感悟三次函数“对称”魅力——探究一道高考题的解法及背景

☉江苏省宜兴中学 吴华平

一道背景深刻、极富韵味、凝聚了众多命题专家智慧的好题，犹如掌上明珠，剔透晶莹，让我们爱不释手、流连忘返.它往往背景新颖、呈现简洁、内涵深刻、给人启迪，有较强的启发性、代表性、拓展性.若能对此进行多角度、深层次地思考，从中开发出解题的智慧和智慧地解题，则可以提高对数学问题本质的认识，达到举一反三、触类旁通的目的.2013年高考浙江卷理科第22题就是这样一道独具匠心、意境幽深的好题，本文探究其解法及揭示背景.现整理成文，与各位同仁交流.

一、题目与解法探析

题目已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

基本解法分析：（1）考查导数的几何意义，过程略.

（2）本小题是在给定一个区间求最值问题，并不陌生，但由于涉及参数及绝对值，讨论的情况比较多，较繁琐.一般思路，可先讨论函数是单调函数的情况，其次讨论函数非单调情况，求出函数的极值，端点函数值，再比较四个函数值的绝对值的大小.其参考答案就按这种常规思路来分类讨论，过程现简单摘录如下：

由于f′（x）=3（x2-6x+3a），x∈［0，2］，

下面讨论：

二、背景揭示

证明如下：

由此得到如下结论：

三、新解

利用函数图像的对称性，可避免对参数过多的讨论，命题者恰恰给出区间的中点与对称中心横坐标一致，由此看出命题者的一番苦心.

解：由于函数对称中心为（1，1），x∈［0，2］，

③若0＜a＜1，由于点P（x1，f（x1））和Q（x2，f（x2））关于对称中心（1，1）对称，且A（0，f（0））和B（2，f（2））关于对称中心（1，1）对称，所以

若f（x1）＜f（2），只需f（x2）＞f（0），而

（注：求不等式的过程，先求x2的取值范围，再求出a的取值范围，避免了根式，转化为整式较为简单.）

张奠宙教授曾经这样点评三次函数：三次函数的导数是二次函数，再次求导则成为一次函数，研究这“祖孙三代”的关系，看看哪些性质有遗传性，它们的“DNA”有什么关联，很是有趣.三次函数之美，在于其曲线之奇异美，对称之和谐美，典型之共性美.随着三次函数在中学深入研究和广泛应用，相信它也能折射出我们欣赏数学时所感悟到的魅力.

1.侯典峰.一道高考填空题的深层探究［J］.数学通讯（下半月），2012（5）.

2.濮阳康和.感受三次函数的“美丽”种种［J］.中学数学教学参考（上旬），2011（6）.