“线性代数在线智能学习系统”的建立与探索

◆阎家斌 宋叔尼 秦宏超 孙艳蕊

(东北大学理学院)

线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课，它不但是学习数值分析、最优化方法、离散数学和微分方程等数学课程的基础，也广泛地应用于工程学、计算机科学、物理学、生物学、经济学、统计学、力学、信号与信号处理、系统控制、通信、航空等学科和领域。线性代数包含行列式、矩阵、向量、线性组合、线性相关、秩、线性方程组、线性空间、线性变换、基、维数、坐标、向量正交、二次型、惯性指数等大量的抽象数学概念，也包含行列式计算、矩阵求逆、矩阵作初等变换、矩阵和向量组求秩、向量组求极大无关组、线性方程组求解、线性空间求基、维数和坐标、将矩阵相似对角化、二次型化标准形等大量的具体计算。由于学生计算能力较差，逻辑思维能力不是很强，导致学生在学的过程中不知所措，学完之后很快忘记。为了适应学生学习线性代数课程，我们制作了“线性代数在线智能学习系统”，使学生可以利用网络资源在线进行学习和测试，提高了学生学习兴趣，改善了学习效果。

一、“线性代数在线智能学习系统”的建立背景

由于线性代数课程中存在大量计算问题。例如，行列式的计算、求矩阵的逆矩阵、对矩阵作初等变换、求矩阵和向量组的秩、求向量组的极大无关组、求线性方程组的解、求线性空间的基、维数和坐标、将矩阵相似对角化、化二次型为标准形等。让学生掌握这些问题的计算方法无疑是重要的，也是学习线性代数课程的最基本的要求。然而，由于线性代数课程课时比较少，学习周期比较短，课程中又有很多抽象的概念，使得学生很难在短时间内消化所学的知识，对这些大量的计算问题也很难找到其中的规律。又由于众所周知的原因，现在的线性代数课程都采用大班上课，学生和教师沟通的机会相对较少，使得线性代数课程的教学效果并不是很好。

为了让学生学好这门课程，任课教师采用一系列教学方法。比如，按时布置并批改作业，按时安排课程答疑，但由于学生常年养成的被动式学习方法，答疑时很少有学生提出具体的问题，作业也是为了应付教师的要求，甚至有不少抄作业现象，而任课教师很难解决这些问题。要想有效解决这些问题就要对教学方法作进一步改革。

我国大学应当扭转重理论教育轻实践教育的风气。加强实训基地建设，根据学科专业教育特点，努力在校内和校外建立持久稳定、质量有充分保障的实训基地，使学生能够有充分的机会将所学的理论和知识用于实践中。原教育部副部长周远清教授说:“教学方法偏死在中国是长期存在的难题。我们提出培养创新能力，如果教学方法不改革，不能有效地开展启发式教学、案例教学，如何培养创新人才?”随着计算机技术的飞速发展，人类社会正在进入网络信息时代，同时，信息技术本身也正在对教育的改革产生深远的影响，并且成为教育现代化的核心和成功的关键。为了适应时代的发展，充分利用网络资源是教学改革的重要手段，也可以有效提高学生的创新能力。在此背景下，我们建立了“线性代数在线智能学习系统”。

二、“线性代数在线智能学习系统”的内容和功能

由于线性代数课程中存在大量计算问题，而很多问题都有着内在的规律性。我们将各类具有相同规律的问题归纳到一起，构造成具体的线性代数问题，其中大量参数可以随机生成。这样，每一个问题又有着大量的随机性，而求解思路和过程都是固定的，对每个问题都可以给出一个具体的、系统的解题方法，使得每一类问题有一个统一的解题方法，而每一类问题又都有着大量的变化。例如，系统可以随机生成一个向量组，利用矩阵秩的计算方法求出向量组的秩，再利用向量组的秩判定向量组的线性相关性，进一步求出向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示，系统会给出每一步的具体计算过程。由于向量组生成的随机性，向量组的秩和其它结果都是变化的，这就解决了线性代数习题的单一性，相当于给出一个大题库。通过大量细致的工作，我们把线性代数各章内容都归纳出一些常见的、典型的、具有一定代表性的问题，组成100分值的计算题，形成了“线性代数在线智能学习系统”，通过和网络进行链接，学生在任何环境下，只要登录到校园网进入系统就可以进行自主学习。

“线性代数在线智能学习系统”分为在线学习和测试两个功能。进入在线学习系统，学生可以按章节自由生成相应题目练习，系统可以随时对每个题目给出详细的解答方法，学生可以根据解题方法分步检验自己对相应内容的掌握情况，系统可以重复生成同种类型但结果可能完全不同的其它题目，供学生练习。而且可以一直进行下去，直到完全掌握题目的解答方法为止。从而达到学习的目的。进入测试系统，系统对应教材按章分类，每一章对应100分值的题目，学生解答完毕后，只要提交，系统就会自动打分。学生可以通过打分了解自己对该部分内容的掌握情况。系统会自动对所有学生提交的题目打分并保留结果，系统也会对所有提交的题目按错误进行分类保存，教师就可以容易地了解全班学生的学习状况，教师可以通过查询结果，了解学生对每一类题目的掌握情况，并及时反馈到教学中，从而达到提高教学质量的目的。

三、“线性代数在线智能学习系统”在教学中的应用

我们将“线性代数在线智能学习系统”应用到线性代数课程的教学中，要求学生以测试系统题目作为作业，必需按时提交，而且按系统给出的分数作为平时成绩，否则没有平时成绩。这样就促使学生必需要作。而由于系统中任何一道题都是随机生成的，在一段时间内生成完全相同的题几乎是不可能的，这就避免了抄袭作业的现象。而学生为了取得较好的平时成绩，就要先按学习系统题目进行练习，把内容掌握以后再进入测试系统测试提交，这就增加了学生自主学习的动力。

由于线性代数课程采用大班教学，使得教师难于对每个学生的作业进行认真批改，也就很难对每个学生的学习作全面了解。应用“线性代数在线智能学习系统”后，由于系统对提交的内容有严格的审核、给分标准，这就代替了教师批改作业的工作。教师可以随时进入系统查看每个班学生提交的题目，由于系统会对提交的题目按错误进行分类保存，教师就可以容易地了解全班学生的学习状况，减轻了工作强度，也就提高了工作效率。

线性代数课程涉及学生专业很广，结合这个特点我们编制了相应的教材，教师也根据不同专业学生的特点，引入大量相应的应用例题，编制了相应的多媒体教学课件。注重引导学生如何探索和发现知识，以具体的应用实例出发引入相应的概念及解决方法。增加了学生对课程的兴趣和对知识的渴望。

为了更好地体现线性代数课程与计算机等现代教学设备的联系，我们还开发了线性代数计算机考试系统，系统可以随机生成不同考题，而试题覆盖了线性代数课程的各章节的内容，包含了线性代数的各类计算方法，完全由学生自我考核，即提高了学生的动手能力，也提高了学生学习线性代数课程的兴趣，也提高了学生应用计算机解决实际问题的能力。而且试题完全由计算机自动打分，学生提交试题就能看到自己的成绩，并可以看到哪些试题出现了什么样的错误，便于学生学习。

现在，我们有了“线性代数在线智能学习系统”，与教材、多媒体课件以及线性代数计算机考试系统有机地结合到一起，形成了完整的教学、考试体系，而学生只要登录到计算机网络平台，就可以同时查看课程的多媒体教学课件、线性代数在线智能学习系统、线性代数教学大纲、线性代数各年考试试题、线性代数各年研究生入学考试试题等学习资源。学生还可以通过提问、留言等形式与教师进行沟通，大大提高了学生学习线性代数课程的兴趣。实践证明，这一套教学体系得到学生的欢迎与认可，提高了学生的学习成绩。

从线性代数课程的角度来看，学生的创新精神、创新能力的培养主要通过应用数学方法解决具体实例来体现。李大潜院士指出:“数学的教学不能和其它科学和外部世界隔离开来，只是一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子，这不利于了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题，不利于提高学生的数学素养”。在高等学校，线性代数教学涉及专业广，涉及学生人数众多，加强课程与计算机的结合，加强课程的实际应用，让学生通过具体实践去认识、掌握所学的知识，并运用所学的知识去解决实际问题，无疑是重要的，也需要我们去进一步探索、实践。

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