生活中的一元一次不等式

王长颖

一元一次不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型，现实生活中的许多实际问题可以建立一元一次不等式模型加以解答，现举例说明如下.

一、 电梯中的载物问题

例1 有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大负荷为1 050 kg，那么该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载几捆材料？

【分析】本题中的最大负荷为1 050 kg，实际上隐含着：3人的体重+携带会议材料≤1 050，因而可以设该电梯最多还能搭载x捆材料，进而建立关于x的不等式解决问题.

【解答】设该电梯最多还能搭载x捆材料，依题意，得：

20x+210≤1 050，解得x≤42.

所以，x的最大值为42.

答：该电梯最多还能搭载42捆材料.

【点评】乘坐电梯是日常生活中极其平常的事情，乘坐电梯搭载材料千万不要超过最大负荷，否则就会出现超载无法关门的现象.

二、 体育活动中的买球问题

例2 同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元.

（1） 求购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2） 根据同庆中学实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5 720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

【分析】第（1）题，隐含着两个等量关系式：购买3个足球的费用+2个篮球的费用=310元，购买2个足球的费用+5个篮球的费用=500元，因此，可以建立方程组进行解答；第（2）题，隐含着一个不等关系式：购买足球和篮球的总费用≤5 720元.设购买a个篮球，即可列出不等式加以解决.

【解答】（1） 设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元.根据题意，得：

3x+2y=310，2x+5y=500. 解得：x=50，y=80.

所以，购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元.

（2） 设购买a个篮球，则购买（96-a）个足球，根据题意，列不等式，得：

80a+50（96-a）≤5 720，解得：a≤30■.

因为a为整数，所以a最多是30，所以这所中学最多可以购买30个篮球.

【点评】踢足球和打篮球是同学们喜爱的体育活动.购买足球和篮球前，一定要做好经费预算，才能够确保合理使用经费.

三、 商品购买方案问题

例3 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案.方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.

（1） 若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2） 请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

【分析】第（1）题，按方案二直接可以计算；第（2）题，隐含着不等式关系是：方案一的费用<方案二的费用.设购买商品的价格为x元，可得方案一的费用为（0.8x+168）元、方案二的费用为0.95x元，进而建立不等式，求出所购买商品的价格的范围.

【解答】（1） 120×0.95=114（元），所以实际应支付114元；

（2） 设购买商品的价格为x元，由题意得：0.8x+168<0.95x，解得x>1 120，所以当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算.

【点评】促销优惠活动是商家经常采用的方法.不同的商家有不同的方案，既需要我们“货比三家”，也需要我们对相同商品比较不同购买方案时价格大小关系，得到价廉物美的商品.

四、 食物中成分的问题

例4 2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）.根据信息，解答下列问题.

（1） 求这份快餐中所含脂肪质量；

（2） 若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；

（3） 若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值.

【分析】（1） 已知百分比和总量，则脂肪质量为400×5%；（2） 已知碳水化合物的百分比，则碳水化合物质量为400×40%=160，故蛋白质与矿物质的质量之和为400-20-160，又知蛋白质的质量是矿物质的质量的4倍，所以设矿物质的含量为x，则有x+4x=400-20-160；（3） 设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为（380-5y）克，根据两者所占百分比的和不超过85%，可得4y+（380-5y）≤400×85%，从而y的取值范围可求出.

【解答】（1） 400×5%=20，答：这份快餐中所含脂肪质量为20克；

（2） 设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x+4x+20+400×40%=400，所以x=44，所以 4x=176.

答：所含蛋白质的质量为176克；

（3） 设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为（380-5y）克，所以4y+（380-5y）≤400×85%，y≥40，380-5y≤180，所以所含碳水化合物质量的最大值为180克.

【点评】本题设计新颖，以快餐中的营养成分信息为背景，考查了同学们从信息表中获取相关数据的能力.同学们应学会建立不等式模型加以解答.

五、 商品销售利润问题

例5 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）.

A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%

【分析】设购进一批水果有a kg，进价为m元，这种水果的售价在进价基础上提高原价的x倍，则有：■≥20%，解得x≥■，所以x的最小值为33.4%，即这种水果的售价在进价基础上应至少提高33.4%.

【解答】B.

【点评】商家买卖商品过程中总是没有赔本的，尽管在销售过程中有损耗，往往通过提高售价来达到所要获取的利润率.

例6 某商场用36 000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6 000元.其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元.

（1） 该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

（2） 商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售.若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8 160元，乙种商品最低售价为每件多少元？

【分析】第（1）题，隐含着两个相等关系式：购进甲种商品的费用+购进乙种商品的费用=36 000元，销售甲种商品的获利+销售乙种商品的获利=6 000元，因而可以列出方程组进行解答；第（2）题，第二次购进甲种商品的件数的利润为2×200×（138-120）=7 200元，如果设最低售价为x元，则第二次购进乙种商品销售后的利润为120×（x-100）元，从而可以应用不等式进行解决问题.

【解答】（1） 设第一次购进甲、乙两种商品件数分别为x、y件，依题意，得：

120x+100y=36 000，（138-120）x+（120-100）y=6 000.

所以x=200，y=120.

所以第一次购进甲、乙两种商品件数分别为200、120件.

（2） 第二次购进甲种商品的件数是第一次的2倍，仍按原价销售后的利润为：2×200×（138-120）=7 200元，所以设乙种商品最低售价为x元，第二次购进乙种商品销售后的利润为120×（x-100）元，得：7 200+120×（x-100）≥8 160，解得x≥108，所以x有最小值为108元，所以乙种商品在第一次售价的基础上最低售价为每件108元.

【点评】本题着重考查了同学们把实际问题转化为数学问题的能力，要求应用二元一次方程组和一元一次不等式解决生活中销售利润问题.

六、 生活用水问题

例7 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.如表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息：

（说明：① 每户产生的污水量等于该户自来水用水量；② 水费=自来水费用+污水处理费用）

已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元.

（1） 求a、b的值；

（2） 随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9 200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？

【分析】第（1）题，根据两次付费，可得一个关于a、b的二元一次方程组，解方程即可；第（2）题，根据第（1）题的计算结果可以求得用水30吨时的费用，再确定6月份用水量是否超过30吨，并建立不等式解决问题.

【解答】（1） 由题意，得：17（a+0.8）+3（b+0.8）=66，17（a+0.8）+8（b+0.8）=91.解得a=2.2，b=4.2.

（2） 当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9 200×2%=184元.

因为116<184，所以小王家6月份的用水量超过30吨.

设小王家6月份用水量为x吨，由题意，得：17×3+13×5+6.8（x-30）≤184，解得x≤40，所以，x的最大值为40.

答：小王家6月份最多能用水40吨.

【点评】“节约用水，人人有责”，使用不同水量，其每吨的交费也不相同.本题既渗透了节约用水的意识，也考查了从表格中获取相关信息的能力.

七、 方案设计问题

例8 （2012·益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元.

（1） 若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

（2） 若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.

【分析】第（1）题，可用一元一次方程求解；第（2）题，由“购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量”建立不等式，再结合树苗的棵数是整数求解.

【解答】（1） 设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，根据题意得：

80x+60（17-x）=1 220，解得x=10，所以17-x=7.

答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵.

（2） 设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，根据题意得：

17-x8■，购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17-x）=20x+1 020，则费用最省需x取最小整数9，此时17-x=8，这时所需费用为20×9+1 020=1 200（元）.

答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵. 这时所需费用为1 200元.

【点评】最优化或方案设计问题，常常要借助于不等式和不等式的相关性质进行解答.