运用几何方法证明凸透镜成像规律

李越

摘要： 本文通过作图及一些简单的几何推导，证明了凸透镜成像规律，通过将数学知识运用在物理知识的学习上，帮助学生轻松掌握凸透镜成像规律。

关键词： 作图法几何证明凸透镜成像规律

对初二的学生，如果仅凭在课堂上做实验而完全清晰记忆凸透镜成像的规律就是非常困难的。许多老师会给学生一个表格帮助记忆，但容易混淆，往往效果不佳。我们认为学生不仅应该知道一个知识点“是什么”还应该知道“为什么”。这种学习方法能帮助学生养成良好的学习习惯，高效理解与掌握所学知识。数学是物理学习的工具，恰当地运用数学知识有助于物理知识的理解。初二的学生已经掌握一定的几何证明知识，通过跨学科知识迁移将其运用在凸透镜成像规律的理解上，在激发学生学习兴趣的同时还能帮助学生轻松掌握相关知识。

1.凸透镜成像基本原理

凸透镜成像中两条特殊的光线是我们运用几何证明的基础：通过凸透镜光心的光线传播方向不变；跟主光轴平行的光线通过凸透镜后过焦点。

明确描述像的几个方面：成像位置，成虚像或实像，放大或缩小的像，正立或倒立的像。

2.作图与几何证明

为了更好地运用几何知识帮助理解凸透镜成像规律，我们先处理两个特殊位置。（f为一倍焦距长）

2.1一倍焦距

物体放在焦点处，作图：

证明物体在二倍焦距处成等大倒立的实像：过B点作BD∥AC交主光轴于点D，连接CD，此时我们不知道D点是否在二倍焦距处，CD长是否与物体等大，下面给出证明。

第一步：证明所成的像在二倍焦距处

∵AC∥BD

∴∠AOB=∠DBO

∵BO=BO，∠ABO=∠DOB=90°

∴△ABO≌△DBO

∴DO=AB=EO=2f

第二步：证明所成的像是等大的

∵FO=DF，∠OFC=∠DFB，∠FCO=∠FBD

∴△FCO≌△FBD

∴OC=BD

∴四边形OCDB是平行四边形

∴CD∥OB

∴∠CDO=∠DOB=90°

∴CD=OB=AE

通过证明我们得到D点在二倍焦距处，并且所成的像为倒立等大的。

这个数学证明过程相对简单，初二的学生完全可以理解。通过这样一种严格的逻辑推导证明，学生对当物体放在二倍焦距处所成像的特征有了深刻的理解，且方便记忆。

2.3一倍二倍焦距之间

物体放在一两倍焦距之间，作图：

我们把此时的成像情况与物体在二倍焦距处所成的像进行对比。平行主光轴的光线经过凸透镜方向不变，即BD与BC同向；经过光心的光线：AO与主光轴的夹角比AO与主光轴的夹角大，那么AO与BC的交点自然会向右移到D点，所成的像就在二倍焦距以外，并且是放大倒立的。

2.4二倍焦距以外

物体放在二倍焦距以外，作图：

此时的成像情况依然与物体在二倍焦距处所成的像进行对比。分析方法同2.3，所成的像就在一倍二倍焦距之间，并且是缩小倒立的。

2.3和2.4的成像情况都与2.2相比，当物向右移，像向右移，且放大；当物向左移，像向左移，且缩小。显然，二倍焦距是成放大或缩小像的分界点。

2.5一倍焦距以内

物体放在一倍焦距以内，作图：

由图可知：此时所成的像是正立的放大的虚像。显然，一倍焦距是成正立或倒立，虚像或实像的分界点。

3.总结

本文通过运用简单的几何知识和严格的逻辑推导，证明了物体在不同位置时凸透镜成像的规律。不仅让学生学会了知识本身“是什么”，还知道“为什么”，加深其对知识的理解、掌握与记忆，有助于知识的应用。教学中我们可以大胆尝试将不同学科的知识运用于物理知识的学习中，通过跨学科知识迁移激发学生学习兴趣的同时，让学生体会学以致用的乐趣与成就感。

参考文献：

［1］雷菊元.运用作图帮助理解凸透镜成像的规律［J］.数理化学习，2010.10.

［2］周尚智.浅谈用作图法研究凸透镜成像的规律［J］.铜仁学院学报，2007.6.