孙悟空的七十二变

王成

一天，悟空来到花果山实验学校，听到同学们正在讨论有关平行线的性质和应用，便想考考大家：“同学们学习了有关平行线的知识，现在俺老孙来出一道题，你们能用自己学过的知识解决吗？”

“如图1，MA1∥NA2，同学们，你们来看看∠A1+∠A2=_______°.”悟空话音刚落，就听到朱小戒抢答：“哎，太简单了，180°嘛！两直线平行，同旁内角互补啊.孙大圣你就这么小看我们？”

悟空摆了摆手说：“不着急，看俺老孙来变！变！变！大家看！如图2-1，MA1∥NA3，同学们，你们来看看∠A1+∠A2+∠A3=_______°.”“咦！悟空吹了口气，怎么图形变了啊？”同学们你一句我一句，但很快就动起了脑筋：既然已知条件是平行线，那我们肯定要运用平行线的性质来解决这个问题.大家经过讨论很快找到了方法：如图2-2，过点A2作一条辅助线A2B∥MA1，这样根据平行于同一直线的两直线也平行，把图2-1转化成两个与图1相同的基本图形.把∠A1A2A3分成∠A1A2B与∠BA2A3，它们分别和∠A1与∠A3组成同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A1+∠A2+∠A3=∠A1+∠A1A2B +∠BA2A3+∠A3=180°+180°=180°×2=360°.

悟空听了同学们的发言，满意地点了点头.又吹了口气说：

“俺老孙再变！如图3-1，MA1∥NA4，同学们，你们来看看∠A1+∠A2+∠A3 +∠A4=_______°.”朱小戒说：“我来！如图3-2，分别过点A2、A3作A2B∥MA1，A3C∥MA1 ，同样的方法可以得到∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°+180°+180°=180°×3=540°.”悟空听了朱小戒的发言，对朱小戒竖起了大拇指：“了不起啊，小戒同学！”说完对黑板又吹了口气：“俺老孙再来一变，你们能用刚才发现的规律解决这个问题吗？如图4-1，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_______.”

同学们思考了一下很快得出了答案：如图4-2，添加（n-2）条和MA1平行的辅助线，构成（n-1）对同旁内角，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n-1）.

“现在的学生观察、探究、归纳总结的能力很强啊！看来我还不能小看我们花果山实验学校的孩子.”悟空在心里默默地想着. “大圣，真有你的！一个很简单的问题你居然能变出这么多的问题来，让我们大家大开眼界啊.大圣再给我们出道题吧，还要变！变！变哦！”同学们一起说道.

悟空笑了笑，想了一下：“好吧，再来考考你们啊.”又在黑板上出了一道题：

如图5-1，直线AC∥BD，连接AB，点P在该平面上所处位置如图所示，请大家来研究一下∠APB、∠PAC、∠PBD这三个角的关系.

同学们纷纷动手在自己的草稿纸上做了起来，过了一会儿A同学很快得到了答案：∠APB=∠PAC+∠PBD.“很好！漂亮！”悟空表扬了A同学. “谁能把自己怎么思考得到答案的过程和大家分享一下吗？”“我！我！”同学们争先恐后地要求回答问题.最后沙小僧同学走到讲台前把自己的方法写在黑板上：

如图5-2，过点P作PQ∥AC，

所以∠PAC=∠APQ（两直线平行，内错角相等）.

因为AC∥BD，

所以PQ∥BD（平行于同一直线的两直线也平行）.

所以∠PBD=∠BPQ（两直线平行，内错角相等）.

所以∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠BPQ（等式性质）.

即 ∠PAC+∠PBD=∠APB.

“很好，沙小僧同学回答很正确，而且书写规范，我们大家要向他学习！下面我们再来变！点P在如图5-3所示的位置，请大家来研究一下这三个角的关系还是∠PAC+∠PBD=∠APB吗？”

“不成立！应该是∠PAC +∠APB+∠PBD=360°.”很快又有同学给出了答案.

理由如下：

如图5-4，过点P作PQ∥AC，

所以∠PAC+∠APQ=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

因为AC∥BD，

所以PQ∥BD（平行于同一直线的两直线也平行）.

所以∠PBD+∠BPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

所以∠PAC+∠APQ +∠PBD+∠BPQ=360°（等式性质）.

即∠PAC+∠PBD+∠APB=360°.

“ 太厉害了！不出绝招不行了！大家来看我再变！”悟空拿出了看家本领.

如图5-5，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分.规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角.当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应结论.（注：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°.）

同学们立即展开了热烈的讨论，最后还是由朱小戒同学向悟空汇报了大家的探究结果.

共有3种情况：

1. 当动点P在线段BA的延长线上时，如图5-6，此时∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.

因为直线AC∥BD，

所以∠PAC=∠PBD（两直线平行，同位角相等）.

2. 当动点P在线段BA的延长线的左侧时，如图5-7，∠PAC=∠PBD+∠APB.

连接PB交AC于点E.

因为直线AC∥BD，

所以∠PEC=∠PBD（两直线平行，同位角相等）.

又因为∠PAC=∠PEC+∠APB（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），

所以∠PAC=∠PBD+∠APB（等量代换）.

3. 当动点P在线段BA的延长线的右侧时，如图5-8，∠PBD =∠PAC+∠APB.

连接PB交AC于点E.

因为直线AC∥BD，

所以∠AEB=∠PBD（两直线平行，内错角相等）.

又因为∠AEB =∠PAC+∠APB（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），

所以∠PBD =∠PAC+∠APB（等量代换）.

听到同学们的探究结果，悟空很开心：“同学们，今天我们应用了大家最近所学的知识解决了许多问题，你们的表现很棒！大家既要学好课本知识，更要灵活运用所学知识.”

亲爱的同学们，你们清楚了吗？还能继续根据上述探究问题的方法，运用所学的知识继续探究当动点P运动到第④部分时，三个角之间的关系吗？试一试，然后与同伴交流一下.