楔形空间中圆弧形沉积对平面SH波的散射解析解

刘中宪，梁建文

(天津大学建筑工程学院，天津 300072)

多次的地震观测以及理论研究均表明沉积谷地或盆地对地震动具有显著的影响．自 20世纪 70年代以来，国内外多位学者对相关问题进行了研究分析．求解方法主要有解析法[1-6]和数值法[7-11]．解析法主要是波函数展开法，数值法则包括域内离散型的有限差分法、有限元法和边界离散型的边界元法、离散波数法和波源法等．

值得指出的是，上述研究一般是基于半空间假定．而在我国重庆、青岛、大连等地有大量建筑座落在山坡、山顶或者近海高岸上．此类地形宏观上一般可简化为楔形或阶梯场地．该地形中沉积谷地对地震动的影响一方面源于沉积对地震波的散射，另一方面还源于特殊地形本身对地震动的放大作用．这同半空间情况有着本质的不同，在问题的处理上也更为复杂．迄今为止，国内外有关楔形空间局部场地反应问题的研究成果较少．基于 MacDonald对电磁波的研究成果，Sanchez-Sesma[12]首先研究了 SH波在楔形空间中的衍射．而后Lee等[13-14]给出了楔形空间中圆弧形峡谷和沉积对平面 SH波的散射解答．Dermendjian等[15-16]采用矩量法研究了楔形空间中任意形状凹陷地形和刚性基础对 SH波的散射．史文谱等[17-18]则采用复变函数法分别求解了楔形空间中(直角情况)固定圆形夹杂和圆孔对SH波的散射．

综上，目前的研究多以SH波的散射为对象，对于P、SV 波入射情况则研究很少(严格满足楔形空间边界条件的散射波函数难以精确构造)．Lee的方法[14]同样仅适用于SH波入射情况，且求解中散射体圆心须位于楔形顶点处．为此，笔者借鉴文献[3]的思路，采用2个大圆弧面分别模拟楔形空间的2个表面，对楔形空间中局部场地反应问题给出了一种有效的求解方法．该方法避免了楔形空间中散射波构造上的困难，使得散射波函数易于表达且边界条件容易处理，因而适用于楔形空间中任意波型输入情况，且散射体位置比较灵活．笔者以 SH波入射为例，给出了问题求解的思路和过程，并进行了方法验证和数值分析．

1 模型及方法

如图1所示，一圆弧形沉积位于楔形空间顶部附近．设楔形空间斜面与水平面夹角为vπ，圆弧半径为a．为方便推导，假定圆心位于楔形空间顶点O处．为方便地利用边界条件和构造散射波场，由两半径非常大的圆弧面Ⅰ和Ⅱ来分别模拟楔形空间的水平面和倾斜面，圆弧半径均取为d，圆心分别位于1O、2O处．假设沉积内外介质均为弹性、均匀和各向同性，剪切模量和密度分别为vμ、vρ和sμ、sρ，下标v代表沉积介质，s代表沉积外介质．vβ、sβ为相应剪切波速．为方便问题求解，在这里设定了 3套极坐标系：O-θ，1O-1θ和2O-2θ．

图1 楔形空间中沉积谷地计算模型Fig.1 Computational model for the alluvial valley in wedge-shaped space

设楔形空间内入射波为 w(i)，比拟光的几何传播路线(射线理论)．由于楔形空间的特殊性，楔形空间内会存在二次反射波，即一个平面上的反射波在另一平面上的再次反射．设波在水平面上的初次反射波为，该反射波在倾斜面上的二次反射设为；同理，设倾斜面上的初次反射波为，该反射波在水表面上的二次反射设为．由简单的几何推导，二次反射波的存在范围不难确定．

楔形空间中总位移波场(t)w 在极坐标系r-O-θ中满足波动方程

1.1 波场分析

坐标O-θ下，各入射、反射波函数可以表示为

式中：sk为沉积外楔形空间内横波波数，ss/kωβ=；vk为沉积内横波波数，vv/kωβ=．时间因子exp(i)tω−已略去．

坐标11-O θ下，沉积内外大圆弧面Ⅰ上散射波可以分别表示为

坐标22-O θ下，沉积内外大圆弧面Ⅱ上散射波可以分别表示为

沉积内外圆弧界面上散射波为

以上各式中Jm(kr)和 H(m1)(kr)分别表示第一类 Bessel和第一类Hankel函数．

综上，沉积内外总波场可分别表示为

式中(r)w 为楔形空间中几种反射波的组合．

1.2 模型求解

问题的边界条件包括楔形空间表面零应力

沉积内表面表面零应力

以及圆弧交界面上位移及应力连续条件

为利用位移和应力连续性条件(17)，需采用Graf加法公式进行坐标转换，将各散射波系数转化到 -Oθ坐标下．限于篇幅，具体步骤从略．

利用恒等变换

则入射反射波可以统一用级数形式表示为

由连续性边界条件最终可以推得出

同理为利用边界条件(15)和(16)，需将总波场分别转换到O1-θ1和O2-θ2下，从而得到另两组方程．最后问题归结为求解一无穷项数线性方程组，保证边界条件满足一定精度，通过项数截断可以求得未知散射波系数．将各散射波系数带入，可求得沉积内外各区域内总波场表达式、，继而得出楔形空间表面位移幅值．

2 精度检验

通过边界条件的满足程度和与现有结果的对比，检验本文方法的精度．首先引入无量纲频率η．它定义为圆弧沉积的直径与入射波波长之比，计算式为

由于楔形空间表面由大圆弧面近似模拟，大圆弧面上零应力条件经验算容易满足．为验算圆弧交界面上位移和应力连续性条件满足程度，定义位移差值和应力差值分别为

图2给出了90°楔形空间情况下，Δw和Δτ随项数增大的收敛趋势，无量纲频率η＝2.0、3.0．横轴坐标表示和水平边界的夹角(由φ表示)．容易看出，Δw 和Δτ随着计算截断项数的增大，收敛速度较快，最终能达到10-5量级，表明位移和应力连续性条件能得到较好的满足．

图2 沉积交界面连续性条件检验Fig.2 Verification of the continuous boundary on the valley interface

图 3给出了 120°楔形空间情况，SH波不同角度入射下，本文方法所得沉积附近地表位移幅值同文献[14]所给结果的对比．沉积内外材料密度比= 1 .5，剪 切 模 量 比= 6 ，无 量 纲 频 率η= 3 .0．容易看出 2种方法所得结果整体上吻合良好，但局部反应略微有一定差异．这是由于对本文模型而言，为使大圆弧面能足够精确地模拟地表面，大圆弧半径需远远大于散射体尺寸，但这同时会引起数值计算上的误差：半径过大会使得 Graf坐标转化中特殊函数截断项数增大，最终使得线性方程组求解困难．因而大圆弧面并不能完全真实地模拟地表散射，使得本文结果有一定误差．本文计算当中大圆弧半径取值：d＝100a．

图3 本文结果与文献[14]结果的比较Fig.3 Comparison between results in this study and those of reference [14]

3 算例分析

在精度检验基础上，分别对楔形空间中软沉积(见图 4～图 7)和硬沉积(见图 8～图 11)对平面 SH波的散射进行了求解分析．

3.1 软沉积情况

图4 90°楔形空间中软沉积场地位移幅值Fig.4 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 90°wedge-shaped space

图5 120°楔形空间中软沉积场地位移幅值Fig.5 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 120°wedge-shaped space

图6 150°楔形空间中软沉积场地位移幅值Fig.6 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 150°wedge-shaped space

图7 180°楔形空间中软沉积场地位移幅值Fig.7 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 180° wedge-shaped space

图8 90°楔形空间中硬沉积场地位移幅值Fig.8 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 90°wedge-shaped space

图9 120 °楔形空间中硬沉积场地位移幅值Fig.9 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 120°wedge-shaped space

图10 150°楔形空间中硬沉积场地位移幅值Fig.10 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 150°wedge-shaped space

图11 180°楔形空间中硬沉积场地位移幅值Fig.11 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 180°wedge-shaped space

图4 ～图 7分别给出了 90°、120°、150°和 180°楔形空间中，在不同角度(α＝0、π/6、π/3和π/2)及不同频率(η＝0.5、1.0和2.0)SH波入射下，沉积附近地表位移幅值．α表示入射波方向与竖直线的夹角．沉积内外介质剪切模量比μv/μs＝1/6，密度比ρv/ρs＝2/3．图中横坐标为地表面上各点与楔形顶点的距离同沉积半径的比值，横轴上的负值对应楔形水平面上点，而正值对应楔形倾斜面上点；纵轴对应位移幅值w(t)．

需要指出的是，180°楔形空间(半空间)情况的结果与文献[1]吻合很好，表明本文方法可以退化为半空间情况，这从另一方面验证了方法精度．

3.2 硬沉积情况

图 8～图 11分别给出了 90°、120°、150°和180°楔形空间中硬沉积场地位移幅值．设沉积内外材料特性比值：剪切模量比为μv/μs＝6，密度比ρv/ρs＝3/2．入射波频率η取 0.5、1.0和 2.0，计算了不同入射角度下的地表位移幅值．

通过对上述结果的总体分析，可以得出下述结论．

(1)楔形空间中沉积谷地反应特征依赖于4个因素，即楔形空间夹角vπ、波入射角α、无量纲频率η以及沉积内外弹性介质的剪切模量比和密度比．

(2)随着楔形空间夹角的减小，位移空间分布同半空间情况的差异逐渐增大，且即便对于较小斜度的楔形空间(ν＝5/6)，位移反应幅值和分布特征仍然有很大不同．从整体上看，位移放大效应要比半空间情况更为显著，这是由于在楔形空间中存在波的多次反射叠加作用．因此，对于斜坡和阶梯地形中的局部场地反应问题，需考虑特殊地形和地质不均匀性的复合影响，而不能简单地按半空间情况处理．

(3)随着入射波角度变化，散射波能量的空间分布发生改变，而位移峰值一般出现在SH波沿一边掠入射情况；无量纲频率η反映了沉积直径同入射波长的比值关系，该参数直接决定了位移的空间振荡频度，并且对位移幅值具有关键影响．当该值在1.5～2.5之间，即沉积半径和波长相当时，散射作用比较显著．

(4)楔形空间中软沉积场地位移放大作用十分明显．这是由于楔形空间中沉积内散射波具有更强的相干作用，波动能量由此产生汇聚效应，沉积范围之内场地反应比较剧烈．计算表明，对较软介质情况，局部地表位移幅值能放大10倍以上．

(5)硬沉积场地位移反应特征同软沉积情况有明显差异．硬沉积对波的吸收作用较小(计算得出沉积内散射波系数较小)，而波向楔形空间中的散射作用增强，故沉积内部位移幅值反而会有所降低，沉积外部地表位移(一般是朝向入射波的一侧)则显示出明显的位移放大作用．如图 8所示，沉积附近地表位移峰值接近 7.0，达到无沉积情况位移幅值的 2.3倍；随着地表点位和沉积距离的增大，位移放大效应逐渐减弱．

4 结 语

本文对楔形空间中圆弧形沉积对弹性波的散射问题进行了方法上的探索和深入的研究，给出了一种新的解析求解技术．通过边界条件验算及同现有结果的比较验证了方法精度，为楔形空间中 P、SV波的散射求解奠定了基础．

数值结果分析表明：楔形空间中沉积对弹性波的散射同半空间情况具有本质的不同，需综合考虑地形和地质不均匀性对地震动的复合影响；楔形夹角、无量纲频率、波入射角和沉积内外介质特性是影响地表反应特征的几个主要因素；平面波入射下，同半空间情况相比，由于波的多次散射叠加，楔形空间中沉积附近场地反应放大效应更为显著．因此为安全考虑，对地震多发区的高岸或斜坡地带，需更细致地评估局部场地对地震动的影响，进而更科学合理地提高当地建筑物的抗震设防标准．

需要指出的是，本文以位于楔形空间顶部的圆弧形沉积为例，进行了推导计算和参数分析．当散射体(圆弧形)位于楔形空间其他位置时，两大圆弧面的坐标系和边界条件不变，另外需以散射体的圆心为中心建立一个坐标系，进而利用零应力或连续性边界条件，并结合 Graf变换公式，分别将不同的散射波场统一在同一个坐标系下表达，建立方程求解得到散射波系数．求解思路和过程与本文情况无本质区别．

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