浅析初中数学中的数形结合思想

黄艳曦

我国著名的数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这句话说明了“数”和“形”是紧密联系的。“数”和“形”是数学的两根柱石，所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合来探索解决问题的思路，从而使问题得以解决的思想方法。关于“数形结合”思想在初中数学中的运用，我总结了几点自己的看法与大家交流。

一、数形结合思想在初中数学中的重要性。

数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想，贯穿于整个中学数学始终，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其运用大致可以分为两种情形：借助于形的生动和直观性来阐明数之间的联系，比如运用函数的图像来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，如运用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合即以数作为手段，形作为目的，用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，从多个角度探索问题，对思维能力的发展大有裨益。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，养成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，又是进行数学素质教育的一个切入点。

二、教学中渗透数形结合思想，形成用数形结合分析问题的意识。

纵观近年来的中考，熔“数”和“形”于一体的试题屡见不鲜。目前我们使用的新课本，不再把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合，因此数学教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，拓展知识，提高能力都有很大的帮助。运用数形结合思想不仅直观、易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。所以要注意培養这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维。

下面通过几个例题的分析给予解评。

例1：数形结合与函数问题

解析：这是一道三角函数问题，如果没有图形，学生将较难理解题目，感觉到无从下手。有了图形，可以将数形结合起来，通过“数”与“形”的转化将抽象问题具体化。

解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD.

答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近.

由以上的几个例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常清晰，步骤非常明了。另外，在学生学习过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。

三、培养学生对“数形结合”思想方法的兴趣。

数形结合的思想方法，不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。以往的数学题是单纯地对于“数”或“形”这样的单个个体而展开的，而数形结合思想却同时包含了“数”和“形”两个对象，研究对象可由“数”转变为“形”，也可由“形”转变为“数”，学生要改变以往单一的处理符号信息或者是图形信息的操作，要将两种信息同时进行操作，将原本看上去无关的代数和几何融合在一起，甚至是将其融会贯通。这就给学生的学习加大了难度，也打击了学生学习数学的激情和降低了学生学习数学的热情。因此，培养学生对“数形结合”的兴趣显得尤为重要。我认为可以从以下几个方面入手。

1.将数学与实际生活联系起来，让学生在生活中感受“数形结合”思想。如每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看做是一条直线，教室里每个学生的座位，等等。我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来。在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图像，二元一次方程组的解与一次函数图像之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。

2.培养学生发掘数学的美感。数学家哈代曾说：“数学就像画家的颜色或者诗人的文字一样，一定会和谐地组合在一起。美感是首要的试金石，丑陋的数学在世界上是站不住脚的。”数学美感在生活和情感等方面的体现，如果在数学教学中揭示数形结合思想同时也能够使学生享受到美感，就能激发学生学习和运用数形结合思想的兴趣，从而大大地增强他们的学习效果。如黄金分割在生活中的运用，举世闻名的完美建筑古希腊帕提依神庙，建筑师们发现由于高和宽的比是0.618，按照这样的比例进行建筑设计，建筑物会更加壮观。教师在教学中引导学生体会数形结合的美感，增强他们对数形结合思想的兴趣，从而更加积极地学习和运用数形结合思想。

3.通过典型例题让学生感受和分析数形结合思想，并反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。并引导学生在运用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。另外，加强相应练习，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的主动运用。

四、结论

数学家乔治·波利亚曾说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”数形结合思想作为数学思想方法中重要的一员，具有重要的地位和作用。教师可以利用现有教材，在教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握数形结合的思想方法，结合其他数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合运用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，相信这会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。