广义Boolean-like环

2013-03-23 05:37
关键词:同理同构广义

秦 蕊

(杭州师范大学理学院,浙江杭州310036)

若环R中元素都为幂等元,即对任意x∈R有x2=x,则称环R为Boolean环.在1980年,Tominaga将Boolean环推广为广义Boolean环[1],同时Swaminathan也对Boolean环的另一个推广Boolean-like环作了相关介绍[2].众所周知,Boolean环是一类特殊的周期环,早在1985年,Abu-khuzam和Ohori等人就对周期环的结构和性质作了相关研究[3-4].后来,Abu-khuzam的广义J环[5]也为本文提供了重要思想,并且在其近期的Boolean-like环[6]中,对Boolean-like环作了详细说明.在以上基础上,进一步研究Booleanlike环,其主要目的是给出了一种建构广义Boolean-like环的方法,阐述相关的性质及构造若干广义Boolean-like环的例子.文中设N表示所有幂零元素的集合,E表示所有幂等元素的集合.

定义1 环R叫做广义Boolean-like环,如果在R中任取元素a,b都有(a-a2)(b-b2)仍是R中的幂零元.

定义2 设R是交换环,不是零因子,.对加法和乘法定义如下:任取,这样.

s(a1d1-b1c1)=0,t(a2d2-b2c2)=0.

引理2 在广义Boolean-like环中任意非零因子都是可逆的.

证明 设x∈R,那么(x-x2)∈N,进而(x-x2)n=0,因此xn=xn+1g(x),g(x)∈Z[x],这样得到xn(1-xg(x))=0.因为xn≠0,所以1-xg(x)=0,故xg(x)=0.

这就证明了x是可逆的.

定理1 若R是可交换的,Q(R)是一个广义Boolean-like环当且仅当R是广义Boolean-like环.

证明 (⇐)任取x,y∈R,则x(1-x)y(1-y)=0.由引理2,假设b,d是非零因子,设x=b-1a,y=d-1c.取.这样有

b-1a(1-b-1a)d-1c(1-d-1c)=0.

进而

a(1-b-1a)c1-d-1c=0.

所以

ab-1(b-a)cd-1(d-c)=0.

也就是

因此Q(R)是一个广义Boolean-like环.

(⇒)任取x,y∈R,则.

R是一个广义Boolean-like环.

定义3 设R是交换环,σ:R→R是一个同构,.那么T是一个环.加法和乘法定义如下:

定理2 设R是一个环,σ:R→R为一个同构,且有

那么R是一个广义Boolean-like环当且仅当T是一个广义Boolean-like环.

证明 (⇒)对任意A,B∈T

所以

同理

因此

[(A-A2)(B-B2)]m+n+2=0,

也就是

(A-A2)(B-B2)∈N.

所以T是一个广义Boolean-like环.

(⇐)任取a,b∈R.令.

容易看到

进而

因此

因为(A-A2)(B-B2)∈N(T),所以(a-a2)(b-b2)∈N(R).

这样R是一个广义Boolean-like环.

注意1 任意Mn(R)都不是广义Boolean-like环,如

定理3 若R为广义Boolean-like环,那么R中任意元素可以表示为一个幂等元素和一个幂零元素之和.

证明 任取x,y∈R,设x=y,则

(x-x2)(y-y2)∈N,

那么

(x-x2)2∈N(R),(x-x2)m=0,

因此

xm=xm+1f(x),f(x)∈Z(x).

e=(xf(x))m=xmfm(x),

e2=xmfm(x)xmfm(x)=xm+1f(x)xm-1fm(x)fm-1(x)=xmfm-1(x)xm-1fm(x)=xmfm(x)=e.

那么可得到

x+N=x2+N=(x+N)2=(x+N)m=xm+N=xm+1f(x)+N=(xm+1+N)(f(x)+N)=xf(x)+N=(xf(x)+N)n=xmfm(x)+N=e+N.

所以x-e∈N,

故存在w∈N,使得w=x-e.

也就是x=e+w,这里e2=e,w∈N.

定理4 若R是广义Boolean-like环,N是可交换的.那么R中任意元素可唯一的表示为x=e+w这里e2=e,xe=ex且w∈N.

证明 假设x=e+w=f+u这里f2=f,xf=fx,u∈N.

xe=ex,因此ew=we,那么wx=x2-ex=x2-xe=xw.

由于ef=(x-w)(x-u)=x2-xu-wx+wu

fe=(x-u)(x-w)=x2-xu-wx-wu

所以ef=fe,进而(e-f)3=e-f,(e-f)4=(e-f)2,因此(e-f)2∈N.

而e-f=u-w∈E,即使e-f=w-u=0,这样e=f,w=u,x表法唯一.

推论 若N是可交换的,那么以下说法是等价的:

(i)R是广义Boolean-like环,

(ii)对任意R中元素x,存在唯一的e,x使得x-e∈N这里e2=e,ex=xe.

证明 (⇒)显然.

(⇐)设x,y∈R,由(ii)得到x=e+w,y=f+u这里e2=e,f2=f,w∈N且u∈N.

因此x-x2=e+w-e2-ew-we-w2=w-ew-we-w2∈N.

同理y-y2=f-fu-uf-u2∈N,

那么(x-x2)(y-y2)∈N,所以R广义Boolean-like环.

定理5 设R是广义Boolean-like环,那么环

也是广义Boolean-like环.

证明 对任意的

可以看到

因此

这样

所以[(A-A2)(B-B2)]n=O,也就是(A-A2)(B-B2)∈N(R).

那么T是一个广义Boolean-like环.

定理6R是一个广义Boolean-like环当且仅当

证明 取A,B∈T,A=,

所以

故[(A-A2)(B-B2)]n=O,(A-A2)(B-B2)∈N(R),

那么S是一个广义Boolean-like环.

反向显然.

注意2 若R是广义Boolean-like环,则eRe也是一个广义Boolean-like环.

显然对任取的eae,ebe∈eRe,由于eRe⊆R,

所以((eae-(eae)2)(ebe-(ebe)2))n=0,即eRe是广义Boolean-like环.

注意3 {Boolean like环}⊆{广义Boolean-like环}⊆{周期环}

(i)广义Boolean-like环不一定是Boolean-like环,由以下例子显然可以得到

对所有x,y∈R,(x-x2)(y-y2)=0,因此R是一个广义Boolean-like环.

这样R不可交换,所以R不是Boolean like环.

(ii)周期环不一定是广义Boolean-like环,由下可知

显然它是一个周期环,由于任取x∈GF(4),x4=x.但是存在a∈GF(4),a2=1+a,(a-a2)2=1,这说明R不是广义Boolean-like环.

[1]Tominaga H,Yaqub A.A Generialization of Boolean Rings[J].Kyungook Math,1980,12(25):2.

[2]Swaminathan V.On Foster's Boolean Like Rings[J].Math Seminar Note,1980,8(2):347-367.

[3]Abu-khuzam H,Yaqub A.Structure of Certain Periodic Rings[J].Canad Math Bull,1985,28(1):120-123.

[4]Ohori M.On Stronglyπ-Regular Rings and Periodic Rings[J].Math Okayama Univ,1985,7(27):49-52.

[5]Abu-khuzam H,Yaqub A.Generialized J-Rings and Commutativity[J].International Journal of Algebra,2008,2(14):649-657.

[6]Abu-Khuzam H,Yaqub A.Boolean-Like Rings and Related Rings[J].International Journal of Algebra,2011,5(6):275-284.

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