为思维而教

【摘 要】教育不仅是知识传授，更是能力培养和价值观塑造，其中，思维能力的培养，尤其是创新思维能力的培养是“重中之重”。数学概念课堂教学中，对概念的理解、教学问题的设计和启发引导，都应该指向学生创新思维能力的培养。师生在课堂上共同经历思维碰撞、追求数学之美的过程，进而实现学生思维能力和创新能力的提升。

【关键词】思维能力；数学思维；创新能力；课堂教学

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）11-0038-06

【作者简介】居艳，南京师范大学附属中学（南京，210003）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师。

数学作为自然科学的基础，对于推动人工智能、生物统计、量子计算等未来科学前沿领域的发展起着至关重要的作用。数学教育承担着开发学生智力、培养创新创造能力、提升核心素养，以应对未来不确定性挑战的重要任务。数学学科核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六个方面，是数学课程目标的集中体现，也是适应个人社会发展需要的、具有数学基本特征的思维品质和关键能力。数学核心素养是在数学知识学习和应用过程中逐步形成和发展起来的。

知识应当被看成思维的一种“载体”，教师只有用思维分析法进行具体知识的教学，才能将数学知识真正“教活”“教懂”“教深”。因此，教师应将“促进学生思维的发展”看作数学教育最为重要的一个目标，无论采取什么样的教学方法或模式，关注点都应放在教学是否促进了学生更为积极的思考，并能通过积极的思考让思维变得更清晰、更深刻、更具创造性。

一、教师的思维态度决定了学生的思维高度

数学教学不仅仅是知识的传授，更重要的在于对学生思维能力的培养，在诸多的思维能力中，创新思维能力的培养是“重中之重”。下面，笔者将从数学教师的教学视角出发，谈谈在课堂教学中教师如何通过恰当的教育行为与方法，提升学生的创新思维能力。

（一）简单问题深度思考

简单问题深度思考是一种高级的认知能力和思维水平，它能帮助我们更好地理解问题，探索解决方案，进而提升创造力和决策力。在数学课堂教学中，简单问题深度思考指的是教师以简单问题为切入点，逐步引导学生发掘问题背后的规律，探究问题解决的多种路径，迁移问题的解决方法并用于解决新的问题。

教师在讲解含参二次函数的值域问题时，可以从最简单的二次函数入手，通过变换二次项系数、添加一次项和常数项、让各项系数含参、变换定义域、让定义域含参等方式，逐步增加思考的深度。教师通过引导学生简单问题深度思考，进而让学生将这种思维方式迁移运用到复杂数学问题的解决过程中。简单问题深度思考给学生的思维过程搭建了一个“脚手架”，帮助学生克服数学学习的畏难情绪，让学生从纷繁复杂的表象背后发现问题的本质，充分调动学生的好奇心和想象力，促进其创新思维能力的提升。

（二）不让问题止于“智者”

美国数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”数学课堂教学中，教师通常会关注问题的呈现形式、前后问题间的逻辑关联、问题的解决方法等，这些可以归结为预设性问题，也是教师备课的重要组成部分。但是在实际教学过程中，最有价值的问题往往是问题背后的“问题”。

如对一个新的数学概念的学习，事先预习过的学生或者数学素养较高的学生可以很快发现教师预设的答案，并积极表达观点。但如果概念教学止于此，数学课堂就只是少数学生的舞台，虽然精彩，但只是个别人的精彩，此时教师可以通过问题打破这种预设的“精彩”。例如，“同学们还有不同的想法吗？”“如果按照这位同学的思维方法继续思考下去，我们能够得到什么新的结论呢？”这种不确定性带来的挑战往往更能激发学生的学习兴趣，提升学生的创新思维能力。

（三）做一个积极的“批判者”

教师要做一个积极的“批判者”，通过对学生思维过程的质疑，发现问题并引导学生积极改进。當然，教师也应允许和鼓励学生用同样挑剔的眼光审视自己的教学过程。如果一个教师能够承认和接受学生的批判，那么他的课堂一定是富有创造性的课堂，是能够激发学生创新思维的课堂。师生间的相互“批判”，体现了更深层次的包容与尊重、自由与自省，从而实现教学相长。

教师成为积极“批判者”的前提是做一个合格的“倾听者”。教师要为学生提供足够的思考时间和空间，在学生表达观点时，不急于指点或展示自己的见解，而是适当地进行复述和板书记录。通过语言和文字记录，把学生的思维过程全面展示出来，让学生的思维过程成为大家“批判”的有力依据。在“倾听—批判—倾听”的往复过程中，培养学生的创新思维能力。

二、从“函数单调性概念”教学实录谈数学思维教学

在数学课堂上，思维能力的发展应渗透在数学概念学习的每一个环节和对每一个数学知识的理解运用中。

（一）教学背景分析

1.教学内容

函数的单调性是函数最基本也是最重要的性质之一，单调性概念的教学不仅要关注图形语言、自然语言和数学符号语言之间的相互转化，还要让学生理解为什么要相互转化，即相互转化背后的数学逻辑是什么，理解从定性研究函数性质转化为定量研究函数性质的必要性，探索研究函数性质的一般方法。

2.学生基础

学生已经学习了集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数、函数的概念等基础知识，能够理解图象是函数的重要表示方法，是数形结合的重要载体，并能熟练地绘制一次函数、二次函数、反比例函数等基本初等函数的图象。同时，学生已初步掌握了抽象、类比、逻辑推理、数形结合等常规数学思维方法。

（二）教学片段实录

1.激发思维冲突，生成研究对象

问题1：请同学们画出下列函数的图象，并观察函数图象，你发现它们具有什么特性？（PPT显示图1和图2）

（1）y=-x2+2；（2）y=[1x]（x≠0）。

（图1）

（图2）

生1：观察图1，可以得到（1）当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；（2）函数图象为曲线；（3）函数有最大值2；（4）函数图象关于y轴对称。

生2：第一个函数图象与x轴的交点坐标是（±[2]，0）。

生3：观察图2，类比第一位同学的发现，我得到（1）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y还是随x的增大而减小；（2）函数图象为双曲线；（3）函数没有最值；（4）函数图象关于原点对称，也关于y=±x对称。

生4：第二个函数图象无论是往左延伸，还是往右延伸，函数图象都越来越接近于x轴。

（学生发现了反比例函数的渐近线。）

生5：第二个函数图象中，点的横坐标和纵坐标同号。

生6：在第二个函数图象上任取一点，过该点作x轴和y轴的垂线，形成的矩形面积为定值。

师：大家通过观察函数图象发现它们具有很多特性。函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，运动变化中的规律性或不变性通常反映为函数的性质。因此，刚刚你们发现的特性都可以称为函数的性质。

【设计意图】问题1是苏教版普通高中数学教科书必修一第5章第3节例1的改编，是一道培养学生发散性思维的问题，没有标准答案。教师指导学生通过绘制熟悉的函数图象归纳总结出函数的特性，不仅符合学生的认知规律，还有利于发展和提升学生的直观想象、分析类比、数形结合等数学思维能力。

问题2：下面，我用几何画板画了一幅函数图象，你能通过观察图象，发现该函数具有哪些性质吗？（PPT显示下页图3）

生众：“这是常数函数。”

“随着x的增大或减小，y的值都不变。”

“图象关于y轴对称。”

“图象关于函数上任意一点对称”

…………

教师在PPT上显示函数的表达式：y=0.0001x+1，学生对照后发现自己刚刚根据图象观察得到的结论存在错误。

师：所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃。也就是说我们眼见的不一定为实。图象虽然可以帮助我们直观感知函数的某些性质，但是只通过图象直观感知得到的函数性质，可能不一定正确。因此，我们需要寻找科学严密的数学符号语言定量地刻画我们感知到的函数性质。

【设计意图】问题2表面看似简单，实则是一个激发思维冲突的问题。激发思维冲突的方法一般有实践与理论冲突、建立对比冲突、引发疑问冲突、矛盾情节冲突、观点碰撞冲突等。问题2体现的是实践与理论的冲突，学生在实际情境中感知到他们的发现与已有的理论知识形成认知冲突，从而不满足于通过直观感知发现新知的思维方式，寻找更为科学准确的数学逻辑语言表达方式，逐渐形成更为准确的认知。同时，问题2将问题1中学生发散性思维的成果汇聚到“寻找科学严密的数学符号语言定量刻画”这一研究方向上，体现了数学学习中的聚合性思维。

2.向美而生，不让问题止于“智者”

师：在刚刚同学们通过观察函数图象发现的众多性质中，有很多是我们今后需要具体研究的性质，今天我们选取函数的增减性，以“y值随x增大而增大”为代表，看看如何用数学语言进行刻画？

问题3：怎样用数学的语言刻画“y值随x增大而增大”？

（问题出现后，给学生约3分钟的思考时间。）

生7：在函数的某个区间上取两个值x1和x2，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）。

生8：在函数的某个区间上，若△x为正，则△y也为正。

师：生8，你和前一位同学的回答有什么不同？

（学生思考片刻后表示，他和前一个同学是一个意思。）

师：那其他同学认同“在函数的某个区间上取两个值x1，x2，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）”這种说法吗？

生9：我有不同的想法，我认为应该加了两个字“任取”，即“在函数的某个区间上任取两个值x1和x2，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）”。

（这个回答和书本的定义基本吻合，这有可能是学生经过独立思考得出的函数单调性定义，也有可能是因为学生提前预习过书本知识。如果此问题止于“智者”，那将错过下面的“创新发现之美”。教师在课堂中不仅要“释疑、解惑”，而且要“启思、置疑”。）

师：生9，你是如何想到的？

生9：如果是取两个值x1和x2，以图1的二次函数为例，x1=-2，x2=1，虽然f（x1）＜f（x2），但函数在区间［-2，1］上的图象并不符合“y值随x增大而增大”，因此我觉得应该添加条件“任取”。

师：你运用了我们之前学习的常用逻辑用语的知识，否定一个结论比较简单的方法就是寻找反例。你的回答听起来很有道理，但是从取两个到任意两个，跨度有点大，我们能否走得慢一点，如一个点固定或一个点任意呢？

生10：不可以，还是以图1的二次函数为例，如果x1=-2固定，x2取（-2，1］上的任意一点，虽然满足f（x1）＜f（x2），但函数在区间［-2，1］上的图象不符合“y值随x增大而增大”。

师：大家觉得有道理吗？

（学生纷纷点头表示有道理。）

师：那到底是取多少个呢？

生11：无数个，不，是取无数对。

师：那是否可以这样说，在函数的某区间上取无数对x1和x2？

生12：不行，还是以图1的二次函数为例，x1=-2固定，x2取（-2，1］上的任意一个，也是无数对，显然不符合原来的意思。

师：从多个角度我们发现“任取两个值”这五个字中，“任取”是不能改变的。那我们换个角度思考，不改变“任取”，改变“两个”可以吗？

生13：改成3个，4个……n个，最后还是化归为两两比较，还没有“两个”来得简单。

师：简洁美是数学美的一种重要的表现形式，大家同意他的看法吗？

（大部分学生表示同意，但有一位学生举起了手。）

生14：我从简洁美想到了可以任取一个点。经过函数定义域内某区间上任意一点作函数的切线，切线可以用初中学过的一次函数y=kx+b表示，若一次函数中的k大于零，则在此区间上函数满足“y值随x增大而增大”。

（教师根据学生的叙述，在图1的区间［-2，0］上分别取三个点作函数的切线加以验证。）

师：同学们再动脑筋想一想，他的说法有道理吗？

（学生思考片刻后纷纷点头。）

师：我们在初中时就知道，当一次函数y=kx+b的一次项系数（高中我们称之为直线的斜率）大于零，则该直线呈现从左到右上升的趋势，如果该直线为曲线的切线，反映到该曲线上，曲线在该点处的变化趋势是不是从左到右上升呢？

（学生思考片刻后均觉得很有道理。）

师：这位同学提出用“函数某一区间上任意一点的切线的斜率为正”来刻画“y值随x增大而增大”，这其实是我们高二将要学习的导数的几何意义。他从数学的简洁美出发，发现了一个新的刻画函数增减性的视角，体现了我们数学学习中的创新思维。

【设计意图】让学生经历从具体图形语言到自然语言，再运用数学逻辑抽象成数学符号语言的表达过程，教师通过指导学生不断完善，最终获得函数单调性的定义。学生感知数学抽象、逻辑推理、数学建模等重要的数学思维方法，为后续研究函数的奇偶性、周期性等函数性质，提供了研究流程和方法。

三、教学反思

（一）“大单元教学设计”引领教学

函数的单调性作为研究函数性质的第一个代表，其研究思路和研究方法对于函数其他性质的研究具有参考借鉴价值。因此，本节课采用了大单元教学设计法，以图象观察的方式引导学生了解高中阶段函数的大部分性质，给学生以直观感性的认识，让学生对将要学习的知识形成整体性、结构化的认知，这种教学方式通常可用于一类知识的起始课。

因为教师在问题1的设计中充分考虑了学生的知识水平和数学素养，所以学生在解决问题的过程中自然清晰地运用了直观感知、数形结合、分析类比、抽象概括等数学思维方法，这为他们深入研究函数的性质搭建了思维“脚手架”。

（二）数学概念教学中“慢”的价值

虽然这节课讲到问题3时，函数单调性概念的数学模型才初步建立，而且整节课已经用时25分钟，但师生在探索的过程中却经历了思维的冲突、对数学美的追求和创新思维的生成等过程，这种“慢”在新知探索的道路上往往更具价值。

因此，数学课堂教学节奏宜适当放“慢”，师生在慢中求真、在慢中求实、在慢中求优。“慢”的是时间，“快”的是思维，只有给予学生足够的思考时间，他们才能在深度学习的过程中发现“真问题”，探索“实路径”，寻找“最优解”，从而形成良好的思维品质，让深度学习成为数学学习的常态。

（三）让创新思维在“自然”中生发

问题3中，教师通过“启思、置疑”，引导学生发现了导数几何意义的雏形，虽然没有完整的学术定义和学术表达，但学生乐于思考、勇于探究、创新创造的精神在这里“自然”发生。

高中生的创新思维更多发生在对未知知识的思考、怀疑、试错与争辩的过程中，教师可通过创设问题情境、预设思维碰撞等方式，营造数学课堂的“创新场域”，从而激发学生的潜能。

数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础，它延伸和放大了人类观察问题和解决问题的能力，推动了人类社会的进步，是最重要的生产力。中国科学技术发展的核心竞争力一定是，也只能是人才。高中教育作为基础教育与高等教育的衔接阶段，担负着拔尖创新后备人才早期培养的重任。作为一名高中数学教师，在教育教学中要积极思考：如何将国家人才培养目标与数学教学目标深度融合？如何通过科学的教学方法激发学生的好奇心和求知欲？如何进行持续而有效的教学反思，让“为思维而教”成为教育的一个重要的、普遍的目标？在思考和实践的基础上，为国家拔尖创新后备人才的早期培养担负起应有的责任与使命。

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