具有泛分解态射的加权Moore-Penrose逆

摘要： 本文研究了范畴￡中具有泛分解态射f=pgq关于对称态射β，γ的加权Moore-Penrose逆，并给出了其存在的充要条件及其表达式.

关键词： 态射泛分解加权Moore-Penrose逆

1.引言及定义

1972年Davis在范畴中引进了态射的广义逆［１］，引起了国内外众多学者的兴趣，对此做了大量的工作，已取得了一系列研究成果.文［2，3］主要研究具有泛分解态射的广义逆，得到了一些重要结果.文［4］主要研究具有满单分解态射的加权Moore-Penros逆，得到了一些重要结果.本文将在文［4］的基础上考虑范畴中具有泛分解态射f=pgq关于对称态射β，γ的加权Moore-Penrose逆，并给出其存在的充要条件及其表达式，推广了文［4］的相应结论.

为方便讨论，首先引进有关的概念.

定义1.1［２］设￡是一范畴，对象X，Y，Z∈￡，态射f∈M（X，Y）.设f可分解成态射的合成：f=pgq，其中p∈M（X，Z），g∈M（Z，Z），q∈M（Z，Y），若存在态射P′∈M（Z，X），q′∈M（Y，Z），使得p′pg=g=gqq′成立，则f=pgq为f的通过对象I的一个泛分解.

定义1.2［４］设￡是带有对合*的范畴，对象X，Y∈￡，f∈M（X，Y）是￡的态射，β∈M（X，X）与γ∈M（Y，Y）是￡的对称态射，若x∈M（Y，X）满足：

（1）fβxγf=f；（2）xγfβx=x；（3）（fβx）=fβx；（4）（xγf）=xγf.

2.主要结果

引理2.1［４］设f∈M（X，Y）为范畴￡中态射，β∈M（X，X）与γ∈M（Y，Y）是￡的对称态射，则以下命题等价：

（1）f关于对称态射β，γ的加权Moore-Penrose逆存在；

（2）存在态射u，v∈M（X，Y），使得ufγf=f=fβfv；

此时有：f=vfu.

定理2.1设f∈M（X，Y）为范畴￡中态射，β∈M（X，X）与γ∈M（Y，Y）是￡的对称态射，f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解，则f存在当且仅当存在对称态射β，γ∈M（Z，Z），使得（pg）与（gq）存在.

证明：“?坩”由pgβ（pg）γpg=pg，gqβ（gq）γgq=gq和f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解得知：gβ（pg）γpg=g，gqβ（gq）γg=g.

令x=（gq）γgβ（pg），则可得x=f.

“?圯”取β=i，γ=i，由f的定义可得fβfγf=f，即得pgqβfγpgq=pgq，再由f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解得gqβfγpg=g.

令x=gqβf，y=fλpg，直接验证可得x=（pg），y=（gq）.

定理2.2设f∈M（X，Y）为范畴￡中态射，β∈M（X，X）与γ∈M（Y，Y）是￡的对称态射，f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解，g=g，则以下命题等价：

（1）f关于对称态射β，γ的加权Moore-Penrose逆存在；

（2）存在态射ρ，σ∈M（X，Y），使得ρfγpg=g，gqβfσ=g；

此时有：f=（σgq）f（pgρ）.其中ρfγpg=g，gqβfσ=g.

证明：（1）?圯（2）令x=f，由p（gqβxγxβ）（fγpg）q=fβxγfβxγf=pgq，

可得：（gqβxγxβ）（fγpg）=g，令ρ=gqβxγxβ即得.

再由p（gqβf）γxβxγpgq=fβxγfβxγf=pgq.可得：

（gqβf）γxβxγpg=g，σ=γxβxγpg.

（2）?圯（1）若ρfγpg=g，gqβfσ=g，则pgρfγpf=f=fβfσgq，由引理2.1［４］得：f=（σgq）f（pgρ）.

参考文献：

［1］Davis DL，Robinson DW.Generalized inverse of morphisms［J］.Linear algebra application.，1972，5：319-328.

［2］江声远，刘晓冀.具有泛分解的态射的广义逆［J］.数学学报，1999，42，（2）：233-240.

［3］曹永知，朱萍.关于具有泛分解的态射的广义逆［J］.数学学报，2001，44，（3）：559-566.

［4］朱萍，曹永知.态射的加权Moore-Penrose逆［J］.数学物理学报，2001，21A，（1）：36-42.

［5］刘晓冀，张仕光.具有核的态射的w-加权Drazin-逆［J］.数学物理学报，2009，21A，（3）：741-750.

［6］Wang Guorong，etc.，“Generalizedinverses：Theory and Computations”，Science Press，Beijing/New York，2004：26-33.

基金项目：河北省高等学校科学研究计划项目（Z2010188）