基于粒子群优化的约束广义预测控制实现方法

金建平

(常州机电职业技术学院，江苏 常州213164)

广义预测控制已经在工业过程中得到广泛应用。在广义预测控制中，如果被控过程是线性无约束的，并且目标函数是二次型的形式，则可求得一个解析的线性控制器，但是实际工业过程中存在着各种约束，这会使求解控制量的滚动优化问题变得复杂，通常需求解一个有约束的二次规划或非凸规划，而传统的通过迭代求解二次规划和非凸规划方法计算量非常大，另外非凸规划的求解对初始条件也非常敏感，这些会影响到广义预测控制的性能。为了解决此问题，本文将粒子群优化算法应用到广义预测控制中，解决广义预测控制的局限性。

1 广义预测控制算法

广义预测控制算法是一种先进的控制算法，它广泛应用在电力、炼油、化工和造纸等工业领域，是一种源于实际工业过程的高级控制算法，是预测控制中最具代表性的算法之一[1-4]，随着对广义预测控制研究的不断深入，其理论和算法也逐步得到了完善。在广义预测控制算法中，用受控自回归积分滑动平均(CARMA)模型描述一个具有非平稳噪声的实际过程可表示为：

其中，u(t)和 y(t)为过程输入和输出，ζ(t)为一个不相关的白噪声序列，Δ=1-z-1为差分算子，A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)为后移算子z-1的多项式。即：

对于单输入单输出(SISO)系统，假设 C(z-1)=1，则从 t时刻起，第j步后的预测输出值可表示为：

式(5)中，Ej和Fj可以通过求解丢番图方程得到，即

式(6)中，Ej(z-1)和 Fj(z-1)是由 A(z-1)和预测长度 j唯一确定的多项式，即

令多项式Gj(z-1)=Ej(z-1)B(z-1)，整理后可得：

Gj(z-1)中前j项的系数正是对象阶跃响应前j项的采样值，记为 g1，g2，…，gj，将 Gj(z-1)展开为：

则有 gj，i=gi+1(i＜j)。因此，广义预测控制预测模型可以写成：

即

式(12)中：

通过长时间段预测，广义预测控制用多步预测优化代替一步预测优化，并且优化时域随着时间的推移而推移，具有多步预测并实施滚动优化的机制，使得系统存在时滞估计误差或时滞变化时具有较好的鲁棒性。在t时刻的优化性能指标表示为：

式(17)中：N为预测时域，Nu为控制时域，将上式极小化后得到其最优解：

最优控制量为：

式(19)中，W=[w(t+1)，…，w(t+N)]T；gT为矩阵(GTG+λI)-1GT的第1行。

式(19)中，如果控制量存在约束情况，则需求解带有约束的二次规划，约束非线性的存在会导致优化成为一个非凸规划，非凸规划的求解对初始条件非常敏感，会在局部最优解处收敛，无法保证求得的是全局最优解，本文尝试用微粒群优化(PSO)算法来解决这一局限性。

2 PSO算法及其改进

2.1 基本PSO算法原理

由Kennedy和Eberhart提出的PSO算法[5-7]来源于对简单社会的模拟，最初设想是模拟对鸟群觅食的过程，后来发现PSO算法是一种很好的优化工具。PSO算法与其他进化算法相类似，也是将寻优的参数组合成群体，通过对环境的适应度来将群体中的个体向更好的区域移动。与其他进化算法不同，在描述个体时，将其看成是D维寻优搜索空间的一个没有体积的微粒(点)[8-10]，结合微粒的历史最佳位置和群体历史中最优微粒的最佳位置信息，按追随最优微粒的原理，以一定的速度向目标值逼近。

设第 i个微粒的位置为 Xi=(xi1，xi2，…，xiD)，其速度为Vi=(vi1，vi2， …，viD)。 该微粒所经历的历史最好位置记为Pi=(pi1，pi2， … ，piD)， 也称为Pbest， 记全体所有微粒经过的最好位置为 Pg=(gi1，gi2，…，giD)，也称为 Pgest。 按追随当前最优微粒的原理，对第t代的第i个微粒，PSO算法根据方程(20)和方程(21)计算第 t+1代的第 j维的速度和位置[10-11]。

式中，w为惯性权重，它使微粒保持运动惯性，使其具有扩展搜索空间的趋势，有助于新区域的搜索、为[0，1]的随机数；c1和 c2为加速度常数，表示将每个微粒推向Pbest和Pgest的统计加速度权重，两者均为正值。

此外，微粒的速度vi被一个最大速度所限制。如果当前对微粒的加速导致它在某维的速度vij超过该维的最大速度 vmax，j，则该维的速度被限制为最大速度 vmax，j，使得粒子不至于因为飞行速度过高而跳过可能的优化解。

2.2 PSO算法的改进

通过对式(20)和式(21)分析发现，如果粒子群的历史最优粒子位置Pgest在较长时间内没有发生变化，在粒子群体快接近Pgest时，其速度更新将主要由历史速度决定，于是速度将越来越低，粒子群呈现出强烈的“趋同性”，表现在式中的第二项和第三项接近于0。这种“趋同性”加快了算法的搜索速度，但是却减弱了群体开拓新的搜索空间的能力。如果该最优位置为一局部最优点，则算法很容易陷入局部最优，发生早熟现象。通过粒子群优化算法的搜索机理分析发现，无论是早熟收敛还是全局收敛，微粒群中的粒子都会出现“聚集”现象。针对这个问题，本文对PSO算法作了以下改进：在微粒群从第t代向第t+1代“飞翔”时，粒子除追随个体极值Pbest和全局极值Pgest外，还追随从微粒群中随机选取的某个粒子的个体极值Pn，据此改进思想，式(20)也可表示为：

式(22)中，c1为非负常数，一般取 0.5；为[0，1]的随机数，根据仿真实验，的取值范围在 0～0.5之间时能获得较好的效果；qij是随机选取粒子的位置。在粒子的飞翔迭代公式中增加 Pn后，由 Pbest、Pgest和 Pn三者共同向下一代提供信息，使粒子获得的信息量增大，从而可能更快地找到最优解。同时Pn的权重系数很小，相当于扰动信息，增加了粒子的多样性，避免算法过早收敛。式(21)和式(22)组成后称之为改进的PSO算法(MPSO)。

2.3 算法设计

引入了约束的广义预测控制问题，实际上就是一个非线性优化问题，利用PSO算法对其进行处理的基本思想是：首先通过选择合适的适应度函数，将有约束广义预测控制性能指标优化的极小值问题转化为PSO算法优化的极大值问题；然后通过空间限定法引入约束，经迭代计算后最终得到满足约束的最优控制量求解。

基于MPSO算法的广义预测控制结构如图1所示，预测模型采用式(12)的形式，MPSO算法通过优化性能指标J(t)输出控制量进行控制。

图1 基于MPSO算法的控制结构

对优化性能指标进行变换得到适应度函数为：

式中，J(t)可以是式(18)的形式，也可以是满足控制性能要求的其他形式，通过这种变换将GPC优化的极小值问题转化为MPSO算法优化的极大值问题，并使MPSO算法的适应度函数值都在区间[0，1]中变化。

3 仿真实例

热交换器是工业生产所需要的一种换热装置，结构如图 2 所示，图中，T1、T2、T3、T4、T5均为温度控制器，F1、F2、F3均为测量流量的控制器，P1为测量压力的控制器。系统中包括2个输入管，即1个热水管和1个冷水管，对应控制其流量的阀门为 V1、V2。另外还有 1个15 kW的隔热式加热水箱。水箱中的温度通过冷水管中的流量来控制，而水箱中的水又经过1个离心泵，通过阀门V3来控制，输送回热交换器中。这其中包括很多闭环控制系统，被测量有温度、流量、压力等，本文选择的闭环系统为热交换器中循环水的温度控制，对温度控制回路的扰动主要有蒸汽压力、水流速度和进水温度。本文选取的闭环控制为图2中的T4-V3环节。

选取系统控制量u(t)为阀门V3的位置，系统的输出y(t)为从热交换器到水箱的温度T1，通过模型辨识，可以得到该系统的一阶时滞的传递函数模型，表达式为：

设采样时间T=4 s，将上式离散化后得：

本文尝试用微利群优化算法来解决该非线性优化问题，从仿真结果来看，该算法具有良好的鲁棒性和跟踪性能，取得了满意的控制效果，表明将粒子群优化算法应用到广义预测控制中是可行和有效的。

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