如何让学生的思考更有条理

☉江苏省苏州市第四中学 陈广山

数学教学是教师引导（指导）下学生的学习过程．这个过程学生学什么？在1982年举行的第四届国际数学教育大会（ICME4，美国）上，波利亚做了题为“数学有助于思考”的报告．在报告中，他强调数学学习的一个最重要的目的是学会更聪明的思考问题．众所周知，学生认知有不同的水平和层次．而范希尔（VanHiele，1986）通过多年的实践和研究认为，思维层次的发展不是自然而然的，学生只有通过适当的教学才能依次从较低层次过渡到较高层次．因此，为了学生“学会更聪明的思考问题”，发展学生高层次认知能力，在教学活动过程中必须引起学生积极主动的思考，特别是有条理的思考，从而实现思维水平向更高层次发展的目标．正如教育部颁布的《普通高中数学课程标准》指出的那样：“……数学教育在学校教育中占有特殊的地位，……它使学生表达清晰、思考有条理……”说明思考有条理不仅是衡量思维能力的一个重要因素，也是数学教学重要任务之一．

当然，许多因素会影响学生思考的条理性，包括个人、环境与文化传统方面的因素，课程和教学方面的因素等．本文拟在课堂教学中“思考有条理”的培养策略方面作一些探讨，以抛砖引玉．

一、整节课的流程设计要合理，主线要清晰流畅

在实际教学中，常常看到有些数学课每个情境都很精彩、每个例题讲得都很透彻、学生活动一个接一个、基本理论分析也很清楚，但课后，学生总有在云里雾里的感觉，不知道目标是什么，整节课的线索是什么，由于学生一直被牵着走，有种“堆砌”“凌乱”感，觉得不顺畅．

例如，在《几何概型》的教学中，经常看到如下的教学设计：

“我们已经学习了古典概型，但是现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率了，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率”．……“我们举个例子来说明相应概率的求法”……．解决这个例子，并给出几何概型的定义和概率计算公式．最后巩固练习．

该设计流程主线为：问题（告知）→举例说明→产生新理论→巩固练习．这样的教学虽然学生能够靠模仿去解决问题，但教学中出现的诸如：问题产生的“突兀”、理论生成的“断层”等现象，使得学生更多的是被告知、进行操作模仿，这种重视数学知识本身的价值而忽视知识产生的过程、思维活动的过程价值的教学，本身是枯燥无味的、“冰冷”的，与新课程理念相悖，数学的教育价值很低，压制了学生“火热”的思考．

研究指出：组织教学内容时，教师根据不同对象的发展水平，有步骤的提高所呈现的知识和经验的结构化程度，组织好从简单到复杂的有序积累过程是提高知识经验转化效率的基础［1］．也就是说，在教学设计时，要充分考虑数学知识的逻辑顺序（也包括知识的背景）、考虑数学知识生长的自然向上的态势（所学知识如何产生、怎样建构、如何运用）和学生的心理情感发展的特点，对教材上提供的材料和教学内容进行反复梳理，把这些素材的组织和调用与学生的思维层次的整体发展和不断提高协调整合起来，不断优化整体流程设计．这表明，教学设计要有一条，从简单到复杂、由低级到高级、结构科学、流畅自然、条理清晰、方向明确的主线，这条主线要协调好各个要素的关系，这样学生才能注意到问题是怎么提出来的、怎样分析和怎样解决的，才能更积极主动地、兴趣盎然地参与教学活动过程．具体的说，在备课时，应注重分析学生的认知结构和生活经验，在引入新课时，深入思考以下问题：运用什么样的例子、采用什么样的的方式和方法提出问题？在新知识和新理论教学时，要为学生搭建怎样的“脚手架”？如何恰当地点拨铺垫？学生探究问题时可能出什么情况？例题如何组织？使用什么样的变式？如何练习巩固？如何反思？等等．只有当学生获得了有条理的教学事件，思考才能有条理，才能保证思维的参与度，才能保证思维不断向高层次发展.基于上述观点，将教学流程设计为：情境→提出问题→尝试解决→验证→生成理论→运用→反思提高.整体教学设计如下：

情境一：（1）已知M={0，1，2，3}，若从M中任意取出一个数，则这个数不大于1的概率是多少？［回顾旧知，思维起点］

（2）若M=［0，3］，则从M中任意取出一个数，这个数不大于1的概率是多少？［条件简单变化，产生新的问题，激发新的思考，思维活动真正开启］

提出问题：对于（2）能否用古典概型的方法求概率？为什么？这个问题与古典概型相比有什么异同？［很自然的一些问题，分析比较中，思维活动向前推进］

学生活动：归纳抽象新模型的特征，并探求解决方法，并与大家交流感受.［明确了问题的性质，发现旧模型的方法不适用，而新模型的解法在直觉中、对生活的感悟中和同学之间的交流中慢慢成形，一种解决问题的方案（或者说是假设）形成了.学生的思维在碰撞中，不断深入，火花迸出］

情境二：取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率是多少？师生一起用刚才的方法尝试解决问题.［增加认同感，为更加深刻的思维活动（综合和抽象）做铺垫］

提出问题：这种新方法是否真的合理？怎么检验？通过计算机模拟，当试验次数很大时，用随机事件的频率估计概率.［理性告诉我们，大家都认同的也未必靠得住，必须对即将形成的理论的科学性做出判断和评价，这种警示又表明思维活动达到更高水平了（思维监控）；当然这里又经历了一次提出问题、分析问题和解决问题的过程，这种思维活动的嵌套说明了思维的复杂性］

建构数学：验证成立，上升为理论，归纳总结计算这种新模型的概率的方法.［通过提出问题、分析问题、提出假设、检验假设等一系列有条理的思维过程，产生思维成果，解决了开始所提出的问题，感受思维活动的快乐！］

数学运用：

例1 在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？［学生认识到基本事件形成的区域也可能是立体图形，对应的测度是体积，完善对几何概型的认识］

例2 在直角三角形ABC中，∠CAB=60°，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.

变式：过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率.［学生认识到解决几何概型的关键是要找准基本事件，及基本事件形成的区域］

［在实践中进一步检验、完善和深化，达到了更深层次的探索和理解数学的作用，对新理论有了系统化的认识］

二、问题解决过程中的启发引导要自然有序

数学问题是数学思维活动的必然产物，解决问题又是思维活动的动力和目标.张乃达先生将解决问题的过程分成如下几个层次：一般性解决，功能性解决，特殊性解决（一般性解决和功能性解决统称概略性解决）.我们知道，当人们在解决一个生疏的问题时，总力求逐步缩小探索的范围，分层次的探求解决问题的方法和步骤.即解决问题的过程是按照“一般性解决→功能性解决→特殊性解决”的顺序分层推进的，这也应是学生解决数学问题的思维进程.为了不让学生对解决问题过程产生“强加”、“灌输”的感觉，教师必须顺应这种思维进程做好启发引导.

第一步：停下来想.

师：看来大家不会做，大家不妨停下笔，想一想，疑惑在哪里？

第二步：后退一步.

师：对呀，有两个未知量，那怎么办？［后退一步，从一个更为一般性的层面去审视问题，辨别问题所面临的类型］

生：对了，列方程组.［可以看到原来的问题只是一个更大的问题中的一部分，已经延伸到一个新的问题了，这就是在退后一步发生的.从思维进程看现在已经是概略性解决问题了］

第三步：重构问题.

不过，接下来学生还感到困难，我还按照刚才的顺序进行启发引导.

师：看看题目中还有什么？［停下来想］

生：“任意实数x，都成立”，重点在“任意”上.

师：“任意”一词在生活中是什么意思？［后退一步］

生：“所有”，“每一个”，“无一例外的”.

生：老师，我懂了，我知道怎么再列一个方程了.

可以看出，按这种思维进程的顺序提出恰当的问题，可以自然地让学生从具体问题中先退出来，站在更高的位置、更一般性的层面审视问题，先回答解决问题或靠近目标的方式是什么.这样有条理的启发引导不仅实现了按正确的步骤解决问题，也成为了培养学生掌握数学思想方法（如案例中的方程和方程组思想，由一般到特殊的思想）的一种重要手段.由于学生的数学思维活动具有较强的个体性和独立性，启发性提示语必然是动态的，因此启发引导应强调追求自然的原则：由远及进，先宏观再微观.只有启发性提示语之间自然衔接、富有层次，才能让不同思维水平的学生都能受到相应的启发，从而使思维齿轮在启发性提示语的润滑下形成良性运转.

三、以追问逼反思，促使学生实现有条理的思考

其实很多学生在面临一个题目时，总是想直接给出具体解题方法，或陷在几种具体方法中尝试，而不是习惯于先找到一个概略性解题方案，因而常常会引起思维的混乱.如何让学生走出困境，理顺关系？在教学中可通过追问让学生暴露思维过程.

生1：把两个式子都展开.

生2：不行，应配凑角.

这实际上已经是功能性解决方案了，上面的一般性解决的思维环节已经被简约掉了.这时教师应该追问：为什么要配凑角？配凑的目的是什么？问题逼着学生反思，让他回到前一个思维层次（即一般性解决）中去.

生2：配凑角是为了找到所求角与已知角的关系.

师：为什么找到所求角与已知角的关系？

生2：依据三角公式可由角的关系得到他们三角函数值的关系.

原来配凑角的目的是创造运用三角公式的条件，转化为我们熟悉的、已经会解决的问题.那么配凑角能不能成功呢？这取决于下一个问题：怎样配凑？这已经是特殊性解决的问题了.

通过追问，逼学生先确定一个概略性解决的方案，有了这个方案，具体的解题操作就有了方向，避免了盲目性；通过追问，复原了“一般性解决→功能性解决→特殊性解决”的思维过程，引导他们按照行之有效的方式思考；通过追问，强化了学生在现实中有序而理性解决问题的观念.

四、一些思考

对学生而言，学了多少知识，学了哪些知识往往会随着时间的流逝而不断流逝，但在他们脑海深处留下来的而又终身受用的就是思维方式和思考习惯.由于数学内部知识、问题解决过程、学生认知水平发展的有序性，数学教学就是思维活动的教学等方面的原因，使得数学课堂成为培养学生有条理思考的主阵地之一.我们不仅可以在课堂上通过问题解决、启发引导、反思等形式来培养学生有条理思考的习惯，也可以在板书的条理性、语言表达的条理性等方面给学生以熏陶.需要指出的是，我们注重有条理的思考，也不会忽视直觉、创造性思维的重要性.虽然在现实中我们并不都是有条理地思考问题，但它却在背后指导我们.

1.顾泠沅.教学改革的行动与诠释［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.张乃达.数学思维教育学［M］.南京：江苏教育出版社，1990.