具有阶段结构和捕食者扩散的捕食系统研究

马小箭

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

文献[1]研究了两种群均具有阶段结构的非自治捕食系统,其中食饵可在两缀块迁移，但是考虑捕食者可在两缀块迁移的自治系统还不多，在文中,我们将讨论下面的捕食模型:

其中x1(t),x2(t)分别表示时刻食饵群幼年和成年的密度．y1(t),y2(t)分别表示t时刻两捕食种群在缀块1和缀块 2的密度．α1,α2,α3,β1,β2,β3,r1,a1,a2,D1,D2,均是正常数．

我们对模型做如下假设:

(H1)食饵种群:r1是内禀增长率,β1是logistic增长系数．a1是捕食率,α1е-r1τx2(t－ τ )代表在 t－ τ时刻出生的幼年食饵种群并且转化成成年种群的数量．(H2)捕食种群:a1,a2分别是捕食者在两缀块上的内禀增长率．β2,β3是logistic增长系数．a2是捕食者的转化率,D1,D2,是扩散系数．

系统(1)的初始条件是:

为了便于研究,我们定义:

根据初始条件的连续性要求:

引理1系统(1)具有初始条件(2),(3)的解都是正的．

证明 我们先来证明，当 t＞0时,都有 x2（t）＞0．若不成立,则存在一个t0＞0使得x2（t0）=0．因为x2（t）＞0,t∈［－τ，0］，所以 t0＞0．定义 t*=inf{t＞0 ∶x2（t）=0}．因此由系统(1)可以得到:

但由t*的定义,可以得到这与上式矛盾,因此t＞0时,x2（t）＞0．当t∈［0，τ］时,由系统(1)的第一个方程,得

我们构造一辅助方程

初始条件为:u（0）=x1（0）,所以有

综合(3)得

因为 u（t）是严格递减的,所以在 t∈［0，τ］时,有 u（t）＞u（τ）=0．由比较定理知,当t∈［0，τ］时,有x1（t）＞u（τ）＞0．类似文献[3]的方法,可以证明,当 nτ≤t≤（n+1）τ，n=0，1，2，…,x1（t）＞0.

由系统(1)的第三,四个方程得:

因此我们得到了对所有t＞0时都有xi（t）＞0，yi（t）＞0（i=1，2）．

引理2考虑方程

其中 a,b,c是正常数 x（t）＞0,t∈［－τ，0］.我们有

则系统(1)是一致持久性的.

证明假设（x1（t），x2（t），y1（t），y2（t）），是系统(1)具有初始条件的任意正解.

定义V（t）=max{y1（t），y2（t）},使用类似于文[2]引理3.2的证明,我们得到

所以对任意的 ε＞0,存在 T1＞0,使得当 t＞T1时,

又由系统(1)的第三,四个方程得

根据比较定理得

因此,对任意的 ε＞0,存在 T2＞T1,使得当 t＞T2时

类似的

因此,对任意的 ε＞0,存在 T3＞T2,使得当 t＞T3时

由系统(1)的第二个方程得

我们构造一辅助方程

由引理(2)及比较定理得

因此对充分小的ε＞0,存在T4＞T3,使得当t＞T4时，

类似的,由

得

因此对充分小的 ε＞0,存在 T5＞T4,使得当 t＞T5时，

由系统(1)的第一个方程得

即

又因为

我们令

那么D就是在R4＋上的一个有界紧区域,系统 (1)具有初始条件(2)的解最终都进入并保持在D内,所以系统(1)是一致持久的.

[1]Ruixu Chaplain M A J，Davidosn F A．Persistence and periodicity of a delayed tatio-stat[J]．Theoretical Population Biology,1993，44：203-204.

[2]Xu R,Chen L S．persistence and stability for a two-species ratio-depedent predator-prey system with time delay in a two-patch environment[J]．comput math Appl，2000，40：577-588.

[3]Tognetti K.The two stage stochastic model[J].Math Biosi,1975,25:195-204.

[4]康淑瑰．时滞差分方程正周期解得存在性[J]．山西大同大学学报：自然科学版，2009，25（2）：6－7．

[5]马知恩．种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.