Excel在主成份分析法中的应用

龚 静 陈俊华

(1.湖南环境生物职业技术学院，湖南 衡阳 421005;2.四川省林业科学研究院，四川 成都 610081)

主成份分析(principal components analysis，PCA)是将多个观测指标因子变化为少数几个新指标的一种多元统计方法［1］，其分析结果可用于回归分析、聚类分析、神经网格分析等等。我国林业专家应用主成份分析法在多个领域［2～6］作了研究。主成份分析的算法中，最麻烦的是矩阵特征根的计算，目前在一些统计软件［7］中有集成模块，当然也可以通过编程来计算，但数据录入、修改不方便。Microsoft Excel能很好地解决这些问题。

Microsoft Excel是美国微软公司研制开发的用于个人财务分析与规划、公司营运管理与目标设定和薪水管理等的一个出色的电子表格软件，它不仅具有友好的界面、强大的数据计算，并且还具有统计分析功能。Excel进行数据计算与统计分析的一个显著特点是，它可以进行公式编辑和插人函数，而且具有连环链锁计算能力［8］。有关矩阵的特征根和特征向量的Excel算法，相关文献中也有报道［9～11］，但对整个主成份分析的过程却不见系统报道。下面，笔者详细介绍如何在Excel 2003中建立数据进行主成份分析，以与搞林业工作的同仁们分享。

1 原始数据的录入及相关系数的计算

本文以参考文献［7］第11章“因子分析法”的数据为例，建立矩阵来进行主成份分析，以便与专业软件(SPSS)进行数据结果精度的比较。

在Excel2003中录入数据进行相关系数的计算，非常简单。步骤如下:

(1)打开 Microsoft Excel 2003，选择区域 A1:F9，输入原始数据(图1)。

图1 原始数据的录入

(2)相关系数矩阵的计算

单击“工具(T)”下拉菜单中的“数据分析(D)…”，在弹出的“数据分析”窗口中，选择“相关系数”，输入要计算数据的区域等选项，单击“确定”后，结果如图2所示。

图2 相关系数计算结果

2 Excel中矩阵的建立及命名

在Excel中，可以在一个单元格区域内通过逐个输入矩阵的各个元素来建立矩阵，还可以使用数组公式和数组常量更加方便地建立矩阵［12］。

(1)新建一个工作表，选择单元格区域A1:F6;

(2)输入公式 ={1，－0.557，－0.443，0.535，=0.614，0.107;……}，即(1)中计算出来的相关系数矩阵。(在Excel的数组公式中，将矩阵元素用大括号{}括起来称为数组常量，其中不同列的元素用逗号隔开，不同行的元素用分号隔开［12］);

(3)同时按下Ctrl+Alt+Enter键，完成数组的输入，并在左上角框中将其命名为数组A，如图3所示。

3 特征根的计算

(1)选择单元格区域G1:L9，输入6阶单位矩阵并将其命名为I;

图3 矩阵的建立及命名

(2)在单元格 C7 中输入 MDETERM(A)［8］来计算矩阵A的行列式值，其结果为0.037248;

(3)预测矩阵A的特征值所在区间:

Gersgorin圆盘定理［13］认为，设对称方阵A=(aij)n×n，则A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中:

理论上A的特征值包含在区间［0，6)内。在区间［0，6)取若干个点作特征多项式f(λ)=det(A－λI)的“平滑散点图”，步骤为:

(1)在工作表Sheet1的单元格A8中输入0，按住Ctrl键，拖动鼠标直到单元格A68，在单元格B8中，输入工式=A8/10，同样拖动鼠标直到B68，即输入0，0.1，0.2，…(每隔 0.1 取一个值)，在单元格C7中输入公式=MDETERM(A－B8*I)，按Ctrl+Shift+Enter键，在C8中形成数组公式，则C8中的值0.037248为特征多项式f(λ)在λ=0的值;

(2)选定单元格C8，拖动鼠标直到C68，计算各特征根的值，可见有几次符号改变，而每一次符号改变就说明此附近有一特征根，当到2.3以后符号不再改变，说明2.3附近为A的最大特征根;

(3)选定单元格B8:C31(即2.3)，作“XY散点图”的“平滑线散点图”类型曲线，见图4。从图4可以看出A的特征多项式与x轴有6个交点，还可以看出这6 个点分别落在区间［0，0.1］，(0.1，0.25)，(0.6，0.7)，(0.9，1)，(1.7，1.8)，(2.2，2.3)。

图4 特征多项式f(λ)的平滑线散点图

(4)求A的全部特征根

1)选择工作表Sheet2里面的单元格A1:A6，即将这6个单元格作为求特征根的可变单元格;

2)在B1中输入公式=MDETERM(A－A1*I)，按 Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式:{=MDETERM(A－A1*I)};

3)拖动B1到B6;

4)单击“工具”菜单中的“规划求解”命令，打开“规划求解参数”对话框(若没有这项，可单击“工具”菜单中的“加载宏(I)”，在弹出的窗口中将“规划求解”勾选上);

5)在“设置目标单元格(E)”中输入B1，单击“等于”栏中的“值为”输入0，在“可变单元格(B)”中，输入或选择单元格区域A1:A6;

6)单击“添加(A)”按钮，在“添加约束”对话框中添加条件:A1＞=0，A1＜=0.1;

7)单击“求解”按钮完成操作。此时单元格A1中的值:0.067662就是实对称矩阵A的第一个特征值;

8)重复步骤5)～7)(注意条件)，这样就求出了全部特征根，如图5所示，这与文献［7］中用统计软件SPSS求出来的值非常接近(SPSS求出的6个值分 别 为 2.285，1.793，0.954，0.700，0.201，0.068)［7］。

图5 实对称矩阵A的全部特征值

4 求累计方差贡献率

方差贡献率的计算公式较为简单，例如，对于λ1=2.285，则方差贡献率为=2.285/6=38.09%，以此类推。计算出来的方差贡献率及累计方差贡献率见图5。

5 每个特征值对应的特征向量及因子负荷矩阵的求解

(1)特征向量的解法

对应于λ1的特征向量可由下面齐次方程组求出:

将矩阵A及λ的值代人方程组，令x6=1，用前面的5个方程联立求解，就可以求得相对于λ的特征向量，这样求特征向量问题就是求解多元一次线性方程组的问题。Excel解线性方程组的方法主要有逆矩阵法、迭代计算法以及规划求解法等。本文以逆矩阵法为例来说明如何求特征向量。

1)选定Sheet3中的区域A1－F6，输入公式=P－A(P为特征根形成的对角线矩阵)，按下Ctrl+Shift+Enter键，计算矩阵λ－A;

2)选择区域A8:E12，输入公式=Minverse(A1:E5)，按下Ctrl+Shift+Enter键，计算前面5个未知数形成的矩阵的逆矩阵;

3)在F8:F12中输入=－F1:F5，作为常数项(因为令x6=1);

4)矩阵相乘

选取区域 H8:H12，输入 =MMULT(A8:E12，F8:F12)，按下Ctrl+Shift+Enter键，并在H13中输入1，求得方程的一组解;

5)对解向量进行标准化

在单元格I8中，输入公式=H8/SQRT(SUMSQ(MYMHMYM8:MYMHMYM13))(SUMSQ()函数为求平方和)，拖动到I13得到特征向量的值;

将另外的λ代入方程组，求得其他特征根所对应的特征向量。

(2)因子负荷矩阵的求法

例如，对于 λ1=2.285，在 J8中输入 =SQRT(2.285)*I8，拖动至J13可求得λ1所对应的主成份因子负荷向量。同样求得其他特征根所对应的因子负荷向量，全部向量构成因子负荷矩阵。

6 结论

主成份分析法在林业中应用非常广泛［2～6］。目前有些专业统计软件，如SPSS、SAS等可以进行计算，但这些软件属于“傻瓜”型软件，其操作过程仿佛是在一个“暗箱”内进行的，对于使用者而言，可能对计算结果无法进行合理解释。本文利用Excel进行主成份的计算，使读者理解其计算过程，如果再结合SPSS进行计算结果的分析，就会感到理解透彻些。此外，作者写这篇文章的目的还为了提供一些Excel的基本操作，尤其是有关矩阵(数组)的建立及操作等。Excel计算精度控制方便，操作简单，且在各类计算机上随处可见，使用者众多［14－16］，这也是写这篇文章的目的所在。

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