离心叶轮轴面液流过水断面面积解析

马银珍

(山西省水利水电勘测设计研究院,太原030024)

轴面液流过水断面是离心叶轮叶片水力设计中的重要概念,这一断面指叶轮内一个与所有流面正交的回转曲面。该断面上各点处的流体质点的绝对速度都与断面斜交,但绝对速度的轴面分量将与断面垂直。这一断面面积的计算在叶轮设计中有着重要的作用。比如,在计算叶片进口边某点的叶片安放角时,就必须计算通过叶片轴面图上给定点的轴面液流过水断面面积;叶轮轴面投影图的绘形质量也要通过考察这一断面面积随流道中线的变化规律来保证。

尽管轴面液流过水断面面积与叶片设计精度和质量关系密切,但是长期以来,在传统的设计方法中,都只能计算这一面积的近似值[1-2]。笔者将以线积分和重心定理为基础,通过数学分析方法,给出了这一面积的精确解,以供设计人员参考,并可作为设计高水平的叶轮绘图软件的重要依据。

1 数学背景

如图1所示,xoy平面上有一平面曲线AB,其长度为l。这一平面曲线绕y轴旋转一周生成一回转面,这一回转面的面积a可以计算求解如下。

在曲线上取一点,其坐标为(x,y),曲线上包括这一点的一微弧段长d l,如果曲线的线密度为l,这一微弧段对y轴的力矩为x d l,由此,全曲线对y轴的力矩M为：

如果平面曲线的重心C到y轴的垂直距离为xc,由重心定义,全曲线对y轴的力矩M也可表示为

图1 曲线重心

比较(1)、(2)式,可以得到

另一方面,微弧段d l绕y轴旋转一周生成的微回转体可视为一高等于d l,半径为 x的圆柱面,其表面积d a=2πx d l,全曲线绕y轴旋转一周生成的回转面面积a,可积分上式得到

由此得到结论：一平面曲线绕平面上任一直线旋转一周生成的回转面面积,等于2π倍曲线长和曲线重心到给定直线的垂直距离的乘积。上述结论称古鲁金定理。但应注意,平面曲线的重心不一定位于曲线上。

2 轴面液流过水断面面积计算的传统方法

如图2所示,在初定或最终确定的叶轮轴面投影图中作一内切圆O,这一圆与前后盖板流线相切于A、B两点。连接OA、OB及AB得到一等腰三角形,存在唯一一条与半径OA、OB相切于 A、B的圆弧。由于OA、OB与前后盖板流线正交,且圆弧与两半径相切,这一圆弧显然与前后盖板流线正交。前后盖板流线是两条轴面流线。同时认为,上述圆弧与轴面内其他轴面流线也正交。这一平面圆弧绕叶轮轴心线旋转一周所得到的回转面就是一轴面液流过水断面,这一断面显然符合过水断面的定义。

图2 寻求曲线重心的传统方法

在传统的叶轮设计过程中,当获取了上述弧长之后,用下述方法确定圆弧重心的位置：将等腰三角形底边上的高三等分,把靠近三角形底边的一个分点C视为圆弧重心,量出这一点到叶轮轴心线距离后,即可由上面导出的古鲁金定理计算这一过水断面面积。

3 轴面液流过水断面面积计算的新方法

为利用古鲁金定理计算轴面液流过水断面面积的精确值,由式(5)可知,必须寻求轴面上作为轴面液流过水断面形成线的圆弧的长度,及其重心的正确位置。

传统方法中确定的重心实质是等腰三角形的重心,将三角形的重心作为圆弧重心显然是一种近似。下面首先将导出重心位置的精确解。

如图3所示,将直角坐标原点置于圆弧的圆心M,x轴等分圆弧且与圆弧对应的弦AB垂直。设弧半径为R。在弧上取一点K,通过K点的圆弧半径与x轴正向夹角为θ,弧上一微弧段长d s且通过K 点。如果d s对应的圆心角为 dθ,那么 d s=R dθ。设单位长度弧长重l单位,这一微弧段对y轴的力矩应为R cosθd s=R2cosθdθ,全弧对 y 轴的力矩显然为

另一方面,全弧对y轴的力矩应为全弧长s乘以弧重心到y轴的距离x,由此有方程

弧重心显然位于弧对称轴即 x轴上。求出了圆弧重心到y轴距离x后,就可以在x轴上标出重心位置。式(6)中未知量圆弧半径R和圆弧长s的求解将在下面说明。s值不仅关系到式(6)中 x值,在最后应用古鲁金定理时也要用到。

在设计实践中,本文给出的轴面液流过水断面面积的求解过程如下：

1)在叶轮轴面投影图上作一与前后流线都相切的内切圆,并作出等腰三角形OAB,如图3所示。

2)用绘图软件量出三角形的腰长(OA或OB)l,同时量出三角形的顶角∠AOB值Φ。在叶轮轴面平面上,量取这两个几何量都很容易。

3)按本方法中不必实际作出圆弧。根据测量所得的l和Φ值,可以得到圆弧所在园半径R=l◦tan(Φ/2),这是因为△MAO及△MBO均为直角三角形。

图3 寻求曲线重心的新方法

圆弧长s比较易于计算。圆弧所在圆的周长为2πR=2πl tan(Φ/2),由于 ∠AMB=π-Φ(括号内的Φ值单位应为弧度,下同),于是弧长

s=2πl tan(Φ/2)◦(π-Φ)/2π=

s也可用绘图软件直接精确量取。考虑到∠AMO=∠AMB/2=(π-φ)/2,以及 R=l tg(φ/2),由式(6),圆弧重心到M距离x应等于

4)由直角三角形MAO可求出OM长为l/cos(Φ/2),这也是等腰三角形顶点到y轴的距离,那么圆弧重心到等腰三角形顶点距离显然为

5)在等腰三角形的高上取一点,使这点到等腰三角形顶点距离为上述值,由此就精确地确定了圆弧重心在叶轮轴面图上的位置。用绘图软件量出这点到叶轮轴心线的距离,并乘上2π倍已获取的s,由前面导出的古鲁金定理即可得到平面圆弧(轴面液流过水断面形成线)绕叶轮轴心线旋转一周所得轴面液流过水断面面积。

4 结束语

在离心泵叶轮设计实践中,准确计算叶轮内轴面液流过水断面面积是提高设计质量的重要措施。笔者以数学分析和重心定理为依据,导出了这一值的解析求解方法。这一方法将成为水泵设计工程师完成优质设计的新工具。

致谢：本文在写作中得到西华大学能环学院严敬教授的指导和帮助,作者在此表示诚挚的谢意!

[1] 严敬.低比转速离心泵[M].成都：四川科学技术出版社,1998：144-147.

[2] 关醒凡.现代泵技术手册[M].北京：宇航出版社,1995：203-204.

[3] 哈尔滨工业大学理论力学教研组.理论力学[M].5版.北京：高等教育出版社,2007：176-187.

[4] 同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京：高等教育出版社,2002：264-288.

[5] 戴正元,谷传刚.离心泵叶轮轴面流道计算新方法[J].工程热物理学报,2003,24(5)：783-785.

[6] 刘栋,杨敏官,王群,等.离心泵内部流场实验研究与数值计算[J].中国农村水利水电,2008(9)：87-91.