简谐振动动能、势能相位的讨论研究

林琳 李继军 迎春

摘要： 本文从大学物理中的简谐振动的定义、简谐振动方程推导出其动能势能表达式，通过对动能、势能表达式的分析，以及动能、势能与时间的关系曲线图，指出关于在动能、势能相位问题上给学生带来误导的原因，并给出了产生这种误解的来源所在。

关键词： 简谐振动能量相位

简谐振动的能量，分开来说指的是动能和势能，这本来是很简单的问题，但涉及动能、势能的相位时往往会给学生在理解上带来很大的困扰。本文从简谐振动能量方程的推导、能量时间曲线出发，分析产生的这种困扰的原因所在及解决方法。

1.简谐振动动能、势能方程

简谐振动是一种最简单、最基本的振动，它一种服从正弦规律或余弦规律的振动，其振动方程为：

x=Acos（ωt+φ）（1）

从（1）式可以求出速度、势能

υ=-Aωsin（ωt+φ）（2）

E=kx=kAcos（ωt+φ）（3）

从（1）式可以求出动能

E=mυ=kAsin（ωt+φ）（4）

对上面的（3）式（4）式进一步化简整理得

E=kx=kAcos（ωt+φ）

=kA+kAcos［2（ωt+φ）］（5）

E=mυ=kAsin（ωt+φ）

=kA-kAcos［2（ωt+φ）］（6）

对（6）式变形得到（7）式，

E=kA-kAcos［2（ωt+φ）］

=kA+kAcos［2（ωt+φ）+］

=kA+kAcos［2（ωt+φ）+π］（7）

根据动能方程（7）、势能方程（5）画出动能、势能与时间的曲线，如图1所示，为方便起见，在这里取φ=0。

误区1从（3）式和（7）式学生很容易理解成动能势能是反相位，更何况有些教材给出的也很笼统，比如教材中给出，振子的动能和势能是互补变化的，相差［１］π，这里就很容易理解为相位相差［１］，而有的教材给出对于机械波来说，体积元的动能和势能具有相同的相位，与单个质点的简谐振动不同，那里动能势能相位π/2有的差值［２］。在这学生就会误解，简谐振动的动能和势能的相位究竟是相差多少？是π还是π/2？

误区2从动能势能与时间曲线上看，动能与势能也是反相的，那是不是它们的相位相差π呢？

2.解决方式

对上述的误区怎样去处理？从根本上解决应该是正确理解相位的概念，无论哪本大学物理教材，对相位的定义都是相同的，即量值（ωt+φ）叫做振动的相位，它是决定简谐运动物体运动状态的物理量。在t=0时，相位（ωt+φ）=φ，叫初相位。而误区1正式对相位的理解有误，把2（ωt+φ）理解为一个整体了，从而进入理解上的偏差。

针对误区2，其本质仍是来源于误区1，即对相位理解得不够透彻，导致结果错误。另外，可以从能量的角度分析，关于简谐振动的能量，文献［３］、［４］做了详细的讨论，在这里就不再做讲解了，简谐振动的机械能量是守恒的，也就是说当振子动能和势能是互补的，动能为零时，势能最大，此时振子在正的最大位移处或在负的最大位移处；当动能最大时，势能为零，振子在平衡位置，这期间相差的时间间隔是△t=T/4，相应的动能势能相差的相位是△φ=T/4×2π=π/2。

3.结论

本文从基本的简谐振动方程、动能势能的数学表达式出发，找出产生在理解动能、势能相位误解的原因。从教学的观念上，对教师来讲，在给学生讲解振动能量时会提示给学生，让学生理解得更透彻；从学生本身来讲，自学起来也不容易造成理解上的错误。

参考文献：

［1］内蒙古工业大学物理系编.大学物理.内蒙古大学出版社，2008，80.

［２］马文尉，解希顺，周雨青.物理学（下）.高等教育出版社，2006，56.

［３］杨植宗.用E=kA求谐振动系统振幅方法应注意的一个问题.物理与工程，2005，15，（4）.

［４］邱逸荒.谐振动系统能量E+Ep=kA的涵义.物理与工程，2007，17，（2）.