基于自适应参数高阶偏微分方程的图像平滑

郭三华 ，高竹红 ，曹丽娟 ， 宁志山 ， 初 玲

(1.烟台汽车工程职业学院 电子工程系,山东 烟台265500;2.深圳市中兴通讯股份有限公司,广东 深圳5180550;3.烟台汽车工程职业学院 科研处,山东 烟台265500)

图像平滑作为图像预处理基本步骤之一，为后继图像处理带来很大方便，最常见图像平滑方法是线性高斯滤波。KOENDERINK指出图像I0(x,y)与不同尺度的高斯核卷积所得到的平滑图像等价于传导系数为常数的热扩散方程的解，此解属于各向同性扩散,在平滑同时造成图像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向异性扩散模型[2]：

基于上述问题，在图像平滑时提出了基于自适应的高阶偏微分方程图像平滑方法,避免了传统P-M方法图像平滑方法的缺陷，获取比较好的视觉效果。

1 高阶方法的提出

P-M方法处理结果是分段恒定的[5]，容易导致结果图像“阶梯”状分布，视觉效果不理想。而高阶方法的处理结果是分段线性的,在视觉感知上明显优于P-M方法。

首先，对图像 I进行坐标变换，将笛卡尔儿(x-y)坐标系转换到(η-ξ)坐标系下，其中η表示点 p法线方向，ξ表示点p切线方向，[Ix,Iy]为图像I梯度方向，可得如下变化公式：

根据二维平面的坐标转换公式有 Iη=(Ixcosα+Iysinα)

其中：

对上式分别进行x和y求导,得到：

进一步得出：

同理可以得出：

定义相关的算子：

再考虑定义在图像区域Ω上的泛函：

其中 I∈C4(Ω)，函数 F(·)≥0 是递增函数，即 F′(·)＞0。由算子ħ定义可知，图像 I噪声越大，式(5)的泛函值就越大。所以最小化E(I)就相当于对图像进行平滑。

式(5)是如下泛函的特殊形式：

根据变分理论，可知式(6)对应的Euler-Lagrange方程为：

于是可以得到式(5)的Euler-Lagrange方程：

式(7)可用梯度下降法求解：

2 自适应阈值的参数估计

参数k的选取是非线性扩散方法的一个主要难题。如何确定扩散的范围及扩散的程度，使降噪和强化顺利进行的同时，图像信息又不致因过度平滑而大量损失，是应用时需要解决的关键问题。传统确定参数的方法是人为指定一个固定常数。一般来说，不同图像需要设置不同参数值，后来也有学者提出自动估计梯度阈值的方法，如提出自动估计梯度阈值的公式Sapiro[4]：

由于图像不同区域边缘强度分布不一致，噪声也不同，而且不同尺度空间边缘强度和噪声也不一样，因此对整幅图像使用同一个全局固定的参数是不合适的。本文提出了自适应阈值参数选择方法，使得该算法阈值参数可以完全自动确定，真正实现自适应阈值参数非线性滤波。

2.1 阈值参数估计

图像平滑可看作是一个估计问题：对于图像上每一点x，观测图像在该点邻域内取值构成一个观测样本集，要解决的就是如何从观测样本集中估计出原始图像在该点的真实值u(x)。如果某点x的邻域Nr中像素点都属于同一区域，则算子ħ在Nr内的概率分布为单峰分布；如果邻域Nr中包含了两个或多个区域，则ħ在Nr内概率分布为多峰分布,如图1所示。

因此，可以按照以下原则选择点处x的参数k(x)：

(1)若点 x邻域内样本算子ħ为单峰分布(如图 1(a)所示)，取k(x)为其截止点，即算子ħ直方图中绝对值最大非零点；

(2)若点x邻域内样本算子ħ为多峰分布(如图1(b)所示)，选择k(x)为算子ħ直方图中绝对值最小谷值点。

据上述分析得如下结论：

(1)当邻域位于区域内部时，可以对图像尽量进行平滑；

(2)当邻域内存在多个区域时，平滑尺度不会超过区域边缘强度最小值，从而尽可能地保持原图像边缘等重要信息。

上述分析完全是一种理想化假设，对于实际图像处理存在如下两大困难：

(1)由于邻域内所取样本有限，从样本直方图不能直接得到完全规则分布的曲线，很难正确地选取阈值参数k(x)值。

(2)现实图像中，即使在同一区域内，平均灰度值往往是变化的，而不是严格满足分段常数模型。

为克服以上问题,采取Mean Shift核平滑方法对算子直方图进行处理，使其尽可能准确地刻画多峰分布情况。

2.2 直方图平滑算法

根据前面分析可知，算子ħ直方图可反映概率分布情况，所以可在邻域Nr内计算ħ的值来进行直方图统计。设x点邻域内算子ħ统计直方图为H(d),d=-N,…,N。采用Mean Shift核密度估计方法对直方图进行平滑[6]。

直方图平滑效果示例如图2所示。

为了降低计算复杂度,在估计参数k(x)时，每隔r/2距离计算一次 (r为邻域半径)，然后对每个像素点选择最近邻的最小值近似为该点阈值参数，并且每一次迭代之后更新参数k(x)值，也可设置每隔若干迭代次数更新一次参数k(x)值，这样可保证一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方图算法复杂度较低，阈值参数估计计算相对于图像平滑本身计算开销较小。

3 实验结果及分析

为了比较自适应参数的高阶方法和P-M方法平滑的性能，进行不同实验并加以分析。

(1)选用若干幅标准图像进行测试，图3显示没有加入噪声的Grid图像平滑效果,从图中可看出当迭代次数比较多时，P-M方法平滑的部分边缘明显被模糊了，而本文方法获取的效果比较理想。

(2)图4是对加入噪声的图像去噪的实验结果，图5给出了对图4各边缘的提取结果，其中图5(b)采用最经典的Canny边缘提取算子。从图4和图5中可看出，PM方法抑制孤立噪声点和保持图像边缘的效果并不十分理想。图4(b)和图5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪声点，建筑物边缘也很模糊，图像中细节信息也有较大程度损失。从图4(c)和图 5(c)来看，本文方法很好地实现了图像平滑和保持边缘的折衷，保证了图像视觉连续性，其视觉效果明显优于P-M方法。

对于图4(b)和图 4(c)而言，在迭代次数相同的情况下，自适应参数高阶方法所能达到峰值信噪比比P-M方法所能达到峰值信噪比要高得多，并且平均耗时比P-M方法增加不到20%。表1为对于Cameraman图自适应参数高阶方法与P-M方法运行时间和峰值信噪比的对比结果。

表1 算法运行时间和峰值信噪比的对比

本文首先对经典P-M方程存在两大问题进行分析，提出了自适应参数高阶偏微分方法，有效解决了PM方法“阶梯”效应及其阈值参数选取问题，图像平滑效果比较好，在耗时相对不长的情况下所能达到的峰值信噪比也P-M方法高。

[1]BARASH D,COMANCIU D.A common framework for nonlinear diffusion,adaptive smoothing,bilateral filtering and mean shift[J].Image and Vision Computing,2004,22(1):73-81.

[2]PERNA P,MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Pattern Anal Machine Intell,1990:12(7):629-639.

[3]YOU Y L,XU W,TANNENBAUM A,et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image processing[J].IEEE Trans.Image Processing,1996(5):1539-1553.

[4]WAND M P,JONES M C.Kernel smoothing[M].New York:Chapman&Hall,1995.

[5]BLACK M J,SAPIRO G,MARIMONT D H,et al.Robust anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Image Processing,1998,7(3):421-432.

[6]YOU Y L,KAVEH M.Fourth-order partial differential equations for noise removal[J].IEEE Transactions on Image Processing.2000,9(10):1723-1730.