正系数解析函数的一类新子族

洪 敏， 傅秀莲

(1.揭阳职业技术学院,广东揭阳 522000；2.广东工贸职业技术学院, 广东广州 510510)

正系数解析函数的一类新子族

洪 敏1， 傅秀莲2

(1.揭阳职业技术学院,广东揭阳 522000；2.广东工贸职业技术学院, 广东广州 510510)

引入了一类具有正系数的解析函数类Mn(α)，利用复分析中的一些方法，讨论了这类函数的系数不等式、偏差定理、凸的线性关系等，得到了准确的结果．

解析函数； 正系数； 系数不等式

用A来表示在单位圆U={z:|z|<1}内解析,且具有如下形式的泰勒展开式：

(1)

的全体解析函数所形成的集合．

对于A内的函数f(z)，我们定义：

的全体函数所成的函数类．

(2)

显然M0(α)⊂M(α)，M1(α)⊂N(α)．M(α)、N(α)见文献[1]．

对于单位圆U={z:|z|<1}内的解析函数类的性质,国内外的许多作者进行了研究.特别对于其中函数的泰勒展开式的系数是负数时,有许多这方面的工作(如文献[1]-[3]). 但是对于函数的泰勒展开式的系数是正数的解析函数类, 研究得比较少.本文引入了一类具有正系数的解析函数类Mn(α),研究它的系数不等式、偏差定理、凸的线性关系等问题,得到了一些准确的结果.

为了定理的证明，这里先介绍一个相关的引理．

1 系数不等式、增长定理和偏差定理

(3)

使得

其中，φ(0)=0，且由式(3)可得

即

从而有

则

所以

令m≥2，则

α-1 (0

最后，不难看出不等式(3)对于函数

(4)

取等号．□

(5)

且不等式(5)中的等号对式(4)所定义的函数取到．

(6)

(7)

且不等式(6)与不等式(7)中的等号对式(4)所定义的函数f2(z)取到．

证明根据定义有：对0≤i≤n,

(8)

根据定理1，有

又因为

所以

即

(9)

于是由式(8)、(9)得：

及

在定理2中令i=0可得如下推论：

且这2个不等式是精确的.

在定理2中令i=1可得如下推论:

且这2个不等式是精确的.

在定理2证明过程中的式(9)中令i=n可得如下推论:

2 凸的线性关系

设

(10)

(11)

证明由式(11)，有

(12)

对于所有的i=1,2,…,v，由式(12)，有

□

在定理3中令v=2可得如下推论：

推论5 函数类Mn(α)是一个凸集．

(13)

(14)

证明若存在k≥0(k≥1)且k=1，使得kfk(z)，则

因此有

[1] OWA S,NISHIWAKI J. Coefficient estimates for certain classes of analtic functions[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2002,3(5): Article 72.

[2] EKREM K. On subclass of univalent unctions with negative coefficients[J]. Applied Mathematics and Computation,2003,146：351-358.

[3] LIU Mingsheng, ZHU Yucan, SRIVASTAVA H M. Properties and characteristics of certain subclasses of starlike functions of orderβ[J]．Math Computer Modelling, 2008(48): 402-419.

[4] GRAHAM I,KOHR G.Geometric function theory in one and higher dimensions[M]．New York:Marcel Dekker Inc,2003.

Keywords： analytic function; positive coefficient; coefficient estimate

【责任编辑 庄晓琼】

ACLASSOFANALYTICFUNCTIONSWITHPOSITIVECOEFFICIENTS

HONG Min1, FU Xiulian2

(1.Jieyang Vocational and Technical College, Jieyang, Guangdong 522000, China; 2.Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510, China)

A new class of analytic functions with positive coefficients is introduced. The coefficient estimates, distortion theorems, convex linear relations for the class are investigated, and sharp results are obtained.

2009-03-03

洪敏(1979—),女，广东揭阳人,揭阳职业技术学院讲师,主要研究方向：复分析，Email:hongmin@jyc.edu.cn.

1000-5463(2010)02-0014-04

O174.51

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