基于瞬态场路耦合模型的变压器直流偏磁计算

潘 超 王泽忠 李海龙 刘连光 张 科 郭若颖

（1.华北电力大学电气与电子工程学院 北京 102206 2.东北电力大学电气工程学院 吉林 132012 3.新乡供电公司 新乡 453002 4.太原供电公司 太原 030009）

1 引言

HVDC、GIC中变压器的直流偏磁计算与分析是备受重视的前沿课题。变压器电磁场计算通常采用有限元法直接在时域求解场域方程，计算量大、效率低[1]。瞬态场路耦合模型将变压器瞬态电磁场计算分解为场和路的耦合计算，用场模型计算动态电感，以路模型求解瞬态过程，从而降低求解难度，提高计算效率。文献[2]采用T法建立变压器场路耦合三维模型，分析其突发短路，但T法求解多连通问题困难，文中只针对单连通模型进行分析，未考虑变压器的整体磁路。由于T-φ法处理多连通问题难度较大，目前大都采用A-V法计算变压器磁场[3]。文献[4]研究表明，节点有限元方法计算包含高磁导率材料的三维磁场模型时误差较大，而棱边有限元方法能够良好处理高磁导率材料的边界问题，误差较小。

另一方面，变压器瞬态场路计算考虑模型的端口特性、材料属性和电磁特性，采用场路耦合的形式处理内部电磁过程与外端电路约束[5]。二维变压器场路模型具有较高的精度和效率，但是仅可作为局部场域的近似处理，只能用于特定运行方式或模型特性的分析[6,7]。S. L. Ho等人采用状态空间法求解变压器三维非线性瞬态场，有效缩减了运算时间，但精度不高[8]；随后提出基于能量平衡原理的瞬态涡流场计算方法，并验证该方法具有较高的准确性[9]。

研究变压器直流偏磁时动态参数与非线性励磁的对应关系和变化规律具有显著的实际意义，但目前罕有相关文献进行深入研究。本文基于棱边有限元方法建立变压器三维磁场模型，利用能量扰动原理计算动态电感，结合四阶龙格库塔法计算瞬态电流，通过瞬态场路耦合方法分析直流偏磁时耦合参数的变化和对应关系。讨论不同直流注入方式下变压器的直流偏磁效果，在空载和负载运行时分析直流扰动对变压器励磁电流、动态电感与漏电感、主磁通与漏磁通的影响，归纳其变化规律。

2 场路模型

单相三柱式双绕组变压器直流偏磁的场路模型如图 1所示。Φa,b、Φ0分别为铁心主磁通和绕组漏磁通，L、M表示自感与互感，UDC为直流电压源。

图1 变压器场路模型Fig.1 Magnetic and electric circuit model of transformer

2.1 磁场模型

棱边有限元法采用矢量磁位A，根据 Maxwell得到非线性磁场方程：

式中，μ为导磁材料的磁导率；J为电流密度，需要通过电路等效参数计算获得。

棱边单元插值函数为

式中，{Mn,n=1, 2, …,nn}为基函数序列，由相关单元形状函数Nl对应叠加形成，n为基函数序列通项编号，nn为总项数（总棱边数）。

应用格林定理，得伽辽金加权余量方程：

式中，Mm为基函数序列，且权函数与基函数相同。若已知电流i，将权函数代入方程（2），针对全部权函数，将加权余量方程离散形成代数方程组，求解可得所有节点或棱边上的A，进而计算其他场量，如B和H等。

2.2 电路模型

绕组电动势E=dψ/dt，变压器磁链方程

式中，ψ为磁链矢量；i为绕组电流矢量；LS为静态电感矩阵，表示磁链与电流的关系。

推导变压器电路系统的瞬态微分方程：

式中，u为电压向量；LD为动态电感矩阵，表示载流线圈与铁心的电路行为，需根据磁场模型计算。

3 直流偏磁瞬态场路耦合模型

利用瞬态场路耦合模型分析变压器直流偏磁问题时，动态电感和瞬态电流为关键耦合参数[4]。

变压器载流线圈组成磁场系统，其磁场能量在数值上等于该系统建立过程中外部电源提供并转化的能量。根据能量扰动的思想，当线圈电流增加δi(δ=0～1)时，产生磁链δψ，端口电压需施加增量δu=d(δψ)/dt，以抵消线圈中的感应电动势。外部电源提供的能量增量为 dW=δuδidt=δiψdδ，于是得到

若线圈电流增量为Δip，将动态电感与磁场能量和激励电流关联：

线圈体电流分布磁场系统的磁场能量为[9]

由电流增量ΔIi引起的场量变化为ΔH、ΔB，计算该系统的能量增量：

方程（6）、（8）能量相等，则可计算动态电感LD。

由式（4）推导存在直流源时变压器电路微分方程的矩阵形式

采用四阶龙格库塔方法由tk时刻的线圈电流ik计算tk+1时刻的ik+1。

式中，h为步长，s1～s4为步长内的分段计算斜率。

利用动态参数LD与瞬态激励i，可以计算变压器瞬时漏磁场。引入变压器电压比k，将两侧电压、电流及动态参数归算至激励侧，对式（9）进行等值变换，变压器直流偏磁的T形等效电路微分方程为

4 直流偏磁计算与分析

选取单相三柱式变压器，额定电压450/220V，频率为50Hz，绕组匝数100/48。为便于计算，建立八分之一磁场简化模型并求解，编写龙格库塔法程序计算电路模型，分析变压器直流偏磁。

4.1 直流注入方式的讨论

变压器直流注入的方式有三种[10]：①直流源在一次侧，相当于三相组式变压器从中性点引入直流对单台变压器的影响；②直流源在二次侧，用于单相变压器空载时遭受直流偏磁的分析和实验；③一次、二次侧均含有直流电流，相当于实际500kV、220kV等电压等级的三相变压器两中性点分别接地。文献[11]计算不同直流注入方式下变压器的励磁电流时，结果中包含了直流分量，因此差别较大。

利用瞬态场路耦合模型，对注入方式1、2下变压器的直流偏磁进行仿真。空载运行时方式1中一次侧串联直流电压源UDC1；方式2的一次侧激励不变，二次侧接直流电流源IDC2，等效至一次侧的直流量与方式1相等，IDC=50%I0、100%I0时的计算结果如图2所示。

图2 不同直流注入方式的一次、二次电流Fig.2 Currents of different DC injecting ways

图中i1、i2为去掉直流分量的一次、二次电流。由于直流引入方式和初值的不同，计算两种注入方式时的过渡过程也不相同，因此对比计算稳定后的结果。空载运行时i1为励磁电流ie，由于u→dψ/dt→dΦ/dt→B~H→ie的电磁耦合关系，ie为对称波。当直流电流相同时，两种注入方式下ie相同，并且随着IDC的升高而增大，ie波形畸变情况一致。负载运行时ie=(n1i1-n2i2)/n1，n1、n2为匝数。ie的波形对称，i2波形接近正弦，i1为n1ie与n2i2的叠加，由于ie和i2的相位差，i1为非对称波。对比图2a和图2b，不同注入方式下i1、i2、ie的波动规律相同。

表1给出空载运行直流偏磁时最大励磁产生的铁心磁通，其中Φa,b同图 1，表示铁磁回路磁通，Ba,b为平均磁感应强度。不同直流注入方式下，IDC在不同侧绕组流动使铁心磁通存在较小的差别；随着直流电流增大，铁心饱和程度加深，励磁电流波形畸变，IDC相对于励磁电流的影响逐渐变小；IDC=100%I0时两种方式的铁心磁通相等。

表1 空载运行直流偏磁最大励磁时的铁心磁通Tab.1 Largest flux of core in DC bias with no load

负载运行直流偏磁最大励磁时的铁心磁通结果见表 2。变压器设计磁通Φ1=0.047 2Wb，平均磁通密度Bavg=1.50T，计算值与设计值基本相同；不难看出，两种注入方式下铁心磁通的差别很小。

分析不同注入方式下的交流漏磁通Φ01、Φ02，不考虑直流电流产生的漏磁通时两者的差别很小，如图3所示。

表2 负载运行直流偏磁最大励磁时的铁心磁通Tab.2 Largest flux of core in DC bias with load

通过对不同直流注入方式的计算比较，得出结论：两种注入方式的直流电流对变压器励磁产生的影响一致，不同注入方式均能有效模拟变压器直流偏磁时的励磁饱和情况。另外，可以应用方式1与方式2的分析方法对方式3进行讨论。本文采用方式1研究变压器空载和负载运行的直流偏磁。

4.2 空载运行直流偏磁计算

计算变压器空载运行时的直流偏磁情况。空载运行直流偏磁时的一次交流i1(ie)如图 4a所示。随着IDC增大，ie波形畸变加剧。无直流时，动态电感L1在励磁的正负半周为对称波形，其变化规律与ie对应，ie增大时励磁饱和程度加深，电感减小，ie减小时励磁趋于不饱和，电感增大。当存在直流时，L1受直流偏磁水平影响，正负半周不对称，如图4b所示。研究表明，随着直流电流增大，变压器励磁饱和程度加深，ie波形畸变，L1受励磁影响在励磁的正负半周不对称程度加剧。

图4 空载运行直流偏磁的耦合参数Fig.4 Coupling parameters in DC bias with no load

4.3 负载运行直流偏磁计算

变压器负载运行直流偏磁的计算结果如图5所示。

图5 负载运行直流偏磁耦合参数Fig.5 Coupling parameters of DC bias with load

与空载运行励磁情况相同，负载运行时铁心饱和程度受直流影响。IDC增大，i1、ie波形畸变加剧，i2同时受到影响。由图5可以确定动态电感变化与励磁非线性的对应关系，自感的波峰、波谷分别表示铁心励磁处于非饱和区与饱和区，互感则相反。ie接近零值时，铁心励磁处于非饱和区，LD数值趋于最大；当ie达到各半周内极值时，励磁饱和程度最深，LD数值最小。对比两种运行方式的直流偏磁结果，瞬态励磁和动态参数变化规律基本相同。

分析负载运行直流偏磁时直流电流对二次侧交流的影响。IDC较小时，对i2的影响并不显著，随着IDC增大，励磁最大时的i2发生明显变化。分析其原因，可能由漏磁变化所导致，计算漏磁如图7所示。

图6 负载运行直流偏磁时的漏电感与漏磁通Fig.6 Leakage inductance and flux in DC bias with load

IDC=0时，一次、二次动态漏电感波动平稳，如图6a所示，总漏电感LΣ0近似为常数，这与罗柯夫斯基函数的结果基本相同[12]。IDC升高时，铁心励磁饱和程度加深，在最大励磁区域内漏电感波形畸变，一次绕组漏磁通增大，IDC=100%I0时一次侧漏磁通约为正常运行时的4倍，此时二次绕组交链的主磁通减少，感应电流i2变小，如图 6b所示。该降压变压器的一次绕组设计在二次绕组的外侧，直流偏磁时一次漏磁增加可能导致变压器油箱等构件的涡流损耗增大，温度升高。

5 实验验证

实验变压器型号为 BK300，参数见表 3。令IDC=KI0，K为比例系数。当0≤K≤2时，变压器空载直流偏磁时的计算结果与实验结果如图7所示。

表3 实验变压器参数Tab.3 Parameters of an actual transformer

空载运行直流偏磁时励磁电流波形的计算结果与实验测量基本相同；两者存在较小的差别，可能由磁滞导致，在直流偏磁情况下，两者误差更小，验证了瞬态场路耦合方法的有效性和正确性。

磁暴引起的GIC监测研究表明，国际上高纬度地区监测到的GIC可达100A以上，有的自耦变可达到200A；国内已监测到的GIC达到75A 。HVDC测量表明，如果在不同接地点存在直流或电位差，换流变压器中的IDC最大可达 40～50A，自耦变可达 25A[15,16]。关于变压器直流限值问题，国内外并无定论。目前国内500MVA及以上变压器的空载电流I0约1～3A，部分自耦变的I0约7～10A。变压器的额定电流为IN，导则规定直流偏磁时的IDC应小于0.7%IN，加拿大魁北克电力公司提出每相IDC≤200%I0时，直流偏磁的影响可以接受[17,18]。中南电力设计院专家提出交流电力变压器应能承受IDC≥10A时的直流扰动，ABB公司确定三峡直流输电工程换流变压器的允许直流IDC≤10A[19,20]。

图7 空载实验与计算结果Fig.7 Results of test and computation with no load

为充分考虑直流偏磁对变压器造成的影响，对0≤IDC≤10I0时的偏磁情况进行计算，考察i1不含直流电流时，其峰值imax与K的关系。

如图8，随着比例系数K的增大，变压器励磁饱和程度加深，ie畸变严重，L1受励磁影响在正负半周不对称。当K≥4时，铁心严重饱和，imax与K近似呈线性关系。

图8 不同K对应的imax值Fig.8 Different K and corresponding imax

6 结论

通过研究单相变压器直流偏磁，得出结论：

（1）利用瞬态场路耦合方法计算瞬态电流和动态电感，可以反映出变压器磁场与电路等效参数在直流扰动下的变化规律。空载直流偏磁的电流计算结果与实验基本相同，验证了该方法的正确性。

（2）直流电流在一次侧或二次侧注入都能有效模拟变压器在直流偏磁时的饱和励磁情况，两种注入方式下的交流电流计算结果基本相同。

（3）空载运行直流偏磁时励磁电流的波形畸变，动态电感在励磁的正负半周波形不对称。负载运行时一次、二次电流受直流和励磁的影响，波形不对称，耦合参数的变化规律与空载情况相同。

（4）负载运行直流偏磁时动态漏电感波形畸变，一次绕组漏磁通增大，二次绕组铰链的主磁通减少，感应电流变小。由于外侧一次绕组的漏磁通增大，可能造成变压器油箱等涡流损耗增大。

（5）当直流电流超过一定数值时，变压器发生偏磁时的励磁电流峰值与直流电流近似成线性关系，这一结论对于处理实际变压器的直流偏磁问题具有指导意义。

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