圆“满”的结局

解婉贞

新一轮的中考又将开始了，回顾上届九年级学生的中考复习，笔者将自己在数学教学复习过程中认为值得保留的资料整理了一下，特别是将有关知识归类、整理，结合学生的实际情况，设计了多节专题复习课。现将关于圆在直线、角的顶点处、几何图形中的运动问题，通过问题背景、解决过程、反思过程等方式呈现出来，希望对数学教学有所借鉴.

一、问题背景

在学生练习中碰到这样一道选择题（2009年佛山市中考题），将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

对于本题，可以说大部分学生无从下手，在不会做的情况下只能靠蒙，还有一部分会动脑的学生可能会拿出两个硬币模拟实验.新课程要求学生必须具备实践与操作的能力，在教学过程中，有些问题既考查学生的空间想象能力和逻辑分析能力，又提倡学生通过实践操作来解决.很显然此题用一个硬币绕另一个固定的硬币滚动，难度很大.那是否可借助于其他两个圆形的工具呢？比如两个圆形纸板，或者两顶草帽，相比较这些工具操作起来稍微容易点，学生可以去尝试一下.但在考试中，不能借助就近的工具解决问题，可能得不偿失，我认为此题缺乏操作性.而任何操作过程都有理论依据，更何况数学强调的是一种思维的严谨性，那么从理论角度该如何阐释呢？此题不仅考查学生初步的建模思想和综合运用与圆有关的知识的能力，还能有效考查学生的空间观念、图形的直觉判断能力和逻辑推理能力.

近年来与圆有关的动态问题成为中考命题的热点，其主要探究圆在运动中与几何图形的位置关系和数量关系，题型有很强的综合性、灵活性和多样性.比如（2009年安徽桐城白马中学模拟三）：如图1，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）

A.4圈B.3圈C.5圈D.3.5圈

（答案：D）

又如（2009年深圳市数学模拟试卷）如图2，将半径为1cm的圆形纸板，沿着边长分别为8cm和6cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度为？摇？摇cm.（精确到0.01cm）（答案：34.28）

图2

这两题很显然都是关于圆绕图形运动的典型问题，对于这类问题的解答涉及除与圆有关的基本知识外，还要结合三角形、四边形等综合知识的应用.如果将圆运动的问题稍作变式，便又有形成新的题型.如（2009江蘇通州通西一模试卷）：图3，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形AOB处，则顶点O经过的路线总长为？摇？摇.（答案：■π）

图3

又如（2010台州中考题）：如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）？摇 ？摇.（答案：（8■+4）π）

图4

此两题都是求点运动的路程，它们的本质可以说是求圆的圆心运动的轨迹，就是各段弧长之和。所以这类问题的解决都可以说是圆动态问题的姊妹篇，如果学生能认识几何图形变换过程中的规律，那么就能举一反三，对问题的解决也就能驾轻就熟了。

二、问题解决

由上述问题可以发现，此类型就是圆关于在直线、角的顶点处、几何图形的运动问题，笔者就结合09年河北省中考卷的阅读理解题，略作改编，以便为学生消除困惑。

如图13-1至图13-5，⊙O均做无滑动滚动，⊙O■、⊙O■、⊙O■、⊙O■均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c.

图13-1

图13-2

图13-3

阅读理解：

（1）如图13-1，⊙O从⊙O■的位置出发，沿AB滚动到⊙O■的位置，当AB=c时，圆心O移动的路程为？摇？摇，⊙O恰好自转？摇？摇周.（答案：c；1）

（2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O■的位置旋转到⊙O■的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O■BO■=n°，则圆心O的移动的路程为？摇？摇，⊙O在点B处自转？摇？摇周.

（答案：■c；■）

设计意图：原中考题中此两题是直接给出圆自转周数的，也没有要求计算圆心的移动路程.很显然圆在直线上或角的顶点处无滑动滚动时，圆自转周数与圆的周长、无滑动滚动距离或角的度数之间有关系.笔者将题目分解，让学生独立尝试解决圆滚动的距离或角的度数.让学生体会圆在运动过程的本质即圆在运动过程中它的形状和大小是不变的，通过增加求圆心的移动路程这个环节，将图形的运动转化为点的运动.学生通过这两题的解答会发现题目中存在的规律，圆心移动的路程与圆自转周数之间的关系.

关于圆做无滑动滚动的问题，需要先进行分类，即在直线上或角的顶点处无滑动滚动，圆自转的周数等于圆心移动的路程，这是利用本例的关键。而对于下面问题的解决可以直接应用（1）、（2）两题得到的规律：圆自转周数与圆的周长、无滑动滚动距离或角的度数之间的关系式.

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB=2c，则圆心O移动的路程为？摇？摇，⊙O自转？摇？摇周；（答案：2c；2）

若AB=l，则圆心O移动的路程为？摇？摇，⊙O自转？摇？摇周.（答案：l；■）

在阅读理解的（2）中，若∠ABC=120°，则圆心O移动的路程为？摇？摇，⊙O在点B处自转？摇？摇周；（答案：■c；■）

若∠ABC=60°，则圆心O移动的路程为？摇？摇，⊙O在点B处自转？摇？摇周.（答案：■c；■）.

（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=■c.⊙O从⊙O■的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O■的位置，圆心O移动的路程为？摇？摇，⊙O自转？摇？摇周.

（答案：■c；■）

说明：通过实践应用这一环节，让学生更加深入的理解动圆问题的实质。第（1）题学生直接应用两个规律，第（2）题是两个规律的综合应用，学生解答应该是游刃有余了。

拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由.

答案：（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了■周.

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O自转了■=1（周）.

∴⊙O共自转了（■+1）周.

图13-4图13-5

（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数.（答案：■+1）

说明：学生解答这两题，需要掌握三角形和多边形的相关知识，首先要对圆的运动方式进行分类，将有关线段的和转化为多边形的周长，有关的角度转化为多边形的外角和再运用上述结论.

回顾本题圆的动态问题类型，圆在沿直线、角的顶点、多边形做无滑动滚动过程中都有一个共性，圆运动的路程与圆心运动的路程是相等的，抓住这个关键点也就找到了同一种类型题的解题方法和所用的数学思想，所谓多题归一吧.因此，对于解决两个硬币问题，自然水到渠成.

那再来回顾一开始的问题：将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

我们可以将两枚同样大小的硬币看做半径为r的圆，则滚动的硬币沿着固定硬币边缘滚动一周，圆心移动的弧长为4πr，而本身滚动一周为2πr，所以滚动的硬币滚动了2圈。问题轻而易举解决了.

如果题目变为如图，如果⊙O的周长为20πcm，有两个同样大小的小球A，B，其半径为2cm，小球A沿⊙O的内壁滚动，小球B沿⊙O的外壁滚动，问小球A，B各转动几圈后才能回到原来的位置？

此题可以说是与上题相同的问题。因为小球A或B本身沿⊙O的内壁和外壁滚动一周时，圆心A或B移动的弧长为4πcm，又⊙O的半径为10cm，所以圆心A在以O为圆心，8cm为半径的圆上，而圆心B在以O为圆心，12cm为半径的圆上，所以小球A沿⊙O的内壁滚动一圈后回到原来的位置时，圆心A移动的弧长为16πcm，小球B沿⊙O的外壁滚动一圈后回到原来的位置时，圆心B移动的弧长为24πcm，所以小球A转了4圈，小球B转了6圈.

笔者当时把这种解决方法的过程呈现给学生的时候，他们都觉得，两个硬币问题也不过是与圆有关的知识应用，不像一开始拿到题时那样束手无策了.学习数学只要掌握了方法，解决任何问题都是有可能的，正所谓“授人之渔”，学会学习.

又如2010山东威海的中考题。如图，在？荀ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm.已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.⊙O在？荀ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止.试求⊙O滚过的路程.

可以发现此题也是圆在直线运动和角的顶点处的运动问题，而⊙O滚过的路程就是⊙O与BC边相切时，又与AB相切时的切点和点E的距离.找到这个关键点此题就不难解决了.

如下答案：

连接OE，OA.

∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F.

∴OE⊥AB，OE=3cm.

∵∠DAB=60°，

∴∠OAE=30°.

在Rt△AOE中，AE=■=■=3■cm.

∵AD∥BC，∠DAB=60°，

∴∠ABC=120°.

设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OB.

同理可得BN=■cm.

∴EN=AB-AE-BN=15-3■-■=（15-4■）cm.

∴⊙O滾过的路程为（15-4■）cm.

三、反思

纵观几何问题中的动态问题，一般分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。而这三类问题都可以相互转化，比如圆的运动问题可以转化为圆心的运动，上述举例中2010台州中考题菱形无滑动的问题也是转化为动点问题.这就要求在教学过程中要引导学生通过实验、操作、观察、空间想象等方法掌握运动的本质，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，那就能找到解决问题的途径.

与圆有关的动态问题有很多，笔者只是选取了一部分，在解这类题型过程中，既需要几何知识又离不开代数知识，可以说是数与形的完美体现.涉及的几何知识有圆的基本知识和三角形、四边形、全等形、相似形，等；代数方面涉及的知识有方程、函数、不等式、坐标、三角函数等；运用到的数学基本思想主要有转化思想、数形结合、分类讨论、方程思想、函数思想等.这些涉及的基本知识、基本技能、基本思想方法，概括能力、推理能力，以及数学建模的理解能力等可以说就是对学生综合能力的考查，也是新课标提倡的追求对数学整体素养的评价效度和信度.