基于固有频率的Delta机械手截面参数的优化

张利敏，梅江平

(天津大学机械工程学院，天津 300072)

外转动副驱动、平行四边形支链的高速并联机械手具有运动惯量低、速度快等特点，现已广泛应用于对轻小物料的高速分拣与抓放等操作，其典型代表当属著名的 Delta机械手[1]．为了有效减低运动部件的惯性，这类机械手运动构件(动平台、主动臂、从动臂等)多采用铝合金或轻质细杆制作，然而在轻量化设计的同时，机械手在高速运动时会直接受杆件柔性的影响而降低系统的动态精度．因此，在设计此类机构的截面参数时，通常要考虑动态优化设计．

建立含柔性杆件的机构弹性动力学模型对于揭示系统参数对机构全域动态特性的影响以及动态优化设计均具有重要意义，目前可利用的建模方法主要有多柔体法(FMD)[2-6]、线弹性法(KED)[7-9]、子结构综合法[6，10]．多柔体法虽可获得精确刚弹耦合模型，但建模和求解过程复杂，多用于考虑几何非线性的场合；而线弹性法通过忽略刚柔耦合和位形“冻结”等简化手续，故已在平面连杆机构弹性动力学分析和优化设计中得到广泛应用；子结构综合法则是通过把结构划分为若干子结构并分析其动力特性，后通过各子结构交界面关系组装成系统整体模型，故特别适合于大型复杂结构．上述建模方法中对弹性体变形量的描述可按连续弹性体考虑其质量和刚度的分布特性，然而按这种模型建立的数学模型是偏微分方程，只在简单情况下才能求得解析解，因此通常将质量离散建立近似模型，主要涉及有限元模型[11]和集中参数模型[12]．有限元模型通过节点处的有限个自由度，并利用位移插值函数可描述结构复杂且不规则的构件，虽自由度较多计算量较大，但运算模式统一，故适合在计算机编程计算；集中参数模型将弹性体的质量聚缩于若干点上，虽对质量分布形式简化较多、精度较差，但对于杆或梁等规则弹性体，在减小计算量的同时还可保证较高的精度，满足工程应用的需求．

针对含柔性杆件的机器人机构动态设计，目前广泛采用系统一阶固有频率与运动部件质量比最大作为设计的性能评价指标[13-14]．例如，Everett等[15]采用一阶固有频率及其随位形的变化，以及前两阶固有频率的偏离程度作为性能指标，并据此构造了加权目标函数，实现了两柔性连杆机构的动态优化设计，并通过实验结果验证了该方法的有效性．Zhang等[16]在给定频率约束条件下，优化柔性机构并使其整机质量最小．然而，上述方法因未考虑到驱动电机的力矩约束，因而缺乏工程实用性．此外，Park[17]提出一种在考虑驱动力矩约束的情况下，通过优化运动轨迹以使操作手末端残余振动最小的方法，虽未涉及结构参数优化，但在动态优化中值得借鉴．

笔者以 Delta机械手为对象，研究含柔性杆件的高速并联机器人的弹性动力学建模和截面参数的优化设计方法．首先，借助位移子结构法提出一种线弹性动力学模型的建模方法．其次，通过分析缩减主动臂设计变量，以系统一阶固有频率最高为目标函数，以电机驱动转矩上界为约束研究该机械手的动态设计方法，并通过计算机仿真验证该方法的正确性．

1 Delta机械手弹性动力学建模

图1给出了Delta机械手三维实体造型，其由静平台、动平台和 3组轴对称支链组成．为了减少运动部件质量，动平台和主动臂采用铝合金，从动臂采用碳纤维材料制作．为了借助子结构综合思想建立Delta机械手的弹性动力学模型，将主动臂、从动臂杆及动平台划分为如图 2所示的若干子结构，其中(1)～(3)为主动臂子结构，(4)～(9)为从动臂子结构，(10)为动平台子结构，并在建模过程中假设：动平台、铰链视为刚体，铰链视为理想约束；弹性变形满足小位移假设，真实运动可视为刚体运动和弹性位移的叠加；忽略系统阻尼不计；忽略质量缩聚点上的集中转动惯量．

图1 Delta机械手三维模型和工作空间Fig.1 3D model of Delta manipulator and workspace

图2 Delta机械手集中质量分布Fig.2 Mass distributing of Delta manipulator

1.1 主动臂子结构建模

如图3所示，将主动臂简化为一等截面悬臂梁，其质量被均匀地等效到两端点和中间两结点，且将其与从动臂连接的铰链等效为集中质量．为方便计算，暂略去下标．于是，在坐标系 Aia1a2a3下沿 a1、a2和 a3轴的振动方程可表示为

式中：1am、2am 、3am依次为除固定端质量外且沿主动臂近轴端到远轴端方向分布的结点质量，包含远轴端的集中质量m．

由结构力学分析可知，沿1a、2a和3a轴方向的柔度矩阵可分别表示为

式中：Ea为主动臂材料的弹性模量；分别为主动臂子结构截面关于 a1和 a2方向的惯性矩；Aa为截面积．于是，沿 ak( k = 1 ,2,3)方向的刚度矩阵为

由此主动臂动力学方程为

式中

包含从动臂的惯性力和界面对接力，aT为主动臂连体系相对于固定参考系的姿态矩阵．

图3 主动臂坐标系Fig.3 Coordinates of active proximal link

1.2 从动臂子结构动力学建模

如图 4所示，采用与主动臂动力学建模相仿方法，可将从动臂简化为均质细长简支梁．图中B点与主动臂通过球铰连接，C点与动平台通过球铰连接．

图4 从动杆局部坐标系Fig.4 Coordinates of distal link

从动臂质量被均匀地等效到两端点及中间 3个结点上．从动臂在系 B b1b2b3下沿 b1、b2和 b3轴的振动方程可表示为

式中：1bm、2bm 、3bm 、4bm 、5bm 依次为沿从动臂BC方向分布的结点质量．

由结构力学中的位移法分析可知，沿1b、2b和3b轴方向的刚度矩阵可分别表示为

式中：dE为从动臂材料的弹性模量；cI为截面惯性矩；dA为截面积．

由此可得从动臂动力学模型

式中

包含从动臂的惯性力和界面对接力；bT为从动臂连体系相对固定参考系的姿态矩阵．

1.3 动平台子结构动力学建模

根据动平台为刚体的假设，由于受到其他构件弹性变形的影响，动平台相对其理想位姿将发生变形．根据达朗伯原理并忽略高阶项，可得到其在系Oxyz下的平衡方程，即

式中：px、pm、pI分别表示动平台的六维振动广义坐标、质量和惯量矩阵；3E为三阶单位阵；pQ为动平台的惯性力和所受外力之和．

1.4 系统动力学建模

在构造出各子结构动力学模型基础上，现利用子结构边界约束条件导出系统的弹性动力学模型．从动臂i中连杆 j上连接点C(用5cijx 表示)与动平台连接点(用px表示)的变形协调条件可表示为

式中ziR 表示由系到系Oxyz的姿态矩阵．通过变形协调条件式(9)和式(10)可知，各子结构所有坐标u和系统的广义坐标U之间的关系可表示为

将上述各子结构方程叠加，可得系统的弹性动力学方程

代入式(11)并施加边界约束后，可得 Delta机械手无阻尼受迫振动方程为

2 动力学分析

Delta机械手的尺度参数和惯性参数如表1和表2所示．其中，e为机械手静平台和动平台的半径差；H为机械手驱动轴组成的平面与工作空间上表面的距离；1l、aH、aW 和at分别表示主动臂的长、高、宽和截面厚度；2l、dD和dt分别表示从动臂的长度、截面外径和截面厚度．主动臂材质为铝合金，其中aρ和表示铝合金密度和弹性模量；1aI和2aI表示截面惯量．从动臂材质为碳纤维，其中ρd和Ed为碳纤维密度和弹性模量；Ic为圆截面惯量．铰链和动平台的材料分别为结构钢和铝合金，其中 Mm和 Imx、Imy、Imz分别为动平台的质量和转动惯量；Me为单个铰链的质量．表 3分别示出了在点 A ( 0,0,−8 10)和点B(− 5 00,0,− 9 40)通过理论计算和ANSYS软件计算的低阶固有频率对比值，由表 3可知，理论计算频率与仿真计算频率结果基本一致，因此可以验证本文的弹性动力学建模的有效性．

表1 图1中Delta机械手尺度参数Tab.1 Dimensional parameters of Delta manipulator in Fig.1

表2 图1中Delta机械手惯性参数Tab.2 Inertia parameters of Delta manipulator in Fig.1

表3 理论计算和ANSYS软件计算的低阶固有频率对比Tab.3 Comparison of lower frequency between theoretical value and analysis value computed by software ANSYS

3 优化设计

3.1 性能指标

因机械手驱动电机的驱动转速到达一定值时会导致激振频率接近系统的固有频率，导致机构产生严重的振动，故系统的基频间接决定了驱动速度的上界值；此外，系统的基频越大意味着柔性并联机械手带宽越大，当机构激振频率远离基频时，可在完成快速运动的同时保证末端点具有较高的精度．因此，在动态设计的过程中，通常可将在整个工作空间的一阶固有频率的均值作为全域性能评价指标．由式(13)可知，系统的固有频率不仅与机械手的结构参数和惯性参数有关，也与其在工作空间中的位形相关，因此截面参数优化的目标函数为

式中tW表示整个工作空间．设计过程中，整体设计得越粗壮对电机驱动转矩的要求也越高，然而主动臂驱动电机的最大转矩通常满足一定的限制范围，因此，需给定驱动转矩的约束条件为

各设计变量还需满足约束条件

3.2 实 例

给定 Delta机械手的工作空间为直径D= 1 100 mm 、高 h = 250 mm的圆柱体，并采用表 1中的尺度参数，同时选取松下 MHMA系列伺服电机，其输出功率和最大转矩分别为1 kW和14.4 N⋅ m，减速器减速比j=14，因此最大输出转矩τmax=14.4× 1 4 = 2 01.6 N⋅ m ．在机械手的初步设计中，动平台和铰链均基于轻量化设计为质量最轻的定型结构，而机械手的主动臂和从动臂的结构参数较易修改，因而可将其相关的参数均考虑为设计变量，其中包括主动臂矩形截面的高 Ha、宽 Wa和壁厚 ta，以及从动臂圆环形截面的外径 Dd和壁厚 td．因受零件加工和装配的限制，给定 Hamin= 6 4 mm ，Hamax=87 mm，Wamin=43 mm，Wamax= 5 6 mm ，tamin= 3 .5 mm ，tamax=5.5,mm，tdmin= 1 .5 mm，tdmax= 4 mm ， Ddmin= 8 mm ，Ddmax=35 mm．通过分析可将 Delta机械手截面参数的优化问题归结为一类受约束的非线性规划问题．原则上可调用Matlab®Optimization Tool Box中的序列二次规划(SQP)算法求解．然而，上述优化方法并不能直接揭示优化过程，而单调性分析可以通过确定其中若干变量考察剩余变量的变化趋势，因此可以直观地观察各设计变量对优化指标以及约束条件的影响，故可借助单调性分析对计算结果进行如下讨论．

图5 工作空间中随Ha和Wa的变化规律Fig.5 Variations of versus Ha and Wa in workspace

图6 和随ta、td和Dd的变化规律Fig.6 Variations of and versusta，td andDd

由此可见，通过优化分析可使 Delta机械手的一阶固有频率的均值最大．

4 结 论

(1)提出了一种利用子结构位移法快速建立弹性杆子结构动力学模型的方法，在此基础上，导出了Delta机械手线弹性动力学模型，并借助商用有限元软件验证了该模型的有效性．

(2)利用单调性分析完成了截面参数优化设计，通过优化获得一组在满足上述约束条件下使得系统低阶固有频率最高的设计参数．

(3)提出的快速动力学建模以及优化方法具有一般性，故可应用于其他外转动副驱动的高速并联抓取机械手．

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