环Z2＋uZ2＋u2 Z2上的斜循环码

李 锦， 朱士信

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

多项式环及其理想一般被用来构造和理解循环码［1－3］，在文献［4－5］中第1次提出了利用非交换的斜多项式环F［X，θ］来构造一种更广义的循环码。这些码与循环码和准循环码有相同的结构，分别称为斜循环码和斜准循环码。文献［6］研究了Galois环上的斜循环码。本文将研究环R＝Z2＋uZ2＋u2Z2＝｛0，1，u，u2，1＋u，1＋u2，u＋u2，1＋u＋u2｝的斜循环码，其中u3＝1。对任意2个元素a＝a0＋ua1＋u2a2，b＝b0＋ub1＋u2b2∈R的加法和乘法规则如下：

其中，c0＝a0＋b0（mod 2）；c1＝a1＋b1（mod 2）；c2＝a2＋b2（mod 2）。

其中，c0＝a0b0＋a1b2＋a2b1（mod 2）；c1＝a0b1＋a1b0＋a2b2（mod 2）；c2＝a0b2＋a2b0＋a1b1（modp）。

定义环R上的自同构θ如下：

其中，a＝a0＋ua1＋u2a2∈R，ai∈Z2，i＝0，1，2。

易知任意a∈R，θ2（a）＝a，即θ的阶为2。

1 环R上斜多项式环和斜循环码

1.1 环R上斜多项式环

本文对集合R［X，θ］＝｛a0＋a1X＋…＋anXn｜∀ai∈R，i＝0，1，…，n｝定义加法和乘法来构造一个非交换环，集合R［X，θ］中多项式的系数都在变量X的左边；定义加法为普通多项式的加法，乘法满足如下规则：

通过结合律和分配律可以得到环R［X，θ］的所有元素。环R［X，θ］是一个非交换环，不满足左右欧几里得，但是可以定义某些元素的左或右整除［7］。

下面讨论R［X，θ］的左或右主理想。

1.2 斜循环码

定义1Rn的子集C是长为n的斜循环码，如果C满足如下2个条件：

（1）C是R上线性码。

（2）（c0，c1，…，cn－1）∈C⇒（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C。

引理1 如果n是偶数，则（Xn－1）是R［X，θ］的双边理想。

证明 如果Xn－1是一个中心元素，则（Xn－1）是R［X，θ］的双边理想。

证毕。

下面讨论n是偶数的情况。

对于非交换环Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）将其等同地看成P∈R［X，θ］在标准映射下的像：

即P在R［X，θ］中右整除Xn－1的余项Pr，记ψ（X）仍为X，这种表示给出了Rn中元素的标准形式，一般将长为n的码字看做是Rn中元素的系数元组。

定理1C是R上长为n的斜循环码当且仅当C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想。

证明 假设C是R上长为n的斜循环码，则C是线性码且满足：

则由线性性可知对任意P（X）∈Rn，P（X）c∈C，即C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想。

反之，设D是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想，则D是R上长为n的线性码。设d＝（d0，d1，…，dn－1）∈D，则Xd（X）＝X（d0＋d1X＋…＋dn－1Xn－1）∈D，可得：

即D是斜循环码。

推论1 首一多项式g（X）是Xn－1的右因子，则C＝（g（X））是R上长为n的斜循环码。

设C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的非零左理想，记A为C中次数最小的非零斜多项式集合，显然A是非空的。下面考虑2种情况：A中存在首一斜多项式；C中没有首一多项式。

定理2 设C和A如上所述，那么：

（1）如果A中存在首一多项式，则C＝（g（X）），其中g（X）是A中唯一首一的多项式，g（X）是Xn－1的右因子。

（2）如果C中没有首一多项式，则C＝（g（X）），其中其中gi∈｛1＋u，1＋u2，u＋u2｝，0≤i≤r。

证明 （1）假设f（X），g（X）∈A都是首一的，设 deg（f（X））＝deg（g（X））＝r，由 于deg（f（X））－deg（g（X））＜r，可知假设矛盾，所以A中首一的多项式是唯一的。

对任意c（X）∈C，设

其中，deg（r（X））＜deg（g（X））。

而r（X）＝c（X）－q（X）g（X）∈C当且仅当r（X）＝0，所以c（X）＝q（X）g（X），即C＝（g（X））。

设Xn－1＝p（X）g（X）＋s（X），其中deg（s（X））＜deg（g（X））。类似可知s（X）＝0，则Xn－1＝p（X）g（X），即g（X）是Xn－1的右因子。

（2）假设C中不存在首一多项式，由环R的加法乘法规则可知任意多项式C有如下2种形式：

或者

其中，gi∈｛1＋u，1＋u2，u＋u2｝，0≤i≤r。

若∀g（X）＝ （1＋u＋u2）g1（X）∈C，g1（X）∈Z2［X］。设h（X）是C中不能被g（X）右整除次数最低的斜多项式，deg（h（X））≥deg（g（X））。

设c（X）＝h（X）－Xdeg（h（X））－deg（g（X））g（X），由R乘法规则可知：

则由deg（h（X））＞deg（c（X））可知假设矛盾，所以C中没有不能被g（X）右整除的斜多项式，即C＝（g（X））。

设h（X）是C中不能被g（X）右整除次数最低的斜多项式，deg（h（X））≥deg（g（X））。易知∀a∈R，b∈I，ab∈｛0｝∪I，不妨设h（X）和g（X）的首项系数相同，设c（X）＝h（X）－Xdeg（h（X））－deg（g（X））g（X），则 由 deg（h（X））＞deg（c（X））可知假设矛盾，所以C中没有不能被g（X）右整除的斜多项式，即C＝（g（X））。

定义2R上线性码C如果满足（a0，a1，…，an－1）∈C⇒（an－1，an－2，…，a0）∈C，则称作可逆码［8］。记的可逆多项式，若g（X）＝gr（X），则称g（X）是自互反的。记

定理3C＝（g（X））是R上长为n的斜循环码，若g（X）的首项系数和常数项都为1，则C1＝（gR（X））和C2＝（gr（X））也是R上长为n的斜循环码。

证明 如果deg（g（X））是奇数，则存在p（X）∈R［X，θ］使得Xn－1＝p（X）g（X）。设

易知Xn－1＝pr（X）gR（X）＝pR（X）gr（X），即gR（X）和gr（X）是Xn－1的右因子。如果deg（g（X））是偶数，计算可得：

Xn－1＝pr（X）gr（X）＝pR（X）gR（X），即gR（X）和gr（X）是Xn－1的右因子。

综上所述，由推论1可得结论。

定理4 设C＝（g（X））是R上长为n的斜循环码，g（X）的首项系数和常数项都为1。如果deg（g（X））是偶数，C是可逆码当且仅当g（X）＝gR（X）；如果deg（g（x））是奇数，C是可逆码当且仅当g（X）是自互反的。

其中，bi∈R。记fr（X）是f（X）的可逆码，如果deg（g（X））是奇数，由于｜〈θ〉｜＝2，可得fr（X）＝Br（X）gr（X）。对于Br（X）共有23（n－r）种可能，可以得到由gr（X）生成的斜循环码，而该码与原码C相同当且仅当g（X）＝gr（X）。类似地，如果deg（g（x））是偶数，可得fr（X）＝Br（X）gR（X），则C是可逆码当且仅当g（X）＝gR（X）。

2 斜循环码的对偶码

设x＝（x1，x2，…，xn），y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn，记Rn中的Euclidean内积如下：

码C关于Euclidean内积对偶码C⊥如下：

如果C＝C⊥，称C是Euclidean自对偶的，码C关于Hermitian内积对偶码C＊如下：

如果C＝C＊，称C是Hermitian自对偶的。

定理5 斜循环码关于Euclidean和Hermitian内积的对偶码仍是斜循环码。

证明 设C是R上长为n的斜循环码，设c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C，b＝（b0，b1，…，bn－1）∈C⊥，d＝（d0，d1，…，dn－1）∈C＊。因为C是斜循环码，则有：

则〈ci，b〉＝0，1≤i≤n。如果i＝n—1，则i为奇数且θi（a）＝θn－1（a）＝θ（a），∀a∈R。可得：

则有：

由此可知（θ（bn－1），θ（b0），…，θ（bn－2））∈C⊥，所以C⊥是斜循环码。

类似可证C＊也是斜循环码。

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