三招破解《解直角三角形》应用题

2012-04-29 00:44洪三球
考试周刊 2012年13期
关键词:数学模型应用题

洪三球

摘 要:能否高效解决解直角三角形应用题,是关系中考能否取得优秀成绩的重要一环.本文从构造三种数学模型这一角度入手,给考生们提供了几种便捷地解决这类问题的方法.

关键词:应用题 解直角三角形 数学模型

应用题在解直角三角形这一章中有着十分重要的地位,它使抽象的三角函数理论与实际生活紧密地联系在一起,较好地体现了数学来源于生活又应用于生活的特性,很好地贯彻了新课程标准关于理论联系实际的思想,是历年中考的必考题型.能否准确高效解决这类问题直接决定学生能否取得好成绩.

我在中考复习迎考中构造了三类数学模型,灵活运用这三类模型能够使学生便捷、正确地解决这一类问题。

一、构造一个直角三角形模型

这一类问题一般比较简单,关键在于构造出一个直角三角形,把相应的边和角都归纳进这个三角形,然后用适当的边角关系解决相应的问题.

例1(南通市中考题):一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行,上午8时,该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处(如图1-1),上午9时行至C处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是 海里(结果保留根号)。

分析:因为灯塔在C的正北,可构造如图所示的直角三角形ABC,又AC=20,∠BAC=60°,所以由正切函数可计算出BC.

解:在Rt△ABC中,

∵∠ACB=90°,∠BAC=90°-30°=60°,

又∵AC=20×1=20,

∴tan60°=,BC=AC tan60°=20×=20.

例2(苏州市中考题):苏州的虎丘塔塔身倾斜,却历经千年而不倒,被誉为“中国第一斜塔”(如图1-2).BC是过塔底中心B的鉛垂线,AC是塔顶A偏离BC的距离,椐测量,AC约为2.34m,倾角约为2°48′,求虎丘塔塔身AB的长度.(精确到0.1m)

分析:因为BC是铅垂线,所以与地面垂直,AB是斜线,要解决该问题,必须构造直角三角形,故过塔顶A作BC垂线垂足为点C,放在Rt△ACB中解决该问题.

解:在Rt△ACB中,

∵∠ACB=90°,∠ABC=2°48′,又AC=2.34

∴ tan2°48′=,

即AB=AC•cot2°48′=2.34 cot2°48′=47.8m.

二、构造两个直角三角形模型

如图2-1,已知AB⊥CD,∠ACB=α,∠ADB=β(或者其他的两个角),CD=d(或其他任一边的长度),求AB及其他边的长度.

这类模型又分两种情况分别解决不同的问题.

第一种情况:点C,D在边AB的同侧(如图2-1),利用这两个直角三角形的边角,边边关系构造方程组解决诸如测量中的俯角,仰角,轮船在大海中航行中的方位角等问题.

例3(天津市中考题):如图2-2,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,一小时后到达B处,测得灯塔M在北偏西45°,问该货轮到达灯塔正东方向D处时,货轮与灯塔M距离是多少?(精确到0.1海里,≈1.732)

分析:因为D在M正东方向,AB是正北方向,所以MD⊥AD,即构造了两个直角三角形:Rt△ADM和Rt△BDM.在这两个直角三角形中利用边角关系构造方程组,即可解决问题.

解:不妨设MD=x,DB=y.

又∠MAD=30°,

∠MBD=45°,AB=20×1=20,

在Rt△BDM中,∵tan∠MBD=,

∴tan45°=①

在Rt△ADM中,∵tan∠MAD=,

∴tan30°=②

解这个方程组得x=10(+1)≈27.3,y=10(+1))≈27.3.

所以该货轮到达灯塔正东方向D处时,货轮与灯塔M距离约为27.3海里.

第二种情况:点C,D在边AB的异侧(如图3-1),利用这两个直角三角形的边角、边边关系构造方程组也能解决一系列问题.

例4(中考预测题):如图3-2,平地上有一建筑物AB和铁塔CD相距60m,已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30°,又测得塔顶的仰角为45°,求铁塔的高(精确到0.01米).

分析:本题需构造直角三角形,可从点A引CD的垂线,垂足是点E,得到两个Rt三角形,在这两个三角形中利用边角关系构造方程组,即可解决问题.

解:作AE⊥CD,交CD于点E,不妨设CE=x,DE=y.又∠DAE=30°,∠CAE=45°.

在Rt△ADE中,∵tan∠DAE=

∴tan30°= ①

在Rt△AEC中,∵tan∠CAE=

∴tan45°=②

解这个方程组得x=60

y=20

∴DE=60+20≈94.64

答:铁塔的高度为94.64m.

例5(常州市中考题):如图3-3,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼,甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处,此时甲船发现渔具丢在乙船上,于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶,结果两船在B处相遇。

(1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间?

(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?

分析:因为乙船速度始终没有改变,本题应从乙船入手,若能求出AB的长度,则可求出乙船所用的时间,从而可求出甲船追赶上乙船用了多少时间.构造直角三角形,可过点A引CB的垂线,垂足是点E,得到两个直角三角形,利用边角关系可求出AB的长度.

解:过点A引CB的垂线,垂足是点E,又∠ACE=45°,∠EAB=60°.

在Rt△ACE中,∵sin∠ACE=,即sin45°=

∴AE=AC.sin45°=•30•=30

又∵CE=AE

∴CE=AE=30

在Rt△AEB中,∵cos∠BAE=

∴AB===60

又∵tan∠EAB=

∴EB=AE•tan∠EAB=30•tan60°=30

∴CB=CE+EB=30+30

从而,乙船所用时间:==4小时

甲船从C处追赶上乙船用时间是:4-2=2小时

甲船追赶乙船的速度是:CB=(30+30)=(15+15)千米/小时

三、作梯形的高,构造直角三角形模型

如图4-1,在梯形ABCD中过点A,D分别作梯形的高AE,DF可构造出两个三角形,利用坡度与正切函数的关系解决相应问题.

例6(中考预测题):如图4-2,梯形ABCD是一堤坝的横截面示意图,坡角∠C=60°,AB的坡度=,坝的上底宽AD=10m,斜坡CD长为8m,求其截面面积.

分析:要求梯形截面面积需要求出下底BC与梯形的高,所以过A,D作梯形的高AE,DF,构造两个直角三角形:Rt△AEB和Rt△DFC.放在这两个三角形中解决问题。

解:过点A,D作AE⊥BC,DF⊥BC垂足分别为点E,F,可得EF=AD=10.

在Rt△DFC中,∵sin∠DCF=

∴DF=DC•sin∠DCF=8•sin60°=4

又∵∠CDF=30°

∴FC=DC=4

在Rt△ABE中,∵i==,又AE=DF=4

∴BE=2AE=2•4=8

∴S梯形ABCD=•DF

=•4=(48+48)

所以,该堤坝的截面面积为(48+48)m.

显然,在解答直角三角形应用题时,构造适当的数学模型能提高同学们分析问题、解决问题的能力,大大简化运算,广大教师在复习迎考中应注意到这一点.

参考文献:

[1]郭奕津.新教材完全解读.吉林人民出版社,2005.11.

[2]薛金星.中学教材全解.陕西人民教育出版社,2005.12.

[3]占春生.教材动态全解.东北师大出版社,2009.11.

[4]新课标初中拓展强化导学练.江苏人民出版社,2009.12.

[5]中学数学教学参考.陕西师大出版社,2010.9.

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