithm，IBA），分别根据相似用户和相似项目的评分来预测目标用户的评分。在推荐系统中，所谓“项目”是指系统通过预测向用户推荐的具体内容条目。与UBA相比，IBA在实时性和处理稀疏数据方面具有明显的优势［26］，这促使笔者考虑将IBA应用于DCTM下系统的递推滤波问题研究中。

1.4.2 基于项目的协同预测算法

笔者采用基于项目的协同预测算法来预测DCTM机制下的未发送数据，设计输入为用户u对项目l和项目j的评分r和r，输出为目标用户u对项目l的预测评分，该方法具体预测过程［24］如下：

a. 根据r和r，通过式（9）计算项目l和j之间的相似度Sim；

b. 通过Top-N方法找到与第l个项目相似的最近邻；

c. 利用式（10），根据第l个项目的最近邻计算目标用户的预测评分。

IBA的主要思想是根据用户-项目评分寻找项目的最近邻，从而获得目标用户的推荐预测。而获取项目最近邻的常用方法是计算项目间的相似度。笔者采用皮尔逊系数计算相似度，其定义如下［24］：

Sim=（9）

其中，Sim表示项目l和项目j之间的相似度，从式（9）可知，Sim∈［-1，1］；U是项目l和j都具有评分的用户集合；和分别是U中的用户对项目l和项目j评分的平均值。

获得Sim后，采用Top-N方法寻找与第l个项目相似的邻域，即项目l的最近邻。最后，根据最近邻计算目标用户对第l个项目的预测，具体公式如下：

=+（10）

其中，为目标用户u对项目l的预测评分；r为目标用户u对项目j的评分；O表示项目j的最近邻集合。

以上即为数据稀疏情况下基于项目的协同预测算法过程，该方法计算简单易实现，已成功应用于包括亚马逊网络平台在内的诸多在线系统中。

受协同预测方法成功应用的启发，笔者考虑采用该方法来预测未发送的输出数据。下面就给出具体的基于协同预测的滤波器设计算法。

2 占空比机制下递推滤波算法设计

首先，给出将用到的3个引理。

引理1［27］ 对于任意两个向量a，b∈R，有下面的不等式成立：

ab+ba≤ρaa+ρbb（11）

其中，ρ为一个常数，ρ＞0。

引理2 对于任意一个矩阵L，若LL≤I，则有下面的不等式成立：

LML≤tr{M}I（12）

其中，M为已知适维方阵；tr{M}代表矩阵M的迹。

证明 已知下式成立：

LML≤tr{LML}I（13）

又知：

tr{LML}I=tr{MLL}I≤tr{M}I（14）

结合式（13）、（14），可推得：

LML≤tr{M}I

引理得证。

引理3［28］ 对于时刻0≤k≤n，假定矩阵X与矩阵函数A（X）、B（X）满足X=X＞0，A（X）=

A（X）∈R，B（X）=B（X）∈R。如果存在矩阵C=C＜X使得：

A（X）≥A（C）B（X）≥A（X）（15）

那么，下列差分方程的解R及S满足R≤S：

R=A（R）S=B（S）R=S＞0（16）

其中，R、S为差分方程解的初值。

2.1 构建递推滤波器

令表示对k时刻未发送输出数据的预测，即有：

y？劬［y，y，…，y］    （17）

其中，为k时刻第i（i=1，2，…，M）个传感器节点因休眠而未被发送的测量输出的预测值。

根据前述内容可知的计算式如下：

=Y+（18）

其中，Ω表示与k时刻测量输出相似的最近邻集合；y为z时刻第i个传感器节点的测量输出；与分别为k时刻与z时刻测量输出的平均值；Sim为k时刻与z时刻测量输出的相似度。

Sim的计算式如下：

Sim=（19）

这里，Ω为在z时刻和k时刻发送数据的传感器节点集合；y及y分别为第j个传感器节点在z时刻和k时刻发送的测量输出。

基于式（6）～（8）和（18），定义滤波器端接收到的测量输出为：

y=Λy+（I-Λ）（20）

则构造如下结构的滤波器：

=A=+K×（-ΛC）（21）

其中，和分别为状态x在k时刻的估计及一步预测。

2.2 基于协同预测的递推滤波算法

定理1 针对一类时变不确定系统（1），其一步预测误差协方差矩阵P与滤波误差协方差矩阵P分别为：

其中，E{}代表计算矩阵的期望。

证明 根据式（8）与式（4），有：

e=x-

=（A+UkVkWk）e+UkVkWk+Bω（24）

其中，e为k时刻状态的滤波误差；e为k时刻对k+1时刻状态的一步预测误差。

由式（24）易求得一步预测误差协方差矩阵

P（式（22））。

又根据式（1）、式（20）及式（4），可求得濾波误差e如下：

由此，可推得滤波误差协方差矩阵P（同式（23））。

定理得证。

注2 由于考虑了不确定性，从式（22）可以看到，一步预测误差协方差矩阵P包含有不确定项。这种情况下，若要求取滤波误差协方差矩阵P的精确值几乎是不可能的，而这恰恰将导致无法计算滤波器增益K。为了解决这个问题，采用求取P的一个上界，然后通过最小化这个上界的迹来计算K的办法。

以下定理2计算了滤波误差协方差矩阵P的一个上界，并最小化此上界的迹，从而计算滤波器增益K。

定理2 考虑式（22）、（23）给出的一步预测误差协方差矩阵P及滤波误差协方差矩阵

P。令ρ及ρ为正标量，初始条件满足P≤

Ψ的两个递推矩阵方程为：

有正定解Ψ及Ψ，那么Ψ是P的一个上界，Ψ是P的一个上界，即：

P≤ΨP≤Ψ （28）

进而，滤波器的增益矩阵为：

K=ΨCΛΘ（29）

Θ=ΛCΨCΛ+ΛQΛ+

（I-Λ）×（I-Λ）（30）

证明 本定理应用数学归纳法证明。考虑初始条件P≤Ψ，并假设P≤Ψ。接下来，证明k+1时刻成立。

首先，对于式（22）中右侧的项，利用引理1，有：

然后，根据式（31）重新整理式（22），可得：

P≤（1+ρ）×E{（A+UkVkWk）P（A+UkVkWk）}+

（1+ρ）E{UkVkWk（UkVkWk）}+BQB（32）

将引理1、2应用于式（32）中右侧第1个期望项，有：

E{（A+UkVkWk）P（A+UkVkWk）}≤（1+ρ）APA+（1+ρ）·

tr{WPW}UU（33）

应用引理2于式（32）中右侧第2个期望项，有：

E{UkVkWk（UkVkWk）}≤tr{WW}UU（34）

将式（33）、（34）代入式（32）中，可推得：

则根据引理3，式（26）成立。

对于滤波误差协方差矩阵（23），由不等式（35）及引理3，初始条件P≤Ψ及假设P≤Ψ，易推得式（27）成立。

接下来求取Ψ的迹相对于K的偏导数，并令其为0，则有：

=-2ΨCΛ+2KΛQΛ+

2KΛCΨCΛ+

2K（I-Λ）（I-Λ）=0（36）

基于Θ的可逆性，可求得如式（29）所示的滤波器增益K。

定理得证。

下面将分析讨论此上界Ψ的有界性。

3 有界性分析

假设1 存在正标量q、q、a、a、b、b、c、c、u、u、w及w，使得对于任意时刻k，有：

q≤‖Q‖≤q

a≤‖A‖≤a

b≤‖B‖≤b

c≤‖C‖≤c

u≤‖U‖≤u

w≤‖W‖≤w

定理1 考虑具有滤波器（4）的时变系统（1），滤波误差协方差矩阵的上界Ψ有界，其界如下：

Ψ≤？缀tr{Ψ}+？缀？缀I（37）

Ψ≤Ψ（38）

？缀=（1+ρ）（1+ρ）a+（1+ρ）（1+ρ）wu

？缀=（1+ρ）wud+bq

d？劬sup（tr{}），？坌k≥0

证明 根据式（26）及假设1有：

Ψ≤（1+ρ）（1+ρ）atr{Ψ}I+（1+ρ）（1+

ρ）wutr{Ψ}I+（1+ρ）wutr{}I+bqI（39）

对于式（39）中的项tr{}根据滤波器（4）的预测步骤及式（1）知，可实现状态的无偏估计，则tr{}项有界，考虑到的半正定性，设tr{}的上界为d（d≥0），即：

0≤tr{}≤d，？坌k≥0，d≥0（40）

整理式（39），得：

Ψ≤（？缀tr{Ψ}+？缀）I（41）

将式（29）代入式（27），有：

Ψ=Ψ-ΨCΛΘΛCΨ≤Ψ（42）

结合式（41）、（42），并考虑Ψ与Ψ的正定性，可推得：

Ψ≤（？缀tr{Ψ}+？缀）I≤？缀tr{Ψ}+？缀？缀I（43）

定理得证。

4 仿真验证

考虑不确定时变系统（1），其参数如下：

A=0.6sin（3k）？摇？摇 0.70.7cos（k）？摇？摇 -0.3

B=［0.1？摇 0.2］T

C=10？摇 ？摇95？摇？摇 11

测量噪声v与过程噪声ω为零均值白噪声，其协方差分别为Q=0.5I和Q=diag{0.8，0.6}，初始状态x=［0.05？摇？摇0.1］T。

考虑测量值通过基于占空比机制的无线网络进行传输的情况，观察不同情况下的滤波效果。

不失一般性，假设有两个传感器节点。首先，观察当V=0.2sin（5k），激活时间和周期时间分别为T=0.9 s、T=0.55 s和T=1 s、T=0.6 s，即占空比d=d=0.9时的滤波效果，如图3、4所示，可以看出，由于占空比传输机制的引入，常规基于ZOH方法的滤波性能严重下降，显然已不适用于本研究考虑的情况。为提高滤波性能，考虑采用设计的基于协同预测的递推滤波算法实现有效的状态估计，在上述参数下的滤波效果如图5、6所示。对比图3、4可以看出，笔者方法获得了更好的滤波效果。

图3 基于ZOH的实际状态x及其估计

（d=d=0.9）

图4 基于ZOH的实际状态x及其估计

（d=d=0.9）

图5 基于协同预测的实际状态x及其估计

（d=d=0.9）

图6 基于协同预测的实际状态x及其估计

（d=d=0.9）

接下来，为进一步展示笔者设计滤波方法的良好性能，考虑加大不确定性V的振幅与变化频率，并增大节能程度（即减小占空比），进行仿真验证。设V=0.9sin（100k），激活时间和周期时间分别为T=0.6 s、T=0.49 s和T=1 s、T=0.6 s。相应地，占空比分别为d=0.6和d=0.8，滤波效果如图7、8所示，可以看出，笔者提出的滤波方案在上述较大不确定性及较小占空比情况下依然获得了令人满意的滤波效果。

图7 基于协同预测的实际状态x及其估计

（d=0.6，d=0.8）

图8 基于协同预测的实际状态x及其估计

（d=0.6，d=0.8）

上述仿真結果表明，结合协同预测的递推滤波方案，实现了在测量数据稀少及系统存在不确定性情况下的状态估计，与常规ZOH方法相比，所提方法明显提高了占空比机制下系统的滤波性能。

5 結束语

本研究以时变不确定系统为对象，结合协同预测方法设计了新颖高效的递推滤波算法。通过最小化滤波误差协方差矩阵上界的迹计算出了滤波器的增益，讨论了滤波误差协方差矩阵上界的有界性，并通过仿真验证了所提滤波算法的有效性，以及测量数据稀少时能够较好地实现对系统状态的准确估计。

笔者设计的滤波方法可用于工程现场节能需求大、环境条件苛刻、传输不稳定，但对监测数据准确性要求较高的场合，算法能够在上述情况下实现系统状态的准确估计，并具有良好的滤波性能，研究成果在理论和工程方面都具有较强的应用价值。

参 考 文 献

［1］ CONG G，HAN F，LI J H，et al.Event-triggered distributed filtering for discrete-time systems with integral measurements，challenges and prospects［J］.Systems Science & Control Engineering，2021，9（1）：272-282.

［2］   WANG L C，LIU S，ZHANG Y H，et al.Non-fragile l2-l∞ state estimation for time-delayed artificial neural networks：An adaptive eventtriggered approach［J］.International Journal of Systems Science，2022，53（10）：2247-2259.

［3］   GAO H Y，DONG H L，WANG Z D，et al.An event-triggering approach to recursive filtering for complex networks with state saturations and random coupling strengths［J］.IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2020，31（10）：4279-4289.

［4］   WEN P，LI X，HOU N，et al.Distributed recursive fault estimation with binary encoding schemes over sensor networks［J］.Systems Science & Control Engineering，2022（10）：417-427.

［5］   左信，陈志鹏，岳元龙.基于改进双卡尔曼滤波法的储能电池SOH估计［J］.化工自动化及仪表，2022，49（5）：590-598.

［6］   JIANG B，GAO H Y，HAN F，et al.Recursive filtering for nonlinear systems subject to measurement outliers［J］.Science China Information Sciences，2021，64（7）：172206.

［7］   LI J H，LIU H J，HAN F.Sampled-data non-fragile state estimation for delayed genetic regulatory netwo-

rks under stochastically switching sampling periods［J］.Neurocomputing，2021，463：168-176.

［8］   YANG J J，MA L F，CHEN Y G，et al.l2-l∞ state estimation for continuous stochastic delayed neural networks via memory event-triggering strategy［J］.International Journal of Systems Science，2022，53（13）：272-282.

［9］   YAO F，DING Y L，HONG S G，et al.A survey on evolved LoRa-based communication technologies for emerging internet of things applications［J］.International Journal of Network Dynamics and Intelligence，2022，1（1）：4-19.

［10］   李艳辉，张国旭.双端事件触发机制下离散不确定Markov跳变系统动态输出反馈H∞控制［J］.化工自动化及仪表，2022，49（6）：686-692.

［11］   LIU Y R，WANG Z D，YUAN Y，et al.Event-triggered partial-nodes-based state estimation for delayed complex networks with bounded distributed delays［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2019，46（6）：1088-1098.

［12］   高宏宇，張曼容，姜博，等.基于动态事件触发的状态饱和复杂网络递推滤波［J］.控制与决策，2022，37（2）：401-408.

［13］   WANG X L， SUN Y， DING D R. Adaptive dynamic programming for networked control systems under communication constraints：A survey of trends and techniques［J］.International Journal of Network Dynamics and Intelligence，2022，1（1）：85-98.

［14］  SHEN B，WANG Z D，WANG D，et al.Distributed state-saturated recursive filtering over sensor networks under Round-Robin protocol［J］.IEEE Transactions on Cybernetics，2020，50（8）：3605-3615.

［15］   ZOU L，WANG Z D，HAN Q L，et al.Recursive filtering for time-varying systems with random access protocol［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2019，64（2）：720-727.

［16］   HU J，LI J X，KAO Y G，et al.Optimal distributed filtering for nonlinear saturated systems with random access protocol and missing measurements：The uncertain probabilities case［J］. Applied Mathematics and Computation，2022，418：126844.

［17］   LIU Y R，ARUMUGAM A，RATHINASAMY S，et al.Event-triggered non-fragile finite-time guaranteed co-

st control for uncertain switched nonlinear networked systems［J］.Nonlinear Analysis：Hybrid Systems，2020，

36：100884.

［18］   LIU Z T，LIN W Y，YU X H，et al.Approximation-free robust synchronization control for dual-linear-motors-driven systems with uncertainties and disturbances［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2022，69（10）：10500-10509.

［19］   ALSAADI F E，LIU Y R，ALHARBI N S.Design of robust H∞ state estimator for delayed polytopic unc-

ertain genetic regulatory networks：Dealing with finite-time boundedness［J］.Neurocomputing，2022，

49：170-181.

［20］   TAN H L，SHEN B，PENG K X，et al.Robust recursive filtering for uncertain stochastic systems with amplify-and-forward relays［J］.International Journal of Systems Science：The Theory and Practice of Mathematical Modelling，Simulation，Optimization and Control in Relation to Biological，Economic，Industrial and Transportation Systems，2020，51（5/8）：1188-1199.

［21］   GAO H Y，HAN F，JIANG B，et al.Recursive filtering for time-varying systems under duty cycle scheduling based on collaborative prediction［J］.Journal of the Franklin Institute，2020，357（17）：13189-13204.

［22］   HEMA P，PILLAI N S.Efficient mining and recommendation of sparse data through collaborative filtering technique in medical transcriptions［C］//International Conference on Information Communication and Embedded Systems.Chennai，Tamil Nadu，India：S A Engineering College，2014：27-28.

［23］   SU X Y，KHOSHGOFTAAR T M.A survey of collaborative filtering techniques［J］.Advances in Artificial Intelligence，2009：421425-1-421425-19.

［24］   XU J C，LIU A F，XIONG N X，et al.Integrated collaborative filtering recommendation in social cyber-physical systems［J］.International Journal of Distributed Sensor Networks，2017，13（12）：1-17.

［25］   HOU M W，WEI R，WANG T G，et al.Reliable medical recommendation based on privacy-preserving collaborative filtering［J］.Computers Materials & Continua，2018，56（1）：137-149.

［26］   孔維梁.协同过滤推荐系统关键问题研究［D］.武汉：华中师范大学，2013.

［27］   LI W L，SUN J，JIA Y M，et al.Variance-constrained state estimation for nonlinear complex networks with uncertain coupling strength［J］.Digital Signal Processing，2017，67：107-115.

［28］  WANG L C，WANG Z D，HUANG T W，et al.An event-triggered approach to state estimation for a class of complex networks with mixed time delays and nonlinearities［J］.IEEE Transactions on Cybernetics，2016，46（11）：2497-2508.

（收稿日期：2023-02-14，修回日期：2023-12-30）

Collaborative Prediction-based Recursive Filtering for Time-varying

Uncertain System under Duty Cycle Transmission Mechanism

GAO Hong-yua，b， YU Lin-donga，b， HU Yin-gea，b， LI Yuea，b， HOU Nanb

（a. School of Electrical and Information Engineering； b. Artificial Intelligence Energy Research Institute，

Northeast Petroleum University）

Abstract   In this paper， having the industrial Internet based to investigate the recursive filtering for time-varying uncertain systems under the duty cycle transmission mechanism was implemented， including designing a novel recursive filtering algorithm which combined with the collaborative prediction method so as to solve filtering performance degradation under the duty cycle mechanism. In addition， the model of the duty cycle transmission mechanism was presented and the recursive filtering scheme combined with the collaborative prediction method was proposed， including designing a recursive filtering algorithm based on the duty cycle mechanism， deducing an upper bound of the filtering error covariance matrix， analyzing the boundness of this upper bound and the purpose of improving the filtering performance in the sparse data case. Finally， a simulation example was provided to illustrate effectiveness of the proposed algorithm.

Key words   recursive filtering， transmission mechanism， duty ratio， collaborative prediction， time-varying uncertain system， sparse data， project-based algorithm